Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: Faktorisieren einer Gleichung
• Methode 2 von 3: Verwenden der quadratischen Formel
• Methode 3 von 3: Das Quadrat vervollständigen
• Tipps

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die größte Potenz einer Variablen 2 ist. Es gibt drei Hauptmethoden, um quadratische Gleichungen zu lösen: Wenn möglich, faktorisieren Sie die quadratische Gleichung, verwenden Sie die quadratische Formel oder vervollständigen Sie das Quadrat. Sie wollen wissen, wie das alles geht? Weiter lesen.

Schritte

Methode 1 von 3: Faktorisieren einer Gleichung

1. 1 Fügen Sie alle ähnlichen Elemente hinzu und übertragen Sie sie auf eine Seite der Gleichung. Dies wird der erste Schritt sein, das heißt ${ Anzeigestil x ^ {2}}$ in diesem Fall sollte es positiv bleiben. Addiere oder subtrahiere alle Werte ${ Anzeigestil x ^ {2}}$, ${ Anzeigestil x}$ und konstant, alles in einen Teil übertragen und im anderen 0 belassen. So geht's:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ Anzeigestil 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 Faktorisieren Sie den Ausdruck. Dazu müssen Sie die Werte verwenden ${ Anzeigestil x ^ {2}}$ (3), konstante Werte (-4), sie müssen multipliziert werden und bilden -11. So geht's:
   • ${ Displaystil 3x ^ {2}}$ hat nur zwei mögliche Faktoren: ${ Anzeigestil 3x}$ und ${ Anzeigestil x}$so können sie in Klammern geschrieben werden: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Als nächstes ersetzen wir die Faktoren von 4 und finden die Kombination, die, wenn sie multipliziert wird, -11x ergibt. Sie können eine Kombination aus 4 und 1 oder 2 und 2 verwenden, da beide 4 ergeben. Denken Sie daran, dass die Werte negativ sein müssen, da wir -4 haben.
   • Durch Versuch und Irrtum erhalten Sie die Kombination ${ Anzeigestil (3x + 1) (x-4)}$... Beim Multiplizieren erhalten wir ${ Displaystil 3x ^ {2} -12x + x-4}$... Durch Anschließen ${ Anzeigestil -12x}$ und ${ Anzeigestil x}$, wir bekommen die mittelfrist ${ Anzeigestil -11x}$die wir gesucht haben. Die quadratische Gleichung wird faktorisiert.
   • Versuchen wir zum Beispiel eine ungeeignete Kombination: (${ Anzeigestil (3x-2) (x + 2)}$ = ${ Displaystil 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombinieren wir erhalten ${ Displaystil 3x ^ {2} -4x-4}$... Obwohl sich die Faktoren -2 und 2 auf -4 multiplizieren, funktioniert der Mittelterm nicht, weil wir das bekommen wollten ${ Anzeigestil -11x}$, und nicht ${ Anzeigestil -4x}$.
3. 3 Setzen Sie jeden Ausdruck in Klammern mit Null gleich (als separate Gleichungen). So finden wir zwei Bedeutungen ${ Anzeigestil x}$für die die ganze Gleichung gleich Null ist, ${ Anzeigestil (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Jetzt müssen noch alle Ausdrücke in Klammern mit Null gleichgesetzt werden. Wieso den? Der Punkt ist, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Als ${ Anzeigestil (3x + 1) (x-4)}$ Null ist, dann ist entweder (3x + 1) oder (x - 4) Null. Aufschreiben ${ Anzeigestil 3x + 1 = 0}$ und ${ Anzeigestil x-4 = 0}$.
4. 4 Lösen Sie jede Gleichung separat. In einer quadratischen Gleichung hat x zwei Bedeutungen. Lösen Sie die Gleichungen und notieren Sie die x-Werte:
   • Lösen Sie die Gleichung 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... durch Subtraktion
     • 3x / 3 = -1/3 ..... durch Division
     • x = -1/3 ..... nach Vereinfachung
   • Lösen Sie die Gleichung x - 4 = 0
     • x = 4 ..... durch Subtraktion
   • x = (-1/3, 4) ..... mögliche Werte, d. h. x = -1/3 oder x = 4.
5. 5 Überprüfen Sie x = -1/3, indem Sie diesen Wert in (3x + 1) (x - 4) = 0 einsetzen:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... durch Substitution
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... nach Vereinfachung
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... nach Multiplikation
   • 0 = 0, also x = -1/3 ist die richtige Antwort.
6. 6 Überprüfen Sie x = 4, indem Sie diesen Wert in (3x + 1) (x - 4) = 0 einsetzen:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... durch Substitution
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... nach Vereinfachung
   • (13) (0) = 0 ..... nach der Multiplikation
   • 0 = 0, daher ist x = 4 die richtige Antwort.
   • Somit sind beide Lösungen richtig.

