Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: So lösen Sie eine kubische Gleichung ohne konstanten Term
• Methode 2 von 3: So finden Sie ganze Wurzeln mit Multiplikatoren
• Methode 3 von 3: So lösen Sie eine Gleichung mit der Diskriminanz

In einer kubischen Gleichung ist der höchste Exponent 3, eine solche Gleichung hat 3 Wurzeln (Lösungen) und hat die Form ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Einige kubische Gleichungen sind nicht so einfach zu lösen, aber wenn Sie die richtige Methode anwenden (mit gutem theoretischen Hintergrund), können Sie die Wurzeln selbst der komplexesten kubischen Gleichung finden - verwenden Sie dazu die Formel zum Lösen der quadratischen Gleichung, finden Sie die ganze Wurzeln oder berechne die Diskriminante.

Schritte

Methode 1 von 3: So lösen Sie eine kubische Gleichung ohne konstanten Term

1. 1 Finden Sie heraus, ob es einen freien Term in der kubischen Gleichung gibt D{ Anzeigestil d}. Die kubische Gleichung hat die Form ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Damit eine Gleichung als kubisch angesehen wird, genügt es, dass nur der Term ${ Anzeigestil x ^ {3}}$ (das heißt, es dürfen überhaupt keine anderen Mitglieder vorhanden sein).
   • Wenn die Gleichung einen freien Term hat ${ Anzeigestil d}$, verwenden Sie eine andere Methode.
   • Wenn in der Gleichung ${ Anzeigestil a = 0}$, es ist nicht kubisch.
2. 2 Aus den Klammern nehmen x{ Anzeigestil x}. Da es keinen freien Term in der Gleichung gibt, enthält jeder Term in der Gleichung die Variable ${ Anzeigestil x}$... Das bedeutet, dass man ${ Anzeigestil x}$ kann aus Klammern ausgeschlossen werden, um die Gleichung zu vereinfachen. Somit wird die Gleichung wie folgt geschrieben: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Zum Beispiel gegeben eine kubische Gleichung ${ Displaystil 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Mitnahme ${ Anzeigestil x}$ Klammern und bekommen ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktoriere (das Produkt zweier Binome) die quadratische Gleichung (wenn möglich). Viele quadratische Gleichungen der Form ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ faktorisiert werden kann. Eine solche Gleichung wird sich ergeben, wenn wir herausnehmen ${ Anzeigestil x}$ außerhalb der Klammern. In unserem Beispiel:
   • Aus den Klammern nehmen ${ Anzeigestil x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung: ${ Anzeigestil x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Gleiche jeden Behälter mit ${ Anzeigestil 0}$... Die Wurzeln dieser Gleichung sind ${ Anzeigestil x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Löse eine quadratische Gleichung mit einer speziellen Formel. Tun Sie dies, wenn die quadratische Gleichung nicht faktorisiert werden kann. Um zwei Wurzeln einer Gleichung zu finden, die Werte der Koeffizienten ${ Anzeigestil a}$, ${ Anzeigestil b}$, ${ Anzeigestil c}$ in der Formel ersetzen ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Ersetzen Sie in unserem Beispiel die Werte der Koeffizienten ${ Anzeigestil a}$, ${ Anzeigestil b}$, ${ Anzeigestil c}$ (${ Anzeigestil 3}$, ${ Anzeigestil -2}$, ${ Anzeigestil 14}$) in die Formel:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Erste Wurzel:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Zweite Wurzel:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Verwenden Sie Null- und Quadratwurzeln als Lösungen der kubischen Gleichung. Quadratische Gleichungen haben zwei Wurzeln, während kubische drei haben. Sie haben bereits zwei Lösungen gefunden - das sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Wenn Sie "x" außerhalb der Klammern setzen, wäre die dritte Lösung ${ Anzeigestil 0}$.
   • Wenn du "x" aus den Klammern nimmst, bekommst du ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, also zwei Faktoren: ${ Anzeigestil x}$ und eine quadratische Gleichung in Klammern. Wenn einer dieser Faktoren ${ Anzeigestil 0}$, die ganze Gleichung ist auch gleich ${ Anzeigestil 0}$.
   • Somit sind zwei Wurzeln einer quadratischen Gleichung Lösungen einer kubischen Gleichung. Die dritte Lösung ist ${ Anzeigestil x = 0}$.

