Inhalt

• Vorabinformationen
• Schritte
• Teil 1 von 3: Die Grundlagen
• Teil 2 von 3: Eigenschaften der Laplace-Transformation
• Teil 3 von 3: Finden der Laplace-Transformation durch Reihenerweiterung

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die verwendet wird, um Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Diese Transformation ist in der Physik und im Ingenieurwesen weit verbreitet.

Sie können zwar die entsprechenden Tabellen verwenden, es ist jedoch hilfreich, die Laplace-Transformation zu verstehen, damit Sie sie bei Bedarf selbst durchführen können.

Vorabinformationen

• Gegeben eine Funktion ${ Anzeigestil f (t)}$definiert für ${ displaystyle t geq 0.}$ Dann Laplace-Transformation Funktion ${ Anzeigestil f (t)}$ ist die nächste Funktion jedes Wertes ${ Anzeigestil s}$, bei der das Integral konvergiert:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} T}$
• Die Laplace-Transformation nimmt eine Funktion von der t-Region (Zeitskala) in die s-Region (Transformationsregion) an, wobei ${ Anzeigestil F (s)}$ ist eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen. Es ermöglicht Ihnen, die Funktion in einen Bereich zu verschieben, in dem eine Lösung leichter gefunden werden kann.
• Offensichtlich ist die Laplace-Transformation ein linearer Operator. Wenn wir es also mit einer Summe von Termen zu tun haben, kann jedes Integral separat berechnet werden.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Denken Sie daran, dass die Laplace-Transformation nur funktioniert, wenn das Integral konvergiert. Wenn die Funktion ${ Anzeigestil f (t)}$ Diskontinuitäten aufweist, ist es notwendig, die Integrationsgrenzen sorgfältig und richtig einzustellen, um Unsicherheiten zu vermeiden.

Schritte

Teil 1 von 3: Die Grundlagen

1. 1 Ersetzen Sie die Funktion in die Laplace-Transformationsformel. Theoretisch ist die Laplace-Transformation einer Funktion sehr einfach zu berechnen. Betrachten Sie als Beispiel die Funktion ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, wo ${ Anzeigestil a}$ ist eine komplexe Konstante mit ${ Displaystyle Operatorname {Re} (s) Operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Schätzen Sie das Integral mit den verfügbaren Methoden ab. In unserem Beispiel ist die Schätzung sehr einfach und man kommt mit einfachen Berechnungen aus. In komplexeren Fällen können komplexere Verfahren erforderlich sein, zum Beispiel partielle Integration oder Differenzierung unter dem Integralzeichen. Einschränkungsbedingung ${ Displaystyle Operatorname {Re} (s) Operatorname {Re} (a)}$ bedeutet, dass das Integral konvergiert, d. h. sein Wert geht gegen 0, da ${ displaystyle t bis infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {ausgerichtet}}}$
   • Beachten Sie, dass wir dadurch zwei Arten von Laplace-Transformationen erhalten, mit Sinus und Cosinus, da gemäß der Eulerschen Formel ${ displaystyle e ^ {iat}}$... In diesem Fall erhalten wir im Nenner ${ displaystyle s-ia,}$ und es bleibt nur noch der Real- und Imaginärteil zu bestimmen. Sie können das Ergebnis auch direkt auswerten, aber das würde etwas länger dauern.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = Operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = Operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Betrachten Sie die Laplace-Transformation einer Potenzfunktion. Zuerst müssen Sie die Transformation der Potenzfunktion definieren, da Sie mit der Linearitätseigenschaft die Transformation für . finden können von allen Polynome. Eine Funktion der Form ${ Displaystil t ^ {n},}$ wo ${ displaystyle n}$ - jede positive ganze Zahl. Kann Stück für Stück integriert werden, um eine rekursive Regel zu definieren.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Dieses Ergebnis wird implizit ausgedrückt, aber wenn Sie mehrere Werte ersetzen ${ displaystyle n,}$ Sie können ein bestimmtes Muster festlegen (versuchen Sie es selbst), wodurch Sie das folgende Ergebnis erhalten:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Sie können die Laplace-Transformation von gebrochenen Potenzen auch mithilfe der Gammafunktion definieren. Auf diese Weise können Sie beispielsweise die Transformation einer Funktion wie ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { Quadrat { pi}} {2s { Quadrat {s}}}}}}$
   • Obwohl Funktionen mit gebrochenen Potenzen Kürzungen haben müssen (denken Sie daran, dass alle komplexen Zahlen ${ Anzeigestil z}$ und ${ displaystyle alpha}$ kann geschrieben werden als ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, weil der ${ displaystyle e ^ { alpha Operatorname {Log} z}}$) können sie immer so definiert werden, dass die Schnitte in der linken Halbebene liegen und damit Analytikprobleme vermieden werden.

