Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: Berechnung der Steigung der Liniengleichung
• Methode 2 von 3: Berechnen Sie die Neigung mit zwei Punkten
• Methode 3 von 3: Verwenden der Differentialrechnung zur Berechnung der Steigung

Die Steigung charakterisiert den Neigungswinkel der Geraden zur Abszissenachse (die Steigung ist numerisch gleich der Tangente dieses Winkels). Die Steigung ist in der Gleichung einer Geraden enthalten und wird bei der mathematischen Analyse von Kurven verwendet, wo sie immer gleich der Ableitung einer Funktion ist. Um das Verständnis der Steigung zu erleichtern, stellen Sie sich vor, dass sie die Änderungsrate der Funktion beeinflusst, dh je größer der Wert der Steigung, desto größer der Wert der Funktion (bei gleichem Wert der unabhängigen Variablen).

Schritte

Methode 1 von 3: Berechnung der Steigung der Liniengleichung

1. 1 Verwenden Sie die Steigung, um den Winkel der Linie zur Abszisse und die Richtung dieser Linie zu bestimmen. Die Berechnung der Steigung ist ziemlich einfach, wenn Sie die Gleichung einer geraden Linie erhalten. Denken Sie daran, dass in jeder Geradengleichung:
   • Keine Exponenten
   • Es gibt nur zwei Variablen, von denen keine ein Bruch ist (zum Beispiel wie ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • Die Geradengleichung hat die Form ${ Displaystil y = kx + b}$, wobei k und b numerische Koeffizienten sind (zum Beispiel 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 Um die Steigung zu finden, müssen Sie den Wert von k ermitteln (Koeffizient bei "x"). Wenn die Ihnen gegebene Gleichung die Form hat ${ Displaystil y = kx + b}$, um die Steigung zu finden, müssen Sie nur auf die Zahl vor dem "x" schauen. Beachten Sie, dass k (Steigung) immer bei der unabhängigen Variablen liegt (in diesem Fall "x"). Wenn Sie verwirrt sind, sehen Sie sich die folgenden Beispiele an:
   • ${ Anzeigestil y = 2x + 6}$
     • Steigung = 2
   • ${ Anzeigestil y = 2-x}$
     • Steigung = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • Steigung = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 Wenn die Ihnen gegebene Gleichung eine andere Form als hat ja=kx+B{ Displaystil y = kx + b}, isoliere die abhängige Variable. In den meisten Fällen wird die abhängige Variable als "y" bezeichnet, und um sie zu isolieren, können Sie Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und andere Operationen ausführen. Denken Sie daran, dass jede mathematische Operation auf beiden Seiten der Gleichung ausgeführt werden muss (um ihren ursprünglichen Wert nicht zu ändern). Sie müssen jede Ihnen gegebene Gleichung in das Formular einbringen ${ Displaystil y = kx + b}$... Betrachten wir ein Beispiel:
   • Finden Sie die Steigung der Gleichung ${ Anzeigestil 2y-3 = 8x + 7}$
   • Es ist notwendig, diese Gleichung in die Form zu bringen ${ Displaystil y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x + 7 (+3)}$
     • ${ Anzeigestil 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ Anzeigestil y = 4x + 5}$
   • Die Steigung finden:
     • Steigung = k = 4

Methode 2 von 3: Berechnen Sie die Neigung mit zwei Punkten

1. 1 Verwenden Sie das Diagramm und zwei Punkte, um die Steigung zu berechnen. Wenn Sie nur einen Graphen einer Funktion erhalten (keine Gleichung), können Sie immer noch die Steigung finden. Dazu benötigen Sie die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten in diesem Diagramm; Koordinaten werden in die Formel eingesetzt: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Um Fehler bei der Berechnung der Steigung zu vermeiden, beachten Sie Folgendes:
   • Wenn der Graph ansteigt, ist die Steigung positiv.
   • Wenn der Graph abnimmt, ist die Steigung negativ.
   • Je höher der Steigungswert, desto steiler die Kurve (und umgekehrt).
   • Die Steigung einer Geraden parallel zur Abszissenachse ist 0.
   • Die Steigung einer zur Ordinate parallelen Geraden existiert nicht (sie ist unendlich).
2. 2 Finden Sie die Koordinaten von zwei Punkten. Markieren Sie im Diagramm zwei beliebige Punkte und suchen Sie ihre Koordinaten (x, y). Zum Beispiel befinden sich die Punkte A (2.4) und B (6.6) in der Grafik.
   • In einem Koordinatenpaar entspricht die erste Zahl "x" und die zweite "y".
   • Jeder Wert "x" entspricht einem bestimmten Wert "y".
3. 3 Gleiche x₁, ja₁, x₂, ja₂ auf die entsprechenden Werte. In unserem Beispiel mit den Punkten A (2,4) und B (6,6):
   • x₁: 2
   • ja₁: 4
   • x₂: 6
   • ja₂: 6
4. 4 Setze die gefundenen Werte in die Steigungsformel ein. Um die Steigung zu finden, werden die Koordinaten von zwei Punkten verwendet und die folgende Formel verwendet: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Setze die Koordinaten von zwei Punkten ein.
   • Zwei Punkte: A (2.4) und B (6.6).
   • Setze die Koordinaten der Punkte in die Formel ein:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • Vereinfachen Sie für eine endgültige Antwort:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = Steigung
5. 5 Erklärung des Wesens der Formel. Die Steigung ist gleich dem Verhältnis der Änderung der "y"-Koordinate (zwei Punkte) zur Änderung der "x"-Koordinate (zwei Punkte). Koordinatenänderung ist die Differenz zwischen den Werten der entsprechenden Koordinate des ersten und zweiten Punkts.
6. 6 Eine andere Art von Formel zur Berechnung der Steigung. Die Standardformel zur Berechnung der Steigung lautet: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Aber es kann die folgende Form haben: k = Δy / Δx, wobei Δ der griechische Buchstabe "Delta" ist, der den Unterschied in der Mathematik bezeichnet. Das heißt, x = x_2 – x_1 und Δy = y_2 – y_1.

