Inhalt

• Schritte
• Teil 1 von 3: Den Bereich einer Funktion ermitteln
• Teil 2 von 3: Den Bereich einer quadratischen Funktion ermitteln
• Teil 3 von 3: Den Bereich einer Funktion anhand ihres Graphen ermitteln

Jede Funktion hat zwei Variablen - die unabhängige Variable und die abhängige Variable, deren Werte von den Werten der unabhängigen Variablen abhängen. Zum Beispiel in der Funktion ja = F(x) = 2x + ja die unabhängige Variable ist x und die abhängige Variable ist y (mit anderen Worten, y ist eine Funktion von x). Die gültigen Werte der unabhängigen Variablen "x" werden als Bereich der Funktion bezeichnet und die gültigen Werte der abhängigen Variablen "y" werden als Bereich der Funktion bezeichnet.

Schritte

Teil 1 von 3: Den Bereich einer Funktion ermitteln

1. 1 Bestimmen Sie die Art der Funktion, die Sie erhalten. Der Wertebereich der Funktion sind alle zulässigen Werte von „x“ (entlang der horizontalen Achse aufgetragen), die den zulässigen Werten von „y“ entsprechen. Die Funktion kann quadratisch sein oder Brüche oder Wurzeln enthalten. Um den Definitionsbereich einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie zunächst den Typ der Funktion bestimmen.
   • Die quadratische Funktion lautet: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • Eine Funktion, die einen Bruch enthält: f (x) = (/_x), f(x) = /_{(x - 1)} (usw).
   • Wurzelhaltige Funktion: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (usw.).
2. 2 Wählen Sie den entsprechenden Eintrag für den Funktionsumfang aus. Der Umfang wird in Quadrat und / oder Klammern geschrieben. Eine eckige Klammer wird verwendet, wenn ein Wert innerhalb des Gültigkeitsbereichs einer Funktion liegt; Wenn der Wert nicht im Gültigkeitsbereich liegt, wird eine Klammer verwendet. Wenn die Funktion mehrere nicht zusammenhängende Definitionsbereiche hat, wird das Symbol "U" dazwischen platziert.
   • Zum Beispiel enthält die Domäne [-2,10) U (10,2] die Werte -2 und 2, aber nicht den Wert 10.
   • Klammern werden immer mit dem Unendlichkeitssymbol ∞ verwendet.
3. 3 Zeichnen Sie eine quadratische Funktion. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel, deren Äste entweder nach oben oder nach unten gerichtet sind. Da die Parabel auf der gesamten X-Achse zu- oder abnimmt, sind der Bereich der quadratischen Funktion alle reellen Zahlen. Mit anderen Worten, der Definitionsbereich einer solchen Funktion ist die Menge R (R bezeichnet alle reellen Zahlen).
   • Um das Konzept einer Funktion besser zu verstehen, wählen Sie einen beliebigen Wert von "x", setzen Sie ihn in die Funktion ein und finden Sie den Wert "y". Das Wertepaar „x“ und „y“ stellt einen Punkt mit Koordinaten (x, y) dar, der auf dem Graphen der Funktion liegt.
   • Zeichnen Sie diesen Punkt auf der Koordinatenebene und folgen Sie dem beschriebenen Vorgang mit einem anderen "x"-Wert.
   • Durch das Zeichnen mehrerer Punkte auf der Koordinatenebene erhalten Sie eine allgemeine Vorstellung von der Form des Funktionsgraphen.
4. 4 Wenn die Funktion einen Bruch enthält, setzen Sie den Nenner auf Null. Denken Sie daran, dass Sie nicht durch Null teilen können. Indem Sie den Nenner mit Null gleichsetzen, finden Sie daher Werte für "x", die nicht im Geltungsbereich der Funktion liegen.
   • Finden Sie zum Beispiel den Definitionsbereich der Funktion f (x) = /_{(x - 1)}.
   • Hier ist der Nenner (x - 1).
   • Gleichen Sie den Nenner mit Null aus und finden Sie "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • Notieren Sie den Umfang der Funktion. Der Definitionsbereich umfasst nicht 1, d. h. alle reellen Zahlen außer 1. Somit ist der Definitionsbereich der Funktion: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • Die Notation (-∞, 1) U (1, ∞) lautet wie folgt: die Menge aller reellen Zahlen außer 1. Das Unendlichkeitssymbol ∞ bedeutet alle reellen Zahlen. In unserem Beispiel sind alle reellen Zahlen größer als 1 und kleiner als 1 im Geltungsbereich enthalten.
5. 5 Wenn die Funktion eine Quadratwurzel enthält, muss der Wurzelausdruck größer oder gleich Null sein. Denken Sie daran, dass die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht extrahiert wird. Daher muss jeder Wert von "x", bei dem der Wurzelausdruck negativ wird, aus dem Geltungsbereich der Funktion ausgeschlossen werden.
   • Finden Sie zum Beispiel den Definitionsbereich der Funktion f (x) = √ (x + 3).
   • Der radikale Ausdruck: (x + 3).
   • Der Wurzelausdruck muss größer oder gleich Null sein: (x + 3) ≥ 0.
   • Finden Sie "x": x ≥ -3.
   • Der Umfang dieser Funktion umfasst die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich -3 sind. Somit ist die Domäne [-3, ).

