Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: Verstehen Sie die Problemstellung
• Methode 2 von 3: Formulieren Sie den Beweis
• Methode 3 von 3: Schreiben Sie die Beweise auf
• Tipps

Einen mathematischen Beweis zu finden kann eine entmutigende Aufgabe sein, aber es wird Ihnen helfen, die Mathematik zu kennen und den Beweis zu schreiben. Leider gibt es keine schnellen und einfachen Methoden, um zu lernen, wie man mathematische Probleme löst. Es ist notwendig, das Thema richtig zu studieren und sich an die grundlegenden Theoreme und Definitionen zu erinnern, die Ihnen beim Beweisen eines bestimmten mathematischen Postulats nützlich sein werden. Studieren Sie Beispiele für mathematische Beweise und üben Sie sich selbst, um Ihre Fähigkeiten zu verbessern.

Schritte

Methode 1 von 3: Verstehen Sie die Problemstellung

1. 1 Bestimmen Sie, was Sie finden möchten. Der erste Schritt besteht darin, herauszufinden, was genau nachgewiesen werden muss. Dies bestimmt unter anderem die letzte Aussage in Ihrem Beweis. In dieser Phase sollten Sie auch bestimmte Annahmen treffen, innerhalb derer Sie arbeiten werden. Um das Problem besser zu verstehen und mit der Lösung zu beginnen, finden Sie heraus, was Sie beweisen müssen, und treffen Sie die notwendigen Annahmen.
2. 2 Zeichnen Sie eine Zeichnung. Bei der Lösung mathematischer Probleme ist es manchmal sinnvoll, diese in Form eines Bildes oder Diagramms darzustellen. Dies ist besonders bei geometrischen Problemen wichtig – die Zeichnung hilft, den Zustand zu visualisieren und erleichtert die Lösungssuche enorm.
   • Verwenden Sie beim Erstellen eines Bildes oder Diagramms die in der Bedingung bereitgestellten Daten. Markieren Sie die bekannten und unbekannten Größen in der Abbildung.
   • Die Zeichnung erleichtert Ihnen das Auffinden der Beweise.
3. 3 Studieren Sie Beweise für ähnliche Sätze. Wenn Sie nicht sofort eine Lösung finden können, finden Sie ähnliche Sätze und sehen Sie, wie sie bewiesen werden.
   • Beachten Sie, dass Sie jeden Schritt des Beweises begründen müssen. Sehen Sie, wie verschiedene Theoreme im Internet oder in Mathematiklehrbüchern bewiesen werden.
4. 4 Fragen stellen. Es ist in Ordnung, wenn Sie es nicht sofort schaffen, Beweise zu finden.Wenn dir etwas unklar ist, frage deinen Lehrer oder deine Mitschüler danach. Vielleicht haben Ihre Kameraden die gleichen Fragen und Sie können sie gemeinsam klären. Es ist besser, ein paar Fragen zu stellen, als immer wieder erfolglos nach Beweisen zu suchen.
   • Gehen Sie nach dem Unterricht zum Lehrer und klären Sie unklare Fragen.