Methode 3 von 3: Verwenden der Differentialrechnung zur Berechnung der Steigung

1. 1 Lernen Sie, Ableitungen von Funktionen zu ziehen. Die Ableitung charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit einer Funktion an einem bestimmten Punkt, der auf dem Graphen dieser Funktion liegt. In diesem Fall kann der Graph entweder eine gerade oder eine gekrümmte Linie sein. Das heißt, die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate der Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt. Denken Sie an die allgemeinen Regeln, nach denen Ableitungen gebildet werden, und fahren Sie erst dann mit dem nächsten Schritt fort.
   • Lesen Sie den Artikel Wie man ein Derivat einnimmt.
   • Wie man die einfachsten Ableitungen nimmt, zum Beispiel die Ableitung der Exponentialgleichung, wird in diesem Artikel beschrieben. Die in den folgenden Schritten vorgestellten Berechnungen basieren auf den darin beschriebenen Methoden.
2. 2 Lernen Sie, zwischen Problemen zu unterscheiden, bei denen die Steigung anhand der Ableitung einer Funktion berechnet werden muss. Bei Problemen wird nicht immer vorgeschlagen, die Steigung oder die Ableitung einer Funktion zu finden. Beispielsweise werden Sie möglicherweise aufgefordert, die Änderungsrate einer Funktion am Punkt A (x, y) zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch aufgefordert, die Steigung der Tangente am Punkt A (x, y) zu ermitteln. In beiden Fällen ist die Ableitung der Funktion notwendig.
   • Finden Sie zum Beispiel die Steigung einer Funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ am Punkt A (4.2).
   • Die Ableitung wird oft bezeichnet als ${ displaystyle f ’(x), y’,}$ oder ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 Nehmen Sie die Ableitung der Ihnen gegebenen Funktion. Sie müssen hier keinen Graphen zeichnen - Sie benötigen nur die Gleichung der Funktion. Nehmen Sie in unserem Beispiel die Ableitung der Funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... Nehmen Sie das Derivat nach den im oben genannten Artikel beschriebenen Methoden:
   • Derivat: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 Setzen Sie die Koordinaten des gegebenen Punktes in die abgeleitete Ableitung ein, um die Steigung zu berechnen. Die Ableitung der Funktion ist gleich der Steigung an einem bestimmten Punkt. Mit anderen Worten, f '(x) ist die Steigung der Funktion an einem beliebigen Punkt (x, f (x)). In unserem Beispiel:
   • Finden Sie die Steigung der Funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ am Punkt A (4.2).
   • Ableitung der Funktion:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • Ersetzen Sie den Wert für die x-Koordinate dieses Punktes:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • Finden Sie die Piste:
   • Steilheit der Funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ an Punkt A (4.2) ist 22.
5. 5 Überprüfen Sie Ihre Antwort nach Möglichkeit in der Grafik. Denken Sie daran, dass die Steigung möglicherweise nicht an jedem Punkt berechnet wird. Die Differentialrechnung betrachtet komplexe Funktionen und komplexe Graphen, bei denen die Steigung nicht an jedem Punkt berechnet werden kann und in einigen Fällen die Punkte überhaupt nicht auf den Graphen liegen. Verwenden Sie nach Möglichkeit einen Grafikrechner, um zu überprüfen, ob die Steigung für die Ihnen angegebene Funktion korrekt berechnet wird.Zeichnen Sie andernfalls an dem angegebenen Punkt eine Tangente an den Graphen und überlegen Sie, ob der gefundene Steigungswert mit dem übereinstimmt, was Sie im Graphen sehen.
   • Die Tangente hat an einem bestimmten Punkt die gleiche Steigung wie der Funktionsgraph. Um eine Tangente an einem bestimmten Punkt zu zeichnen, bewegen Sie sich entlang der X-Achse nach rechts / links (in unserem Beispiel 22 Werte nach rechts) und dann entlang der Y-Achse eine Einheit nach oben , und verbinden Sie es dann mit dem Ihnen angegebenen Punkt. Verbinden Sie in unserem Beispiel die Punkte an den Koordinaten (4,2) und (26,3).