Teil 2 von 3: Den Bereich einer quadratischen Funktion ermitteln

1. 1 Stellen Sie sicher, dass Sie eine quadratische Funktion erhalten. Die quadratische Funktion hat die Form: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel, deren Zweige entweder nach oben oder unten gerichtet sind. Um den Wertebereich einer quadratischen Funktion zu ermitteln, gibt es verschiedene Methoden.
   • Der einfachste Weg, den Bereich einer Wurzel- oder Bruchfunktion zu ermitteln, besteht darin, diese Funktion mit einem Grafikrechner grafisch darzustellen.
2. 2 Finden Sie die x-Koordinate des Scheitelpunkts des Funktionsgraphen. Bestimmen Sie im Fall einer quadratischen Funktion die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel. Denken Sie daran, dass die quadratische Funktion ist: ax + bx + c. Um die x-Koordinate zu berechnen, verwenden Sie die folgende Gleichung: x = -b / 2a. Diese Gleichung ist eine Ableitung der fundamentalen quadratischen Funktion und beschreibt eine Tangente, deren Steigung Null ist (die Tangente an den Scheitelpunkt der Parabel ist parallel zur X-Achse).
   • Finden Sie zum Beispiel den Bereich der Funktion 3x + 6x -2.
   • Berechnen Sie die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Finden Sie die y-Koordinate des Scheitelpunkts des Funktionsgraphen. Setzen Sie dazu die gefundene Koordinate "x" in die Funktion ein. Die gesuchte Koordinate "y" ist der Grenzwert des Wertebereichs der Funktion.
   • Berechnen Sie die y-Koordinate: y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel dieser Funktion sind (-1, -5).
4. 4 Bestimmen Sie die Richtung der Parabel, indem Sie mindestens einen x-Wert in die Funktion einsetzen. Wählen Sie einen anderen x-Wert und fügen Sie ihn in die Funktion ein, um den entsprechenden y-Wert zu berechnen. Wenn der gefundene Wert "y" größer ist als die Koordinate "y" des Scheitelpunkts der Parabel, dann ist die Parabel nach oben gerichtet. Wenn der gefundene Wert "y" kleiner als die Koordinate "y" des Scheitelpunkts der Parabel ist, dann ist die Parabel nach unten gerichtet.
   • Ersetzen Sie x = -2 in der Funktion: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Die Koordinaten des Punktes auf der Parabel sind (-2, -2).
   • Die gefundenen Koordinaten zeigen, dass die Äste der Parabel nach oben gerichtet sind. Somit umfasst der Funktionsbereich alle y-Werte, die größer oder gleich -5 sind.
   • Wertebereich dieser Funktion: [-5, ∞)
5. 5 Der Wertebereich einer Funktion wird genauso geschrieben wie der Definitionsbereich einer Funktion. Die eckige Klammer wird verwendet, wenn der Wert im Bereich der Funktion liegt; liegt der Wert nicht im Bereich, wird eine Klammer verwendet. Wenn die Funktion mehrere nicht zusammenhängende Wertebereiche hat, wird das Symbol "U" dazwischen gesetzt.
   • Zum Beispiel umfasst der Bereich [-2,10) U (10,2] die Werte -2 und 2, aber nicht den Wert 10.
   • Klammern werden immer mit dem Unendlichkeitssymbol ∞ verwendet.