Methode 2 von 3: Formulieren Sie den Beweis

1. 1 Formulieren Sie einen mathematischen Beweis. Ein mathematischer Beweis ist eine Folge von Aussagen, die durch Theoreme und Definitionen gestützt werden und ein mathematisches Postulat beweisen. Beweise sind die einzige Möglichkeit, um festzustellen, ob eine Aussage mathematisch korrekt ist.
   • Die Fähigkeit, mathematische Beweise zu verfassen, zeugt von einem tiefen Verständnis des Problems und der Beherrschung der notwendigen Werkzeuge (Lemmas, Theoreme und Definitionen).
   • Ein rigoroser Beweis kann Ihnen helfen, einen neuen Blick auf die Mathematik zu werfen und ein Gefühl für ihre Faszination zu bekommen. Versuchen Sie einfach, eine Aussage zu beweisen, um sich ein Bild von mathematischen Methoden zu machen.
2. 2 Betrachten Sie Ihr Publikum. Bevor Sie mit der Beweisaufnahme beginnen, sollten Sie sich überlegen, für wen sie bestimmt sind, und den Kenntnisstand dieser Personen berücksichtigen. Wenn Sie Nachweise zur weiteren Veröffentlichung in einer wissenschaftlichen Zeitschrift aufschreiben, sieht das anders aus als bei einer Schulaufgabe.
   • Wenn Sie Ihre Zielgruppe kennen, können Sie die Beweise aufschreiben, während Sie Ihre Leser darin trainieren, sie zu verstehen.
3. 3 Bestimmen Sie die Art des Beweises. Es gibt verschiedene Arten von mathematischen Beweisen, und die Wahl einer bestimmten Form hängt von der Zielgruppe und dem zu lösenden Problem ab. Wenn Sie sich nicht sicher sind, welche Art Sie wählen sollen, wenden Sie sich an Ihren Lehrer. In der Oberstufe ist ein zweispaltiger Nachweis erforderlich.
   • Wenn Sie Beweise in zwei Spalten schreiben, zeichnet eine die ursprünglichen Daten und Aussagen auf und die zweite - die entsprechenden Beweise dieser Aussagen. Diese Form der Notation wird häufig bei der Lösung geometrischer Probleme verwendet.
   • In einer weniger formalen Art, Beweise zu schreiben, werden grammatikalisch korrekte Konstruktionen und weniger Symbole verwendet. Auf höheren Ebenen ist dies die Notation, die verwendet werden sollte.
4. 4 Skizzieren Sie den Beweis in zwei Spalten. Dieses Formular hilft, Gedanken zu ordnen und das Problem konsequent zu lösen. Teilen Sie die Seite mit einer vertikalen Linie in zwei Hälften und schreiben Sie Ihre Originaldaten und die daraus folgenden Aussagen auf die linke Seite. Notieren Sie die entsprechenden Definitionen und Sätze auf der rechten Seite jeder Aussage.
   • Beispielsweise:
   • Ecken A und B sind benachbart - gegeben;
   • Winkel ABC ist abgeflacht - definiert eine abgeflachte Ecke;
   • der Winkel ABC beträgt 180 ° - definiert eine gerade Linie;
   • Winkel A + Winkel B = Winkel ABC - die Regel zum Hinzufügen von Winkeln;
   • Winkel A + Winkel B = 180 ° - Substitution;
   • Winkel A ist komplementär zu Winkel B - Definition zusätzlicher Winkel;
   • Q.E.D.
5. 5 Schreiben Sie den zweispaltigen Beweis als formlosen Beweis auf. Gehen Sie von einer zweispaltigen Eingabe aus und schreiben Sie den Beweis in kürzerer Form mit weniger Symbolen und Abkürzungen.
   • Beispiel: Angenommen, die Ecken A und B sind benachbart. Nach der Hypothese ergänzen sich diese Winkel. Wenn sie benachbart sind, bilden Winkel A und Winkel B eine gerade Linie. Wenn die Seiten der Ecke eine gerade Linie bilden, beträgt der Winkel 180 °. Fügen Sie die Winkel A und B hinzu, um eine gerade Linie ABC zu erstellen. Somit beträgt die Summe der Winkel A und B 180°, dh diese Winkel sind komplementär. Q.E.D.