Methode 2 von 3: So finden Sie ganze Wurzeln mit Multiplikatoren

1. 1 Stellen Sie sicher, dass die kubische Gleichung einen freien Term enthält D{ Anzeigestil d}. Wenn in einer Gleichung der Form ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ es gibt ein kostenloses Mitglied ${ Anzeigestil d}$ (was ungleich Null ist), funktioniert es nicht, "x" außerhalb der Klammern zu setzen. Verwenden Sie in diesem Fall die in diesem Abschnitt beschriebene Methode.
   • Zum Beispiel gegeben eine kubische Gleichung ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Um Null auf der rechten Seite der Gleichung zu erhalten, addiere ${ Anzeigestil 6}$ auf beiden Seiten der Gleichung.
   • Die Gleichung wird sich ergeben ${ Anzeigestil 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Als ${ Anzeigestil d = 6}$, kann die im ersten Abschnitt beschriebene Methode nicht verwendet werden.
2. 2 Notieren Sie die Faktoren des Koeffizienten ein{ Anzeigestil a} und ein kostenloses Mitglied D{ Anzeigestil d}. Das heißt, finde die Faktoren der Zahl bei ${ Anzeigestil x ^ {3}}$ und Zahlen vor dem Gleichheitszeichen. Denken Sie daran, dass die Faktoren einer Zahl die Zahlen sind, die, wenn sie multipliziert werden, diese Zahl ergeben.
   • Um zum Beispiel die Nummer zu erhalten 6, du musst multiplizieren ${ Displaystil 6 mal 1}$ und ${ Displaystil 2 mal 3}$... Also die Zahlen 1, 2, 3, 6 sind Faktoren der Zahl 6.
   • In unserer Gleichung ${ Anzeigestil a = 2}$ und ${ Anzeigestil d = 6}$... Multiplikatoren 2 sind 1 und 2... Multiplikatoren 6 sind die zahlen 1, 2, 3 und 6.
3. 3 Teilen Sie jeden Faktor ein{ Anzeigestil a} für jeden Faktor D{ Anzeigestil d}. Als Ergebnis erhalten Sie viele Brüche und mehrere ganze Zahlen; die Wurzeln der kubischen Gleichung sind eine der ganzen Zahlen oder der negative Wert einer der ganzen Zahlen.
   • Teilen Sie in unserem Beispiel die Faktoren ${ Anzeigestil a}$ (1 und 2) nach Faktoren ${ Anzeigestil d}$ (1, 2, 3 und 6). Du wirst kriegen: ${ Anzeigestil 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Anzeigestil 2}$ und ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Fügen Sie nun negative Werte der erhaltenen Brüche und Zahlen zu dieser Liste hinzu: ${ Anzeigestil 1}$, ${ Anzeigestil -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Anzeigestil 2}$, ${ Anzeigestil -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ und ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Die ganzen Wurzeln der kubischen Gleichung sind einige Zahlen aus dieser Liste.
4. 4 Setze ganze Zahlen in die kubische Gleichung ein. Wenn die Gleichheit wahr ist, ist die ersetzte Zahl die Wurzel der Gleichung. Setze zum Beispiel in die Gleichung ein ${ Anzeigestil 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Anzeigestil 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, dh Gleichheit wird nicht eingehalten. Geben Sie in diesem Fall die nächste Zahl ein.
   • Ersatz ${ Anzeigestil -1}$: ${ Anzeigestil (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Somit ist ${ Anzeigestil -1}$ ist die ganze Wurzel der Gleichung.
5. 5 Verwenden Sie die Methode zum Dividieren von Polynomen durch Horners Schemaum die Wurzeln der Gleichung schneller zu finden. Tun Sie dies, wenn Sie Zahlen nicht manuell in die Gleichung einsetzen möchten. Im Horner-Schema werden ganze Zahlen durch die Werte der Koeffizienten der Gleichung geteilt ${ Anzeigestil a}$, ${ Anzeigestil b}$, ${ Anzeigestil c}$ und ${ Anzeigestil d}$... Wenn die Zahlen gerade teilbar sind (d. h. der Rest ist ${ Anzeigestil 0}$), ist eine ganze Zahl die Wurzel der Gleichung.
   • Horners Schema verdient einen separaten Artikel, aber das Folgende ist ein Beispiel für die Berechnung einer der Wurzeln unserer kubischen Gleichung mit diesem Schema:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Der Rest ist also ${ Anzeigestil 0}$, aber ${ Anzeigestil -1}$ ist eine der Wurzeln der Gleichung.

