Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 2: Methode 1: Kreuzmultiplikation
• Methode 2 von 2: Methode 2: Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) der Nenner
• Tipps

Eine rationale Funktion ist ein Bruch mit einer oder mehreren Variablen im Zähler oder Nenner. Eine rationale Gleichung ist eine Gleichung, die mindestens einen rationalen Ausdruck enthält. Wie bei üblichen algebraischen Gleichungen können rationale Ausdrücke gelöst werden, indem dieselbe Operation auf beide Seiten der Gleichung angewendet wird, bis die Variable auf einer Seite des Gleichheitszeichens isoliert ist. Zwei spezielle Methoden, die Kreuzmultiplikation und das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner, sind besonders nützlich, um Variablen zu isolieren und rationale Gleichungen zu lösen.

Schreiten

Methode 1 von 2: Methode 1: Kreuzmultiplikation

1. Ordnen Sie die Gleichung gegebenenfalls neu an, um sicherzustellen, dass sich auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ein Bruch befindet. Kreuzmultiplikation ist eine schnelle Methode zur Lösung rationaler Gleichungen. Leider funktioniert diese Methode nur für rationale Gleichungen, die genau einen rationalen Ausdruck oder Bruch auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens haben. Wenn dies für Ihre Gleichung nicht der Fall ist, benötigen Sie wahrscheinlich einige algebraische Operationen, um die Terme an die richtige Stelle zu bringen.
   • Zum Beispiel kann die Gleichung (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 leicht in die richtige Kreuzmultiplikationsform konvertiert werden, indem x / (- 2) zu jeder Seite der Gleichung addiert wird, was zu einem Ergebnis führt sieht so aus: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Denken Sie daran, dass Dezimalstellen und Ganzzahlen in Brüche umgewandelt werden können, indem Sie ihnen den Nenner 1 geben. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5 kann beispielsweise als (x + 3) / 4 = 7,5 / 1 umgeschrieben werden, wodurch die Kreuzmultiplikation angewendet werden kann.
   • Einige rationale Gleichungen können nicht so einfach in die richtige Form umgewandelt werden. Verwenden Sie in diesen Fällen die Methoden, bei denen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner verwenden.
2. Kreuzmultiplikation. Kreuzmultiplikation bedeutet einfach, den Zähler eines Bruchs mit dem Nenner des anderen zu multiplizieren und umgekehrt. Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs links vom Gleichheitszeichen mit dem Bruch rechts. Wiederholen Sie dies mit dem Zähler rechts und dem Nenner des Bruchs links.
   • Kreuzmultiplikation funktioniert nach gängigen algebraischen Prinzipien. Rationale Ausdrücke und andere Brüche können durch Multiplikation der Nenner in reguläre Zahlen umgewandelt werden. Grundsätzlich ist die Kreuzmultiplikation eine praktische Abkürzung, um beide Seiten der Gleichung mit beiden Nennern der Brüche zu multiplizieren. Glaubst du es nicht? Probieren Sie es aus - nach der Vereinfachung sehen Sie dieselben Ergebnisse.
3. Machen Sie die beiden Produkte gleich. Nach der Kreuzmultiplikation verbleiben zwei Produkte. Machen Sie diese beiden Terme gleich und vereinfachen Sie sie, um die einfachsten Terme auf beiden Seiten der Gleichung zu erhalten.
   • Wenn zum Beispiel (x + 3) / 4 = x / (- 2) Ihr ursprünglicher rationaler Ausdruck war, wird er nach der Kreuzmultiplikation gleich -2 (x + 3) = 4x. Dies kann optional als -2x - 6 = 4x umgeschrieben werden.
4. Löse nach der Variablen. Verwenden Sie algebraische Operationen, um den Wert der Variablen in der Gleichung zu ermitteln. Denken Sie daran, wenn x auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens erscheint, stellen Sie durch Addieren oder Subtrahieren eines x-Terms sicher, dass sich nur x Terme auf einer Seite des Gleichheitszeichens befinden.
   • In unserem Beispiel ist es möglich, beide Seiten der Gleichung durch -2 zu teilen, was x + 3 = -2x ergibt. Das Subtrahieren von x von beiden Seiten des Gleichheitszeichens ergibt 3 = -3x. Und schließlich, wenn wir beide Seiten durch -3 teilen, erhalten wir -1 = x oder auch x = -1. Jetzt haben wir x gefunden, das unsere rationale Gleichung löst.

Methode 2 von 2: Methode 2: Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) der Nenner