Methode 3 von 3: Schreiben Sie die Beweise auf

1. 1 Lernen Sie die Sprache der Beweise. Standardaussagen und -phrasen werden verwendet, um mathematische Beweise zu schreiben. Sie müssen diese Sätze lernen und wissen, wie man sie verwendet.
   • Der Ausdruck „Wenn A, dann B“ bedeutet, dass wenn Aussage A wahr ist, dann muss auch Aussage B wahr sein.
   • „A genau dann, wenn B“ bedeutet, dass die Aussagen A und B gleichzeitig wahr oder falsch sind. Diese Konstruktion entspricht zwei gleichzeitigen Aussagen: "Wenn A, dann B" und "Wenn A fehlschlägt, dann gilt B nicht".
   • „A nur wenn B“ ist äquivalent zu „Wenn B, dann A“, daher ist diese Konstruktion nicht üblich. Trotzdem ist es notwendig, sich daran zu erinnern.
   • Versuchen Sie bei der Beweisaufnahme „wir“ statt des Personalpronomens „ich“ zu verwenden.
2. 2 Schreiben Sie alle Originaldaten auf. Wenn Sie einen Beweis zusammenstellen, müssen Sie zunächst alles definieren und ausschreiben, was in der Aufgabe angegeben ist. In diesem Fall haben Sie alle Ausgangsdaten vor Augen, auf deren Grundlage eine Entscheidung eingeholt werden muss. Lesen Sie die Problemstellung sorgfältig durch und schreiben Sie alles auf, was darin enthalten ist.
   • Beispiel: Beweisen Sie, dass sich zwei benachbarte Winkel (Winkel A und Winkel B) ergänzen.
   • Gegeben: benachbarte Ecken A und B.
   • Beweisen Sie: Winkel A ist komplementär zu Winkel B.
3. 3 Definieren Sie alle Variablen. Neben dem Aufzeichnen der Originaldaten ist es auch sinnvoll, die restlichen Variablen auszuschreiben. Um es dem Leser zu erleichtern, notieren Sie die Variablen ganz am Anfang des Beweises. Wenn keine Variablen definiert sind, kann der Leser verwirrt sein und Ihren Beweis nicht verstehen.
   • Verwenden Sie während des Beweises keine zuvor undefinierten Variablen.
   • Zum Beispiel: In dem oben betrachteten Problem sind die Variablen die Werte der Winkel A und B.
4. 4 Versuchen Sie den Beweis in umgekehrter Reihenfolge zu finden. Viele Probleme lassen sich in umgekehrter Reihenfolge leichter lösen. Beginnen Sie mit dem, was Sie beweisen müssen, und überlegen Sie, wie Sie die Schlussfolgerungen mit der Anfangsbedingung verbinden können.
   • Lesen Sie die Anfangs- und Endschritte noch einmal und prüfen Sie, ob sie sich ähneln. Verwenden Sie dabei die Anfangsbedingungen, Definitionen und ähnliche Beweise aus anderen Problemen.
   • Stellen Sie sich Fragen und gehen Sie voran. Um einzelne Aussagen zu beweisen, fragen Sie sich: "Warum ist das so?" - und: "Könnte es falsch sein?"
   • Denken Sie daran, die einzelnen Schritte nacheinander aufzuschreiben, bis Sie das Endergebnis erhalten.
   • Zum Beispiel: Wenn die Winkel A und B komplementär sind, sollte ihre Summe 180 ° betragen. Nach der Definition benachbarter Winkel bilden die Winkel A und B eine Gerade ABC. Da die Linie einen Winkel von 180° bildet, addieren sich die Winkel A und B zu 180°.
5. 5 Ordnen Sie die einzelnen Schritte des Beweises so an, dass er konsistent und logisch ist. Beginnen Sie am Anfang und arbeiten Sie sich bis zu einer beweisbaren Abschlussarbeit vor. Obwohl es manchmal hilfreich ist, am Ende Ihrer Suche nach Beweisen zu beginnen, müssen Sie beim Schreiben die richtige Reihenfolge einhalten. Getrennte Thesen sollten nacheinander folgen, damit der Beweis logisch ist und keine Zweifel aufkommen lässt.
   • Betrachten Sie zunächst die getroffenen Annahmen.
   • Bestätigen Sie die gemachten Aussagen mit einfachen und unkomplizierten Schritten, damit der Leser keine Zweifel an der Richtigkeit hat.
   • Manchmal muss man den Beweis mehrmals umschreiben. Fahren Sie mit der Gruppierung von Aussagen und deren Beweisen fort, bis Sie zur logischsten Struktur gelangen.
   • Beispiel: Fangen wir von vorne an.
     • Winkel A und B sind benachbart.
     • Die Seiten der Ecke ABC bilden eine gerade Linie.
     • Der Winkel ABC beträgt 180°.
     • Winkel A + Winkel B = Winkel ABC.
     • Winkel A + Winkel B = Winkel 180°.
     • Winkel A ist komplementär zu Winkel B.
6. 6 Verwenden Sie im Beweis keine Pfeile und Abkürzungen. Im Entwurf können verschiedene Abkürzungen und Symbole verwendet werden, die jedoch nicht in den endgültigen Entwurf aufgenommen werden, da dies die Leser verwirren kann. Verwenden Sie stattdessen Wörter wie „daher“ und „dann“.
   • Ausnahmsweise sind verständliche Abkürzungen erlaubt, zum Beispiel „ie. e." (das heißt), verwenden Sie sie jedoch entsprechend.
7. 7 Unterstützen Sie jede These mit einem Theorem, einem Gesetz oder einer Definition. Der Nachweis muss einwandfrei sein. Sie können keine unbegründeten Aussagen machen. Sehen Sie, wie Beweise für ähnliche Probleme wie Ihres erstellt werden.
   • Versuchen Sie, die gefundenen Beweise auf Fälle anzuwenden, in denen sie nicht wahr sein sollten, und prüfen Sie, ob dies der Fall ist. Wenn der Beweis in solchen Fällen gültig ist, überprüfen Sie, wo Sie falsch liegen.
   • Beweise für geometrische Probleme werden oft zweispaltig geschrieben. Rechts sind Behauptungen geschrieben, links ihre Beweise. Gleichzeitig werden in Publikationen mathematische Beweise in Form von Absätzen mit entsprechender Grammatik erstellt.
8. 8 Beenden Sie die Beweise mit dem Satz „wie zum Beweis erforderlich“. Am Ende des Beweises muss eine beweisbare These stehen. Danach schreiben Sie „was zu beweisen war“ (abgekürzt als „h. etc.“ oder ein Symbol in Form eines ausgefüllten Quadrats) – damit ist der Beweis vollständig.
   • Im Lateinischen entspricht der Ausdruck „was zu beweisen war“ der Abkürzung Q.E.D. (quod erat demonstrandum, d. h. „was gezeigt werden musste“).
   • Wenn Sie Zweifel an der Richtigkeit des Beweises haben, schreiben Sie einfach ein paar Sätze darüber, zu welchem ​​Ergebnis Sie gekommen sind und warum es wichtig ist.

Tipps

• Alle Angaben in den Nachweisen müssen der Erreichung des erklärten Ziels dienen. Fügen Sie in Ihrem Beweis nicht das ein, worauf Sie verzichten können.