Methode 3 von 3: So lösen Sie eine Gleichung mit der Diskriminanz

1. 1 Schreiben Sie die Werte der Koeffizienten der Gleichung auf ein{ Anzeigestil a}, B{ Anzeigestil b}, C{ Anzeigestil c} und D{ Anzeigestil d}. Wir empfehlen Ihnen, die Werte der angegebenen Koeffizienten im Voraus aufzuschreiben, um in Zukunft nicht verwirrt zu werden.
   • Zum Beispiel gegeben die Gleichung ${ Displaystil x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... Aufschreiben ${ Anzeigestil a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ Anzeigestil c = 3}$ und ${ Anzeigestil d = -1}$... Erinnere dich daran, wenn vorher ${ Anzeigestil x}$ es gibt keine Zahl, der entsprechende Koeffizient existiert noch und ist gleich ${ Anzeigestil 1}$.
2. 2 Berechnen Sie die Null-Diskriminante mit einer speziellen Formel. Um eine kubische Gleichung mit der Diskriminante zu lösen, müssen Sie eine Reihe schwieriger Berechnungen durchführen, aber wenn Sie alle Schritte korrekt ausführen, wird diese Methode für die Lösung der komplexesten kubischen Gleichungen unverzichtbar. Zuerst berechnen ${ Anzeigestil Delta _ {0}}$ (Null-Diskriminante) ist der erste Wert, den wir brauchen; ersetzen Sie dazu die entsprechenden Werte in der Formel ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Die Diskriminante ist eine Zahl, die die Wurzeln eines Polynoms charakterisiert (z. B. wird die Diskriminante einer quadratischen Gleichung nach der Formel berechnet ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • In unserer Gleichung:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Anzeigestil (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystil 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Berechnen Sie die erste Diskriminante mit der Formel Δ1=2B3−9einBC+27ein2D{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Erste Diskriminante ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - Dies ist der zweite wichtige Wert; Um es zu berechnen, setzen Sie die entsprechenden Werte in die angegebene Formel ein.
   • In unserer Gleichung:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Anzeigestil 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Anzeigestil -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Berechnung:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Das heißt, finde die Diskriminante der kubischen Gleichung durch die erhaltenen Werte ${ Anzeigestil Delta _ {0}}$ und ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Wenn die Diskriminante einer kubischen Gleichung positiv ist, hat die Gleichung drei Wurzeln; wenn die Diskriminante null ist, hat die Gleichung eine oder zwei Wurzeln; ist die Diskriminante negativ, hat die Gleichung eine Wurzel.
   • Eine kubische Gleichung hat immer mindestens eine Wurzel, da der Graph dieser Gleichung die X-Achse mindestens in einem Punkt schneidet.
   • In unserer Gleichung ${ Anzeigestil Delta _ {0}}$ und ${ displaystyle Delta _ {1}}$ sind gleich ${ Anzeigestil 0}$, damit Sie leicht berechnen können ${ Anzeigestil Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ Anzeigestil 0 = Delta}$... Somit hat unsere Gleichung eine oder zwei Wurzeln.

5. 5 Berechnung:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } rechts) div 2}}}$. ${ Anzeigestil C}$ - Dies ist die letzte wichtige Größe, die gefunden werden kann; es wird Ihnen helfen, die Wurzeln der Gleichung zu berechnen. Setze die Werte in die angegebene Formel ein ${ displaystyle Delta _ {1}}$ und ${ Anzeigestil Delta _ {0}}$.
   • In unserer Gleichung:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ Anzeigestil 0 = C}$

6. 6 Finden Sie drei Wurzeln der Gleichung. Mach es mit der Formel ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, wo ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, aber n entspricht 1, 2 oder 3... Setzen Sie die entsprechenden Werte in diese Formel ein - als Ergebnis erhalten Sie drei Wurzeln der Gleichung.
   • Berechnen Sie den Wert mit der Formel at n = 1, 2 oder 3und überprüfe dann die Antwort. Wenn Sie beim Überprüfen Ihrer Antwort 0 erhalten, ist dieser Wert die Wurzel der Gleichung.
   • In unserem Beispiel ersetzen 1 In ${ Displaystil x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ und bekomme 0, also 1 ist eine der Wurzeln der Gleichung.