Teil 2 von 3: Eigenschaften der Laplace-Transformation

1. 1 Finden wir die Laplace-Transformation der Funktion multipliziert mit eeinT{ displaystyle e ^ {at}}. Die im vorherigen Abschnitt erhaltenen Ergebnisse haben es uns ermöglicht, einige interessante Eigenschaften der Laplace-Transformation herauszufinden. Die Laplace-Transformation von Funktionen wie Kosinus, Sinus und Exponentialfunktion scheint einfacher zu sein als die Potenzfunktionstransformation. Multiplikation mit ${ displaystyle e ^ {at}}$ im t-Bereich entspricht Verschiebung im S-Bereich:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Mit dieser Eigenschaft können Sie sofort die Transformation von Funktionen wie ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ohne das Integral berechnen zu müssen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Finden wir die Laplace-Transformation der Funktion multipliziert mit Tn{ Anzeigestil t ^ {n}}. Betrachten Sie zunächst die Multiplikation mit ${ Anzeigestil t}$... Per Definition kann man eine Funktion unter einem Integral differenzieren und erhält ein überraschend einfaches Ergebnis:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partiell} { partiell s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {ausgerichtet}}}$
   • Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, erhalten wir das Endergebnis:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Obwohl die Umordnung der Integrations- und Differentiationsoperatoren eine zusätzliche Begründung erfordert, werden wir sie hier nicht vorstellen, sondern nur anmerken, dass diese Operation richtig ist, wenn das Endergebnis sinnvoll ist. Sie können auch berücksichtigen, dass die Variablen ${ Anzeigestil s}$ und ${ Anzeigestil t}$ nicht aufeinander angewiesen.
   • Mit dieser Regel ist es einfach, die Transformation von Funktionen wie ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, ohne Wiedereingliederung von Teilen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Finden Sie die Laplace-Transformation der Funktion F(einT){ displaystyle f (at)}. Dies kann leicht durch Ersetzen der Variablen durch u unter Verwendung der Definition einer Transformation erfolgen:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • Oben haben wir die Laplace-Transformation von Funktionen gefunden ${ displaystyle sin at}$ und ${ displaystyle cos at}$ direkt aus der Exponentialfunktion. Mit dieser Eigenschaft können Sie das gleiche Ergebnis erhalten, wenn Sie den Real- und den Imaginärteil finden ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Finden Sie die Laplace-Transformation der Ableitung F′(T){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen ist in diesem Fall müssen, zu ... haben Stück für Stück integrieren:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {ausgerichtet}}}$
   • Da die zweite Ableitung in vielen physikalischen Problemen auftritt, finden wir auch dafür die Laplace-Transformation:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Im allgemeinen Fall ist die Laplace-Transformation der Ableitung n-ter Ordnung wie folgt definiert (dies ermöglicht die Lösung von Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Teil 3 von 3: Finden der Laplace-Transformation durch Reihenerweiterung

1. 1 Finden wir die Laplace-Transformation für eine periodische Funktion. Die periodische Funktion erfüllt die Bedingung ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ wo ${ Anzeigestil T}$ die Periode der Funktion ist und ${ displaystyle n}$ ist eine positive ganze Zahl. Periodische Funktionen werden in vielen Anwendungen verwendet, einschließlich der Signalverarbeitung und der Elektrotechnik. Mit einfachen Transformationen erhalten wir folgendes Ergebnis:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ausgerichtet}}}$
   • Wie Sie sehen, reicht es bei einer periodischen Funktion aus, die Laplace-Transformation für eine Periode durchzuführen.
2. 2 Führen Sie die Laplace-Transformation für den natürlichen Logarithmus durch. In diesem Fall kann das Integral nicht in Form von elementaren Funktionen ausgedrückt werden. Mithilfe der Gammafunktion und ihrer Reihenentwicklung können Sie den natürlichen Logarithmus und seine Grade schätzen. Das Vorhandensein der Euler-Mascheroni-Konstante ${ displaystyle gamma}$ zeigt, dass zur Schätzung dieses Integrals eine Reihenentwicklung erforderlich ist.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Betrachten Sie die Laplace-Transformation der unnormierten sinc-Funktion. Funktion ${ displaystyle Operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ in der Signalverarbeitung weit verbreitet, ist in Differentialgleichungen äquivalent zur sphärischen Bessel-Funktion erster Art und nullter Ordnung ${ Anzeigestil j_ {0} (x).}$ Auch die Laplace-Transformation dieser Funktion kann mit Standardmethoden nicht berechnet werden. In diesem Fall wird die Transformation einzelner Mitglieder der Reihe, die Potenzfunktionen sind, durchgeführt, sodass ihre Transformationen notwendigerweise in einem bestimmten Intervall konvergieren.
   • Zuerst schreiben wir die Entwicklung der Funktion in eine Taylor-Reihe:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nun verwenden wir die bereits bekannte Laplace-Transformation einer Potenzfunktion. Die Fakultäten werden aufgehoben, und als Ergebnis erhalten wir die Taylor-Entwicklung für den Arkustangens, also eine alternierende Reihe, die der Taylor-Reihe für den Sinus ähnelt, jedoch ohne Fakultäten:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {ausgerichtet}}}$