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Der Satz von Pythagoras (Pythagore) ist ein weit verbreiteter mathematischer Satz und hat viele praktische Anwendungen. Der Satz besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden rechten Seiten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Mit anderen Worten, in einem rechtwinkligen Dreieck mit senkrechten Seiten der Länge a und b und der Hypotenusenlänge c haben wir immer a + b = c. Der Satz von Pythagoras ist eine der Hauptsäulen der Grundgeometrie. Es gibt unzählige praktische Anwendungen wie das Ermitteln des Abstands zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenebene.

Schritte

Methode 1 von 2: Finden Sie die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks

1. 

   Stellen Sie sicher, dass Ihr Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Satz von Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Bevor Sie fortfahren, stellen Sie sicher, dass Ihr Dreieck die Kriterien eines rechtwinkligen Dreiecks erfüllt. Glücklicherweise gibt es nur ein Kriterium: Um ein rechtwinkliges Dreieck zu sein, muss es einen Winkel von 90 Grad haben.
   • Als visuelle Anzeige wird der rechte Winkel normalerweise mit einem kleinen Quadrat markiert, aber nicht mit einer Kreis- "Kurve". Suchen Sie nach diesem speziellen Zeichen in der Ecke des Dreiecks.

2. 

   
   
   Nennen Sie die Dreieckseiten a, b und c. Im Satz von Pythagoras sind a und b rechtwinklige Seiten, c ist Hypotenuse - die längste Seite ist immer entgegengesetzten rechten Winkeln. Rufen Sie also zunächst die kürzeren Seiten des Dreiecks a und b auf (es spielt keine Rolle, welche Seite 'a' oder 'b' ist) und nennen Sie die Hypotenuse c.

3. 

   
   
   Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie finden müssen. Der Satz von Pythagoras ermöglicht es Mathematikern, die Länge eines beliebigen zu finden einer Welche Seite des Dreiecks ist richtig, solange sie die Länge kennen die anderen beiden Kanten. Kante unbekannter Länge bestimmen - ein, bund / oder c. Wenn nur eine Kante unbekannt ist, können Sie beginnen.
   • Angenommen, wir wissen, dass die Hypotenuse die Länge 5 und eine ihrer Seiten die Länge 3 hat, aber wir wissen nicht, was die dritte Seite ist. In diesem Fall lösen wir das Problem, die dritte Seite zu finden, da wir die Längen der beiden anderen Seiten bereits kennen. Wir werden dieses Beispiel in den nächsten Schritten verwenden.
   • Wenn die Länge zwei Die Kante ist unbekannt. Sie müssen die Länge einer weiteren Kante bestimmen, um den Satz von Pythagoras verwenden zu können. Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen können hilfreich sein, wenn Sie wissen, wie man einen der scharfen Winkel des Dreiecks misst.

4. 

   
   
   Setzen Sie zwei bekannte Werte in die Gleichung ein. Stecken Sie die Längen der Seiten Ihres Dreiecks in die Gleichung a + b = c. Denken Sie daran, dass a und b rechtwinklig sind und c Hypotenuse ist.
   • Im obigen Beispiel kennen wir die Länge einer Seite und die Hypotenuse (3 und 5), daher lautet die Gleichung 3² + b² = 5²

5. 

   Kariert. Um eine Gleichung zu lösen, quadrieren Sie zunächst jede der bekannten Kanten. Wenn Sie es einfacher finden, können Sie die Seitenlängen exponentiell belassen und später quadrieren.
   • In diesem Beispiel werden wir die Quadrate 3 und 5 verwenden, um es zu erhalten 9 und 25. Die Gleichung, die umgeschrieben werden kann, ist 9 + b² = 25.

6. 

   Teilen Sie die unbekannte Variable auf eine Seite der Gleichung. Verwenden Sie bei Bedarf die Basisalgebra, um die unbekannte Variable von der Gleichung und zwei quadratische Zahlen von der Gleichung zu entfernen. Wenn Sie die Hypotenuse finden, befindet sich c bereits auf einer separaten Seite, sodass Sie nichts tun müssen, um sie zu trennen.
   • In diesem Beispiel lautet die aktuelle Gleichung 9 + b² = 25. Um b² zu teilen, subtrahieren Sie beide Seiten der Gleichung für 9. Die resultierende Gleichung lautet b² = 16.

7. 

   Ermitteln Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung. Sie haben jetzt eine quadratische Variable auf einer Seite der Gleichung und eine Zahl auf der anderen. Nehmen Sie einfach die Quadratwurzel beider Seiten, um die unbekannte Seitenlänge zu ermitteln.
   • In diesem Beispiel ist b² = 16, wobei wir die Quadratwurzel beider Seiten nehmen, erhalten wir b = 4. Somit ist die Länge der zu findenden Seite 4.

8. 

   Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Seite eines echten rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Der Grund, warum dieser Satz heute weit verbreitet ist, ist, dass er auf eine Vielzahl praktischer Situationen anwendbar ist. Erfahren Sie, wie Sie ein rechtwinkliges Dreieck im Leben erkennen. In jeder Situation, in der sich zwei Objekte oder zwei Linien im rechten Winkel und das dritte Objekt oder die dritte Linie im rechten Winkel schneiden, können Sie Jhana verwenden. die pythagoreische Methode, um die Länge einer der Seiten unter Berücksichtigung der Länge der beiden anderen zu ermitteln.
   • Nehmen Sie ein Beispiel aus der Praxis. Eine Leiter lehnt am Gebäude. Die Treppe ist 5 m vom Fuß der Mauer entfernt. Aufzug bis 20m hoch des Gebäudes. Wie lang ist die Leiter?
     • Die Treppe 5 m vom Fuß der Mauer und 20 m von der Gebäudewand zeigt die Länge der Seiten des Dreiecks an. Da sich Wand und Boden rechtwinklig schneiden und die Leiter auf die diagonale Stufe ansteigt, können wir uns ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 und b = 20 vorstellen. Die Leiter ist Hypotenuse, also weiß c nicht. Verwenden wir den Satz von Pythagoras:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • Quadratwurzel von (425) = c
       • c = 20,6. Die ungefähre Länge der Leiter beträgt 20,6 m.
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Methode 2 von 2: Berechnen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten in der X-Y-Ebene

1. 

   Bestimmen Sie zwei Punkte in der X-Y-Ebene. Der Satz von Pythagoras kann leicht verwendet werden, um den linearen Abstand zwischen zwei Punkten in einer X-Y-Ebene zu berechnen. Alles, was Sie wissen müssen, sind die x- und y-Koordinaten von zwei beliebigen Punkten. Normalerweise werden diese Koordinaten in Paaren von Koordinatenpaaren (x, y) geschrieben.
   • Um den Abstand zwischen diesen beiden Punkten zu ermitteln, behandeln wir jeden Punkt als einen der scharfen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks. Auf diese Weise ist es einfach, die Seitenlänge a und b zu ermitteln und dann die Seite c oder genau den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen.

2. 

   Zeichnen Sie zwei Punkte in der Grafik. In einer normalen X-Y-Ebene ist x für jeden Punkt (x, y) die Koordinate auf der horizontalen Achse und y die Koordinate auf der vertikalen Achse. Sie können Abstände zwischen zwei Punkten finden, ohne sie im Diagramm darzustellen. Durch grafische Darstellung können Sie jedoch besser sehen.

3. 

   Finden Sie die Längen der rechten Seiten des Dreiecks. Suchen Sie anhand der beiden Punkte, die als Winkel des Dreiecks neben der Hypotenuse angegeben sind, die Seiten a und b des Dreiecks. Sie können dies visuell in einem Diagramm oder mithilfe der Formel | x tun₁ - x₂| für horizontale Kanten und | y₁ - y₂| für die vertikale Kante, wobei (x₁y₁) ist der erste Punkt und (x₂y₂) ist der zweite Punkt.
   • Angenommen, zwei Punkte sind (6,1) und (3,5). Die Länge der horizontalen Seite des Dreiecks beträgt:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Die vertikale Kantenlänge beträgt:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Wir können also sagen, dass in diesem rechtwinkligen Dreieck Seite a = 3 und Seite b = 4 ist.

4. 

   Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Gleichung für Hypotenuse zu lösen. Der Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit zwei rechtwinkligen Seiten, wie wir gerade bestimmt haben. Unter Verwendung des üblichen Satzes von Pythagoras, um die Hypotenuse zu finden, sei a die Länge der ersten Seite und b die Länge der zweiten Seite.
   • Im Beispiel mit den Punkten (3,5) und (6,1) betragen die Längen der rechten Winkel 3 und 4, daher berechnen wir die Hypotenusenlänge wie folgt:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = Quadratwurzel von (9 + 16)

       c = Quadratwurzel von (25)

       c = 5. Der Abstand zwischen zwei Punkten (3,5) und (6,1) beträgt 5.

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Rat

• Die Hypotenuse ist immer:
  • schneidet rechte Winkel (nicht rechte Winkel kreuzen)
  • ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks
  • vertreten durch c im Satz von Pythagoras
• Überprüfen Sie immer die Ergebnisse.
• Ein weiterer Test: Die längste Seite steht der größten und die kürzeste Seite der kleinsten Seite gegenüber.
• In einem rechtwinkligen Dreieck kennen Sie die dritte Seite nur, wenn Sie die Längen der beiden anderen Seiten kennen.
• Wenn das Dreieck kein rechtwinkliges Dreieck ist, müssen Sie über die Seitenlängen hinaus mehr Informationen haben.
• Um a, b und c genaue Werte zuzuweisen, sollten Sie das Dreieck in einer Zeichnungsform darstellen, insbesondere bei Logik- oder Wortproblemen.
• Wenn Sie nur einseitige Messungen haben, können Sie den Satz von Pythagoras nicht verwenden. Verwenden Sie stattdessen trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan) oder ein Verhältnis von 30-60-90 / 45-45-90.