Inhalt

• Schritte
• Teil 1 von 3: Zahlenquadrate und Quadratwurzeln verstehen
• Teil 2 von 3: Verwenden des Long-Division-Algorithmus
• Teil 3 von 3: Unvollständige Quadrate schnell zählen
• Tipps

Während das einschüchternde Aussehen des Quadratwurzelsymbols jemanden, der nicht gut in Mathematik ist, zusammenschrecken kann, sind Quadratwurzelprobleme nicht so schwierig, wie es zunächst erscheinen mag. Einfache Quadratwurzelprobleme lassen sich oft genauso einfach lösen wie gängige Multiplikations- oder Divisionsprobleme. Auf der anderen Seite können komplexere Aufgaben etwas Aufwand erfordern, aber mit der richtigen Herangehensweise werden auch diese für Sie nicht schwierig. Beginnen Sie noch heute mit der Wurzellösung, um diese radikal neue mathematische Fähigkeit zu erlernen!

Schritte

Teil 1 von 3: Zahlenquadrate und Quadratwurzeln verstehen

1. 1 Quadrieren Sie die Zahl, indem Sie sie mit sich selbst multiplizieren. Um Quadratwurzeln zu verstehen, ist es am besten, mit dem Quadrat der Zahlen zu beginnen. Zahlen zu quadrieren ist ziemlich einfach: Eine Zahl zu quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren. Zum Beispiel ist 3 zum Quadrat das gleiche wie 3 × 3 = 9, und 9 zum Quadrat ist das gleiche wie 9 × 9 = 81. Quadrate werden markiert, indem die kleine Zahl „2“ rechts über die Quadratzahl geschrieben wird. Beispiel: 3, 9, 100 usw.
   • Versuchen Sie, ein paar weitere Zahlen selbst zu quadrieren, um dieses Konzept auszuprobieren. Denken Sie daran, dass das Quadrieren einer Zahl bedeutet, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert werden sollte. Dies ist auch für negative Zahlen möglich. In diesem Fall wird das Ergebnis immer positiv sein. Zum Beispiel: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Bei Quadratwurzeln verhält es sich umgekehrt wie beim Quadrieren. Das Wurzelsymbol (√, auch Radikal genannt) bedeutet im Wesentlichen das Gegenteil des Symbols. Wenn Sie ein Radikal sehen, müssen Sie sich fragen: "Welche Zahl kann mit sich selbst multipliziert werden, um die Zahl unter die Wurzel zu bekommen?" Wenn Sie beispielsweise √ (9) sehen, müssen Sie eine Zahl finden, die im Quadrat die Zahl Neun ergibt. In unserem Fall wäre diese Zahl drei, denn 3 = 9.
   • Betrachten Sie ein anderes Beispiel und finden Sie die Wurzel von 25 (√ (25)). Dies bedeutet, dass wir eine Zahl finden müssen, die uns zum Quadrat 25. Da 5 = 5 × 5 = 25, können wir sagen, dass √ (25) = 5.
   • Sie können sich dies auch als "Rückgängigmachen" der Quadratur vorstellen. Wenn wir zum Beispiel √ (64), die Quadratwurzel von 64, finden müssen, stellen wir uns diese Zahl als 8 vor. Da das Wurzelsymbol die Quadrierung "aufhebt", können wir sagen, dass √ (64) = √ ( 8 ) = 8.
3. 3 Kennen Sie den Unterschied zwischen perfekter und nicht perfekter Quadrierung. Bisher waren die Antworten auf unsere Probleme mit Wurzel gute und runde Zahlen, aber das ist nicht immer der Fall. Die Antworten auf Quadratwurzelprobleme können sehr lange und umständliche Dezimalzahlen sein. Zahlen, deren Wurzel aus ganzen Zahlen besteht (also Zahlen, die keine Brüche sind) werden als perfekte Quadrate bezeichnet. Alle obigen Beispiele (9, 25 und 64) sind perfekte Quadrate, weil ihre Wurzel eine ganze Zahl (3,5 und 8) ist.