Methode 2 von 3: Verwenden der quadratischen Formel

1. 1 Kombiniere alle Terme und schreibe auf eine Seite der Gleichung. Wert speichern ${ Anzeigestil x ^ {2}}$ positiv. Schreiben Sie die Terme in absteigender Reihenfolge, also der Term ${ Anzeigestil x ^ {2}}$ erst buchstabiert, dann ${ Anzeigestil x}$ und dann eine Konstante:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Schreiben Sie die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung auf. Die Formel sieht so aus: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Bestimmen Sie die Werte von a, b und c in einer quadratischen Gleichung. Variable ein ist der Koeffizient des Termes x, B - Mitglied x, C - konstant. Für Gleichung 3x – 5x – 8 = 0, a = 3, b = –5 und c = –8. Schreib es auf.
4. 4 Setze die Werte für a, b und c in die Gleichung ein. Wenn Sie die Werte der drei Variablen kennen, können Sie sie wie folgt in die Gleichung einsetzen:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Zählen Sie es auf. Ersetzen Sie die Werte, vereinfachen Sie die Vor- und Nachteile und multiplizieren oder quadrieren Sie die restlichen Terme:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Vereinfachen Sie die Quadratwurzel. Wenn die Quadratwurzel ein Quadrat ist, erhalten Sie eine ganze Zahl. Wenn nicht, vereinfachen Sie es auf den einfachsten Wurzelwert. Wenn die Zahl negativ ist, und du bist dir sicher, dass es negativ sein muss, dann sind die Wurzeln komplex. In diesem Beispiel (121) = 11. Sie können schreiben, dass x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Finden Sie positive und negative Lösungen. Wenn Sie das Quadratwurzelzeichen entfernt haben, können Sie fortfahren, bis Sie positive und negative x-Werte gefunden haben. Mit (5 +/- 11) / 6 können Sie schreiben:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Finden Sie positive und negative Werte. Zählen Sie einfach:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Vereinfachen. Teilen Sie dazu einfach beide durch den größten gemeinsamen Faktor. Teilen Sie den ersten Bruch durch 2, den zweiten durch 6, x wird gefunden.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Methode 3 von 3: Das Quadrat vervollständigen

1. 1 Verschiebe alle Terme auf eine Seite der Gleichung.ein oder x muss positiv sein. Dies geschieht so:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • In dieser Gleichung ein: 2, B: -12,C: -9.
2. 2 Mitglied übertragen C (permanent) auf die andere Seite. Eine Konstante ist ein Ausdruck in einer Gleichung, der nur einen numerischen Wert ohne Variablen enthält.Verschieben Sie es auf die rechte Seite:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Teilen Sie beide Teile durch den Faktor ein oder x. Wenn x keinen Koeffizienten hat, ist es gleich eins und dieser Schritt kann übersprungen werden. In unserem Beispiel teilen wir alle Mitglieder durch 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Teilen B um 2, quadrieren und auf beiden Seiten hinzufügen. In unserem Beispiel B gleich -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Vereinfachen Sie beide Seiten. Quadrieren Sie die Terme auf der linken Seite, um (x-3) (x-3) oder (x-3) zu erhalten. Fügen Sie die Terme rechts hinzu, um 9/2 + 9 oder 9/2 + 18/2 zu bilden, was 27/2 ergibt.
6. 6 Extrahiere die Quadratwurzel beider Seiten. Die Quadratwurzel von (x-3) ist einfach (x-3). Die Quadratwurzel von 27/2 kann als ± (27/2) geschrieben werden. Somit ist x – 3 = ± (27/2).
7. 7 Vereinfachen Sie den radikalen Ausdruck und finde x. Um ± √ (27/2) zu vereinfachen, finden Sie das perfekte Quadrat aus den Zahlen 27 und 2 oder ihren Faktoren. In 27 gibt es ein vollständiges Quadrat von 9, denn 9 x 3 = 27. Um 9 aus dem Wurzelzeichen abzuleiten, ziehen Sie die Wurzel daraus und ziehen Sie 3 vom Wurzelzeichen ab. Lassen Sie 3 in den Zählern des Bruches unter dem Wurzelzeichen, da dieser Faktor nicht extrahiert werden kann, und lassen Sie auch 2 unten. Verschiebe als nächstes die Konstante 3 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und schreibe die beiden Lösungen für x auf:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Tipps

• Wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen kein vollständiges Quadrat ist, werden die letzten Schritte etwas anders ausgeführt. Hier ist ein Beispiel:
• Wie Sie sehen, ist das Wurzelzeichen nicht verschwunden. Auf diese Weise können die Terme in den Zählern nicht kombiniert werden. Dann macht es keinen Sinn, Plus oder Minus aufzuteilen. Stattdessen teilen wir alle gemeinsamen Faktoren auf - aber nur wenn der gemeinsame Faktor der Konstanten und Wurzelkoeffizient.