Teil 3 von 3: Den Bereich einer Funktion anhand ihres Graphen ermitteln

1. 1 Plotten Sie die Funktion. In vielen Fällen ist es einfacher, den Wertebereich einer Funktion zu finden, indem Sie ihren Graphen zeichnen. Der Wertebereich vieler Funktionen mit Wurzeln ist (-∞, 0] oder [0, + ∞), da der nach rechts oder links gerichtete Scheitel der Parabel auf der X-Achse liegt , umfasst der Bereich alle positiven Werte von "y", wenn die Parabel zunimmt, oder alle negativen y-Werte, wenn die Parabel abnimmt. Bruchfunktionen haben Asymptoten, die ihren Bereich definieren.
   • Die Scheitelpunkte der Graphen einiger Funktionen mit Wurzeln liegen über oder unter der X-Achse.In diesem Fall wird der Wertebereich durch die „y“-Koordinate des Parabelscheitelpunkts bestimmt. Wenn beispielsweise die Koordinate "y" des Scheitelpunkts einer Parabel -4 (y = -4) beträgt und die Parabel zunimmt, beträgt der Wertebereich [-4, + ∞).
   • Der einfachste Weg, eine Funktion grafisch darzustellen, ist die Verwendung eines Grafikrechners oder einer speziellen Software.
   • Wenn Sie keinen Grafikrechner haben, erstellen Sie eine grobe Grafik, indem Sie mehrere x-Werte in die Funktion einfügen und die entsprechenden y-Werte berechnen. Zeichnen Sie die gefundenen Punkte auf der Koordinatenebene, um eine allgemeine Vorstellung von der Form des Diagramms zu erhalten.
2. 2 Finden Sie das Minimum der Funktion. Wenn Sie eine Funktion zeichnen, sehen Sie den Punkt, an dem die Funktion einen Minimalwert hat.Wenn es kein offensichtliches Minimum gibt, existiert es nicht und der Graph der Funktion geht zu -∞.
   • Der Wertebereich der Funktion umfasst alle Werte von „y“ außer den Werten der Asymptoten. Häufig werden die Wertebereiche solcher Funktionen wie folgt geschrieben: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 Bestimmen Sie das Maximum der Funktion. Nachdem Sie eine Funktion gezeichnet haben, sehen Sie den Punkt, an dem die Funktion ihren maximalen Wert hat. Wenn es kein offensichtliches Maximum gibt, existiert es nicht und der Graph der Funktion geht zu + ∞.
4. 4 Der Wertebereich einer Funktion wird genauso geschrieben wie der Definitionsbereich einer Funktion. Die eckige Klammer wird verwendet, wenn der Wert im Bereich der Funktion liegt; liegt der Wert nicht im Bereich, wird eine Klammer verwendet. Wenn die Funktion mehrere nicht zusammenhängende Wertebereiche hat, wird das Symbol "U" dazwischen gesetzt.
   • Zum Beispiel umfasst der Bereich [-2,10) U (10,2] die Werte -2 und 2, aber nicht den Wert 10.
   • Klammern werden immer mit dem Unendlichkeitssymbol ∞ verwendet.