   • Auf der anderen Seite werden Zahlen, die bei der Wurzel keine ganze Zahl ergeben, als unvollständige Quadrate bezeichnet. Wenn Sie eine dieser Zahlen unter die Wurzel setzen, erhalten Sie eine Zahl mit einem Dezimalbruch. Manchmal kann diese Nummer ziemlich lang sein. Zum Beispiel √ (13) = 3,605551275464 ...
4. 4 Merken Sie sich die ersten 1-12 vollständigen Quadrate. Wie Sie wahrscheinlich schon bemerkt haben, ist es ziemlich einfach, die Wurzel eines vollständigen Quadrats zu finden! Da diese Aufgaben so einfach sind, lohnt es sich, sich die Wurzeln der ersten Dutzend vollständiger Quadrate zu merken. Diese Zahlen werden Ihnen mehr als einmal begegnen. Nehmen Sie sich also ein wenig Zeit, um sie sich frühzeitig zu merken und in Zukunft Zeit zu sparen.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Vereinfachen Sie die Wurzeln, indem Sie nach Möglichkeit volle Quadrate entfernen. Das Finden der Wurzel eines unvollständigen Quadrats kann manchmal schwierig sein, insbesondere wenn Sie keinen Taschenrechner verwenden (siehe den Abschnitt unten für einige Tricks, um diesen Vorgang zu vereinfachen). Sie können jedoch häufig die Zahl unter der Wurzel vereinfachen, um die Arbeit zu erleichtern. Dazu müssen Sie nur die Zahl unter die Wurzel faktorisieren, dann die Wurzel des Faktors finden, die ein perfektes Quadrat ist, und sie außerhalb der Wurzel schreiben. Das ist einfacher als es klingt.Lesen Sie weiter, um weitere Informationen zu erhalten.
   • Nehmen wir an, wir müssen die Quadratwurzel von 900 finden. Auf den ersten Blick scheint dies eine ziemlich entmutigende Aufgabe zu sein! Es wird jedoch nicht so schwer sein, wenn wir die Zahl 900 durch Faktoren teilen. Multiplikatoren sind Zahlen, die miteinander multipliziert werden, um eine neue Zahl zu ergeben. Zum Beispiel kann die Zahl 6 durch Multiplikation von 1 × 6 und 2 × 3 erhalten werden, ihre Faktoren sind die Zahlen 1, 2, 3 und 6.
   • Anstatt nach der Wurzel von 900 zu suchen, was ein wenig schwierig ist, schreiben wir 900 als 9 × 100. Jetzt, wo 9, was ein perfektes Quadrat ist, von 100 getrennt ist, können wir seine Wurzel finden. (9 × 100) = (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Mit anderen Worten, (900) = 3√ (100).
   • Wir können sogar noch weiter gehen, indem wir 100 durch zwei Faktoren, 25 und 4, dividieren. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Wir können also sagen: dass √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Verwenden Sie imaginäre Zahlen, um die Wurzel einer negativen Zahl zu finden. Fragen Sie sich, welche Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, -16 ergibt? Es ist nicht 4 oder -4, denn das Quadrieren dieser Zahlen ergibt eine positive Zahl 16. Aufgeben? Tatsächlich gibt es keine Möglichkeit, die Wurzel -16 oder eine andere negative Zahl in normale Zahlen zu schreiben. In diesem Fall müssen wir imaginäre Zahlen (normalerweise in Form von Buchstaben oder Symbolen) ersetzen, damit sie anstelle der Wurzel einer negativen Zahl erscheinen. Zum Beispiel wird die Variable "i" normalerweise verwendet, um -1 zu rooten. Normalerweise ist die Wurzel einer negativen Zahl immer die imaginäre Zahl (oder darin enthalten).
   • Beachten Sie, dass imaginäre Zahlen zwar nicht durch gewöhnliche Zahlen dargestellt werden können, sie aber dennoch als solche behandelt werden können. Zum Beispiel kann die Quadratwurzel einer negativen Zahl quadriert werden, um diese negativen Zahlen wie jede andere die Quadratwurzel zu erhalten. Zum Beispiel ich = -1

