Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 2: Finden der Seiten eines rechten Dreiecks
• Methode 2 von 2: Berechnen des Abstands zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenebene
• Tipps

Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Formel, die noch heute verwendet wird. Der Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist: a + b = c, wobei a und b die Schenkel des Dreiecks sind (Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden), c ist die Hypotenuse des Dreiecks. Der Satz des Pythagoras ist in vielen Fällen anwendbar, zum Beispiel ist es mit diesem Satz leicht, den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Koordinatenebene zu finden.

Schritte

Methode 1 von 2: Finden der Seiten eines rechten Dreiecks

1. 1 Stellen Sie sicher, dass das Dreieck, das Sie erhalten, rechtwinklig ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Bei rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.
   • Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein quadratisches Symbol angezeigt, nicht durch eine Kurve, die ein schiefer Winkel ist.
2. 2 Füge Hilfslinien für die Seiten des Dreiecks hinzu. Beschriften Sie die Beine mit "a" und "b" (Beine - Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit "c" (Hypotenuse - die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die einem rechten Winkel gegenüberliegt).
3. 3 Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie finden möchten. Der Satz des Pythagoras ermöglicht es Ihnen, jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden (wenn die anderen beiden Seiten bekannt sind). Bestimmen Sie, welche Seite (a, b, c) Sie finden müssen.
   • Zum Beispiel bei einer Hypotenuse von 5 und einem Bein von 3. In diesem Fall müssen Sie das zweite Bein finden. Auf dieses Beispiel kommen wir später zurück.
   • Wenn die anderen beiden Seiten unbekannt sind, ist es notwendig, die Länge einer der unbekannten Seiten zu finden, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. Verwenden Sie dazu die grundlegenden trigonometrischen Funktionen (wenn Sie den Wert eines der schiefen Winkel erhalten).
4. 4 Ersetzen Sie Ihre angegebenen Werte (oder die von Ihnen gefundenen Werte) in die Formel a + b = c. Denken Sie daran, dass a und b Beine sind und c Hypotenuse.
   • Schreiben Sie in unserem Beispiel: 3² + b² = 5².
5. 5 Quadrieren Sie jede Seite, die Sie kennen. Oder lassen Sie die Grade stehen - Sie können die Zahlen später quadrieren.
   • Schreiben Sie in unserem Beispiel: 9 + b² = 25.
6. 6 Isolieren Sie die unbekannte Seite auf einer Seite der Gleichung. Übertragen Sie dazu die bekannten Werte auf die andere Seite der Gleichung. Wenn Sie die Hypotenuse finden, ist sie im Satz des Pythagoras bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert (also muss nichts getan werden).
   • Verschieben Sie in unserem Beispiel 9 auf die rechte Seite der Gleichung, um das unbekannte b² zu isolieren. Sie erhalten b² = 16.
7. 7 Ziehe die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung. In diesem Stadium gibt es auf der einen Seite der Gleichung eine Unbekannte (Quadrat) und auf der anderen Seite einen freien Term (Zahl).
   • In unserem Beispiel ist b² = 16. Ziehe die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung und erhalte b = 4. Das zweite Bein ist also 4.
8. 8 Verwenden Sie den Satz des Pythagoras in Ihrem täglichen Leben, da er in einer Vielzahl von praktischen Situationen angewendet werden kann. Lernen Sie dazu im Alltag rechtwinklige Dreiecke zu erkennen - in jeder Situation, in der sich zwei Objekte (oder Linien) im rechten Winkel schneiden und ein drittes Objekt (oder eine Linie) die Spitzen der ersten beiden Objekte (diagonal) verbindet (oder Linien) können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die unbekannte Seite zu finden (wenn die anderen beiden Seiten bekannt sind).
   • Beispiel: An ein Gebäude gelehnt eine Treppe. Das untere Ende der Treppe ist 5 Meter von der Basis der Wand entfernt. Die Spitze der Treppe befindet sich 20 Meter über dem Boden (die Wand hinauf). Wie lang sind die Treppen?
     • "5 Meter von der Basis der Wand" bedeutet, dass a = 5; "Befindet sich 20 Meter über dem Boden" bedeutet, dass b = 20 (dh Sie erhalten zwei Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, da sich die Gebäudewand und die Erdoberfläche im rechten Winkel schneiden). Die Länge der Leiter ist die Länge der Hypotenuse, die nicht bekannt ist.
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • c = √425
       • s = 20,6. Die ungefähre Länge der Leiter ist also 20,6 Meter.