1. Zu verstehen, wann das kleinste gemeinsame Vielfache von Nennern gefunden wird, ist offensichtlich. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner kann zur Vereinfachung rationaler Gleichungen verwendet werden, wodurch es möglich wird, die Werte ihrer Variablen zu finden. Das Finden eines LCM ist eine gute Idee, wenn die rationale Gleichung nicht einfach in eine Form umgeschrieben werden kann, in der auf jeder Seite des Gleichheitszeichens nur ein Bruch oder ein rationaler Ausdruck vorhanden ist. Zum Lösen rationaler Gleichungen mit drei oder mehr Begriffen sind LCMs ein nützliches Werkzeug. Bei der Lösung rationaler Gleichungen mit nur zwei Termen ist die Kreuzmultiplikation jedoch häufig schneller.
2. Untersuchen Sie den Nenner jeder Fraktion. Finden Sie die kleinste Zahl, die durch einen Nenner vollständig teilbar ist. Dies ist das LCM Ihrer Gleichung.
   • Manchmal ist das kleinste gemeinsame Vielfache - die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner vollständig teilbar ist - sofort ersichtlich. Wenn Ihr Ausdruck beispielsweise wie folgt aussieht: x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, ist es leicht zu erkennen, dass das LCM durch 3, 2 und 6 teilbar sein muss und somit gleich 6 ist.
   • Aber öfter ist das LCM eines rationalen Vergleichs überhaupt nicht sofort klar. Versuchen Sie in diesen Fällen die Vielfachen des größten Nenners, bis Sie eine Zahl finden, die die Vielfachen der anderen kleineren Nenner enthält. Oft ist das LCM ein Produkt aus zwei Nennern. Nehmen wir zum Beispiel die Gleichung x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, wobei das LCM gleich 8 * 9 = 72 ist.
   • Wenn einer oder mehrere der Nenner eine Variable enthalten, ist dieser Prozess etwas schwieriger, aber keineswegs unmöglich. In diesen Fällen ist das LCM ein Ausdruck (mit Variablen), der vollständig zu allen Nennern passt, nicht nur zu einer einzelnen Zahl. Als Beispiel ist die Gleichung 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), wobei das LCM gleich 3x (x-1) ist, weil es durch jeden Nenner vollständig teilbar ist - Division durch (x-1) ) ergibt 3x, Division durch 3x ergibt (x-1) und Division durch x ergibt 3 (x-1).
3. Multiplizieren Sie jeden Bruch in der rationalen Gleichung mit 1. Das Multiplizieren jedes Terms mit 1 mag nutzlos erscheinen, aber hier gibt es einen Trick. 1 kann nämlich als Bruch geschrieben werden - zB 2/2 und 3/3. Multiplizieren Sie jeden Bruch in Ihrer rationalen Gleichung mit 1 und schreiben Sie jedes Mal 1 als Zahl oder Term multipliziert mit jedem Nenner, um das LCM als Bruch zu erhalten.
   • In unserem Beispiel können wir x / 3 mit 2/2 multiplizieren, um 2x / 6 zu erhalten, und 1/2 mit 3/3 multiplizieren, um 3/6 zu erhalten. 3x +1/6 hat bereits eine 6 (lcm) als Nenner, sodass wir sie mit 1/1 multiplizieren oder einfach belassen können.
   • In unserem Beispiel mit Variablen im Nenner ist der gesamte Prozess etwas komplizierter. Da das LCM gleich 3x (x-1) ist, multiplizieren wir jeden rationalen Ausdruck mit einem Bruch, der 3x (x-1) als Nenner ergibt. Wir multiplizieren 5 / (x-1) mit (3x) / (3x) und dies ergibt 5 (3x) / (3x) (x-1), wir multiplizieren 1 / x mit 3 (x-1) / 3 (x) -1) und dies ergibt 3 (x-1) / 3x (x-1) und wir multiplizieren 2 / (3x) mit (x-1) / (x-1) und dies ergibt schließlich 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Vereinfachen und lösen Sie für x. Jetzt, da jeder Term in Ihrer rationalen Gleichung den gleichen Nenner hat, ist es möglich, die Nenner aus der Gleichung zu entfernen und die Zähler zu lösen. Multiplizieren Sie einfach beide Seiten der Gleichung mit dem LCM, um die Nenner zu entfernen, sodass nur noch die Zähler übrig bleiben. Jetzt ist es eine reguläre Gleichung geworden, die Sie für die Variable lösen können, indem Sie sie auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren.
   • In unserem Beispiel erhalten wir nach Multiplikation mit 1 als Bruch 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Zwei Brüche können addiert werden, wenn sie denselben Nenner haben, sodass wir diese Gleichung als (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 schreiben können, ohne ihren Wert zu ändern. Multiplizieren Sie beide Seiten mit 6, um die Nenner aufzuheben, und lassen Sie 2x + 3 = 3x + 1. Subtrahieren Sie hier 1 von beiden Seiten, um 2x + 2 = 3x zu erhalten, und subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten, um 2 = x zu lassen, was dann auch als x = 2 geschrieben werden kann.
   • In unserem Beispiel mit Variablen im Nenner entspricht die Gleichung nach Multiplikation jedes Terms mit "1" 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Das Multiplizieren jedes Terms mit dem LCM ermöglicht es, die Nenner aufzuheben, was nun 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) ergibt. Weiter ausgeführt wird dies zu 15x = 3x - 3 + 2x -2, was wiederum als 15x = x - 5 vereinfacht werden kann. Das Subtrahieren von x von beiden Seiten ergibt 14x = -5, so dass die endgültige Antwort auf x = - vereinfacht werden kann 5/14.

Tipps

• Wenn Sie den Wert der Variablen gefunden haben, überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung eingeben. Wenn Sie den Wert der Variablen richtig verstehen, sollten Sie in der Lage sein, die Gleichung zu einem einfachen, korrekten Satz wie 1 = 1 zu vereinfachen.
• Jede Gleichung kann als rationaler Ausdruck geschrieben werden; Platzieren Sie es einfach als Zähler über dem Nenner 1. Die Gleichung x + 3 kann also als (x + 3) / 1 geschrieben werden, beide haben den gleichen Wert.