Teil 2 von 3: Verwenden des Long-Division-Algorithmus

1. 1 Schreiben Sie das Problem mit der Wurzel als lange Divisionsaufgabe auf. Dies kann zwar ziemlich zeitaufwendig sein, aber auf diese Weise können Sie das Problem der unvollständigen Quadratwurzel lösen, ohne auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen. Dazu verwenden wir eine Lösungsmethode (oder einen Algorithmus), die der regulären langen Division ähnlich (aber nicht genau gleich) ist.
   • Schreiben Sie zuerst das Problem mit der Wurzel in der gleichen Form wie bei der langen Division auf. Angenommen, wir wollen die Quadratwurzel von 6,45 finden, die kein perfektes Quadrat ist. Zuerst schreiben wir das übliche Quadratsymbol und dann eine Zahl darunter. Als nächstes zeichnen wir eine Linie über der Zahl, so dass sie in einer kleinen "Box" erscheint, genau wie bei einer langen Division. Danach haben wir eine Wurzel mit einem langen Schwanz und einer 6,45-Zahl darunter.
   • Wir werden Zahlen über der Wurzel schreiben, also lassen Sie dort etwas Platz.
2. 2 Gruppieren Sie die Zahlen paarweise. Um mit der Lösung des Problems zu beginnen, müssen Sie die Ziffern der Zahl unter dem Radikal paarweise gruppieren, beginnend mit einem Dezimalpunkt. Wenn Sie möchten, können Sie zwischen den Paaren kleine Markierungen (wie Punkte, schräge Linien, Kommas usw.) setzen, um Verwechslungen zu vermeiden.
   • In unserem Beispiel müssen wir die Zahl 6.45 wie folgt paaren: 6-, 45-00. Beachten Sie, dass sich links eine "verbleibende" Ziffer befindet - dies ist normal.
3. 3 Finden Sie die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich der ersten "Gruppe" ist. Beginnen Sie mit der ersten Zahl oder dem ersten Paar auf der linken Seite. Wähle die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich der verbleibenden „Gruppe“ ist. Wenn die Gruppe beispielsweise 37 wäre, würden Sie die Zahl 6 wählen, weil 6 = 36 37 und 7 = 49 > 37. Schreiben Sie diese Zahl über die erste Gruppe. Dies ist die erste Zahl in Ihrer Antwort.
   • In unserem Beispiel ist die erste Gruppe bei 6-, 45-00 die Zahl 6. Die größte Zahl, die kleiner oder gleich 6 im Quadrat ist, ist 2 = 4. Schreibe die Zahl 2 über der Zahl 6 unter die Wurzel .
4. 4 Verdoppeln Sie die Zahl, die Sie gerade geschrieben haben, rooten Sie sie und ziehen Sie sie ab. Nehmen Sie die erste Ziffer Ihrer Antwort (die Zahl, die Sie gerade gefunden haben) und verdoppeln Sie sie. Schreiben Sie das Ergebnis unter Ihre erste Gruppe und subtrahieren Sie, um den Unterschied zu finden. Lassen Sie die nächsten Zahlen neben der Antwort fallen. Schreiben Sie zum Schluss links die letzte Doppelziffer der ersten Ziffer Ihrer Antwort und lassen Sie daneben ein Leerzeichen.