Methode 2 von 2: Berechnen des Abstands zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenebene

1. 1 Wählen Sie zwei Punkte auf der Koordinatenebene aus. Mit dem Satz des Pythagoras können Sie die Länge des Segments berechnen, das zwei Punkte auf der Koordinatenlinie verbindet.Dazu müssen Sie die Koordinaten (x, y) jedes Punktes kennen.
   • Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu ermitteln, betrachten Sie die Punkte als Eckpunkte eines Dreiecks, nicht angrenzend an den rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks. So können Sie leicht die Schenkel des Dreiecks finden und dann die Hypotenuse berechnen, die dem Abstand zwischen zwei Punkten entspricht.
2. 2 Zeichnen Sie Punkte auf der Koordinatenebene. Legen Sie die Koordinaten (x, y) beiseite, wobei die x-Koordinate entlang der horizontalen Achse und die y-Koordinate entlang der vertikalen Achse liegt. Sie können den Abstand zwischen Punkten ermitteln, ohne einen Graphen zu zeichnen, aber mit einem Graphen können Sie den Prozess Ihrer Berechnungen visuell darstellen.
3. 3 Finde die Schenkel des Dreiecks. Sie können dies tun, indem Sie die Länge der Beine direkt auf der Grafik messen oder die Formeln verwenden: | x₁ - x₂| um die Länge des horizontalen Schenkels zu berechnen, und |y₁ - ja₂| um die Länge des vertikalen Schenkels zu berechnen, wobei (x₁, ja₁) Sind die Koordinaten des ersten Punktes und (x₂, ja₂) - Koordinaten des zweiten Punktes.
   • Beispiel: gegebene Punkte: A (6.1) und B (3.5). Horizontale Beinlänge:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Länge des vertikalen Beins:
     • | du₁ - ja₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • In einem rechtwinkligen Dreieck gilt also a = 3 und b = 4.
4. 4 Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Hypotenuse zu finden. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist gleich der Hypotenuse des Dreiecks, dessen zwei Seiten Sie gerade gefunden haben. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Hypotenuse zu finden, indem Sie die gefundenen Werte der Beine (a und b) in die Formel einsetzen.
   • In unserem Beispiel ist a = 3 und b = 4. Die Hypotenuse berechnet sich wie folgt:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = (9 + 16)

       c = (25)

       c = 5. Der Abstand zwischen den Punkten A (6.1) und B (3.5) ist 5.

Tipps

• Hypotenuse ist immer:
  • liegt einem rechten Winkel gegenüber;
  • ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks;
  • im Satz des Pythagoras als "c" bezeichnet;
• √ (x) bedeutet "Quadratwurzel von x".
• Vergessen Sie nicht, die Antwort zu überprüfen. Wenn die Antwort falsch erscheint, wiederholen Sie die Berechnungen.
• Ein weiterer Punkt ist, dass die längste Seite der größten Ecke gegenüberliegt und die kürzeste Seite der kleinsten Ecke gegenüberliegt.
• Lerne die Zahlen des pythagoräischen Tripletts, die die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Das primitivste pythagoräische Triplett ist 3, 4, 5. Wenn Sie also die Länge von zwei Seiten kennen, müssen Sie nicht nach einer dritten suchen.
  • Denken Sie daran, dass die Hypotenuse immer die längste Seite ist.
• Wenn Sie ein regelmäßiges Dreieck (statt eines rechteckigen) erhalten, sind mehr Informationen als nur die Längen der beiden Seiten erforderlich.
• Grafiken sind eine visuelle Möglichkeit, die Bezeichnungen a, b und c zu zeichnen. Wenn Sie ein Problem lösen, erstellen Sie zuerst ein Diagramm.
• Wenn nur die Länge einer Seite angegeben ist, kann der Satz des Pythagoras nicht angewendet werden. Versuchen Sie es mit Trigonometrie (sin, cos, tan).
• Wenn wir von einem Problem eines bestimmten Grundstücks sprechen, können wir sicher davon ausgehen, dass Bäume, Säulen, Mauern usw. einen rechten Winkel mit dem Boden bilden, sofern nicht anders angegeben.