   • In unserem Beispiel beginnen wir damit, die Zahl 2 zu verdoppeln, die die erste Zahl in unserer Antwort ist. 2 × 2 = 4.Dann subtrahieren wir 4 von 6 (unsere erste "Gruppe") und erhalten 2. Dann lassen wir die nächste Gruppe (45) weg, um 245 zu erhalten. Und schließlich schreiben wir links noch einmal die Zahl 4, wobei wir ein kleines Leerzeichen bei lassen das ende, hier so: 4_
5. 5 Bitte füllen Sie das Feld aus. Dann müssen Sie rechts neben der aufgezeichneten Nummer, die sich auf der linken Seite befindet, eine Ziffer hinzufügen. Wählen Sie eine Ziffer aus und multiplizieren Sie diese mit Ihrer neuen Zahl, um das größtmögliche Ergebnis zu erhalten, die jedoch kleiner oder gleich der "ausgelassenen" Zahl ist. Wenn Ihre "ausgelassene" Zahl beispielsweise 1700 ist und Ihre linke Zahl 40_ ist, müssen Sie die Zahl 4 in das Leerzeichen schreiben, da 404 × 4 = 1616 1700, während 405 × 5 = 2025 ist. Die gefundene Ziffer in diesem Schritt und ist die zweite Ziffer Ihrer Antwort, sodass Sie sie über dem Wurzelzeichen schreiben können.
   • In unserem Beispiel müssen wir eine Zahl finden und in die Leerzeichen 4_ × _ schreiben, was die Antwort so groß wie möglich macht, aber immer noch kleiner oder gleich 245. In unserem Fall ist es 5. 45 × 5 = 225, während 46 × 6 = 276
6. 6 Verwenden Sie weiterhin leere Zahlen, um die Antwort zu finden. Lösen Sie diese modifizierte lange Division weiter, bis Sie Nullen erhalten, wenn Sie die "ausgelassene" Zahl subtrahieren, oder bis Sie die gewünschte Genauigkeit erhalten. Wenn Sie fertig sind, bilden die Zahlen, die Sie zum Ausfüllen der Lücken in jedem Schritt verwendet haben (plus die allererste Zahl), die Zahl in Ihrer Antwort.
   • Fahren wir mit unserem Beispiel fort, subtrahieren wir 225 von 245, um 20 zu erhalten. Dann lassen wir das nächste Zahlenpaar 00 fallen, um 2000 zu erhalten. Verdoppeln Sie die Zahl über dem Wurzelzeichen. Wir erhalten 25 × 2 = 50. Wenn wir das Beispiel mit Leerzeichen lösen, 50_ × _ = / 2.000, erhalten wir 3. In diesem Stadium haben wir 253 über dem Radikal geschrieben und wiederholen diesen Vorgang erneut, unsere nächste Zahl ist 9 .
7. 7 Verschieben Sie den Dezimalpunkt von der ursprünglichen Dividendenzahl nach vorne. Um Ihre Antwort zu vervollständigen, müssen Sie das Komma an der richtigen Stelle einsetzen. Glücklicherweise ist dies relativ einfach. Alles, was Sie tun müssen, ist, es am ursprünglichen Nummernpunkt auszurichten. Wenn beispielsweise die Zahl 49,8 unter der Wurzel steht, müssen Sie zwischen den beiden Zahlen über der Neun und Acht einen Punkt setzen.
   • In unserem Beispiel steht 6,45 unter dem Radikal, also verschieben wir einfach den Punkt und setzen ihn zwischen die Zahlen 2 und 5 in unserer Antwort und erhalten das Ergebnis 2,539.

Teil 3 von 3: Unvollständige Quadrate schnell zählen

1. 1 Finden Sie unvollständige Quadrate, indem Sie sie zählen. Sobald Sie sich vollständige Quadrate merken, wird es viel einfacher, die Wurzel unvollständiger Quadrate zu finden. Da Sie bereits ein Dutzend perfekte Quadrate kennen, können Sie jede Zahl, die in den Bereich zwischen diesen beiden vollständigen Quadraten fällt, finden, indem Sie alles auf eine grobe Zahl zwischen diesen Werten reduzieren. Beginnen Sie damit, zwei vollständige Quadrate mit Ihrer Zahl dazwischen zu finden. Bestimmen Sie dann, welcher dieser Zahlen Ihre Nummer näher liegt.
   • Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Quadratwurzel von 40 finden. Da wir perfekte Quadrate auswendig gelernt haben, können wir sagen, dass 40 zwischen 6 und 7 oder 36 und 49 liegt. Da 40 größer als 6 ist, ist seine Wurzel größer als 6 , und da er kleiner als 7 ist, ist seine Wurzel auch kleiner als 7. 40 liegt etwas näher bei 36 als bei 49, daher liegt die Antwort wahrscheinlich etwas näher bei 6. In den nächsten Schritten werden wir unser eingrenzen Antworten.
2. 2 Zähle die Quadratwurzel bis zur ersten Dezimalstelle. Sobald Sie zwei vollständige Quadrate ausgewählt haben, zwischen denen Ihre Zahl liegt, kommt es auf Ihre Zählung an, bis Sie die gewünschte Antwort erhalten. Je mehr Sie zählen, desto genauer wird Ihre Antwort sein. Beginnen Sie mit der Auswahl der Stelle, an der das Dezimalkomma in Ihrer Antwort eingefügt werden soll. Es muss nicht richtig sein, aber es spart Ihnen Zeit, wenn Sie logisch arbeiten und so nah wie möglich an der richtigen Antwort ein Ende setzen.
   • In unserem Beispiel könnte eine vernünftige Schätzung der Quadratwurzel von 40 6,4 sein, da wir aus den obigen Informationen wissen, dass die Antwort eher bei 6 als bei 7 liegt.
3. 3 Multiplizieren Sie die ungefähre Zahl mit sich selbst. Als nächstes sollten Sie die ungefähre Zahl quadrieren. Sie werden höchstwahrscheinlich Pech haben und die Originalnummer nicht erhalten. Es wird entweder etwas größer oder etwas kleiner sein.Wenn Ihr Ergebnis zu hoch ist, versuchen Sie es erneut, jedoch mit einer etwas niedrigeren Schätzung (und umgekehrt, wenn das Ergebnis zu niedrig ist).
   • Multiplizieren Sie 6,4 mit sich selbst, und Sie erhalten 6,4 x 6,4 = 40,96, was etwas mehr als die ursprüngliche Zahl ist.
   • Da sich unsere Antwort als größer herausstellte, sollten wir die Zahl mit einem Zehntel weniger mit dem Näherungswert multiplizieren und erhalten folgendes: 6,3 × 6,3 = 39,69. Dies ist etwas weniger als die ursprüngliche Zahl. Dies bedeutet, dass die Quadratwurzel von 40 zwischen 6,3 und 6,4 liegt. Da 39,69 näher an 40 als 40,96 liegt, wissen wir, dass die Quadratwurzel eher bei 6,3 als bei 6,4 liegt.
4. 4 Rechnen Sie weiter. Wenn Sie mit Ihrer Antwort zufrieden sind, können Sie an dieser Stelle einfach die erste Vermutung anstellen, die Sie erraten. Wenn Sie jedoch eine genauere Antwort wünschen, müssen Sie lediglich einen Näherungswert mit zwei Dezimalstellen wählen, der diesen Näherungswert zwischen die ersten beiden Zahlen setzt. Wenn Sie diese Zählung fortsetzen, erhalten Sie drei, vier oder mehr Dezimalstellen für Ihre Antwort. Es hängt alles davon ab, wie weit Sie gehen möchten.
   • Wählen wir für unser Beispiel 6,33 als Näherungswert mit zwei Dezimalstellen. Multiplizieren Sie 6,33 mit sich selbst, um 6,33 × 6,33 = 40,0689 zu erhalten. da diese etwas größer als unsere Zahl ist, nehmen wir eine kleinere Zahl, zum Beispiel 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Diese Antwort ist etwas kleiner als unsere Zahl, daher wissen wir, dass die genaue Quadratwurzel zwischen 6,32 und 6,33 liegt. Wenn wir fortfahren wollten, würden wir weiterhin denselben Ansatz verwenden, um eine immer genauere Antwort zu erhalten.

Tipps

• Um schnell eine Lösung zu finden, verwenden Sie den Rechner. Die meisten modernen Taschenrechner können die Quadratwurzel einer Zahl sofort ermitteln. Alles, was Sie tun müssen, ist Ihre Nummer einzugeben und dann auf den Root-Button zu klicken. Um beispielsweise die Wurzel 841 zu finden, müssen Sie 8, 4, 1 und (√) drücken. Als Ergebnis erhalten Sie eine Antwort von 39.