Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 2: Vereinfachen Sie gestapelte Brüche mit umgekehrter Multiplikation
• Methode 2 von 2: Vereinfachen Sie gestapelte Brüche mit variablen Begriffen
• Tipps

Gestapelte Brüche sind solche, bei denen der Zähler, der Nenner oder beide selbst auch Brüche enthalten. Aus diesem Grund könnte man dies auch "Brüche in Brüchen" nennen. Das Vereinfachen von gestapelten Brüchen ist ein Prozess, der von leicht bis schwierig reichen kann, je nachdem, wie viele Terme sich im Zähler und Nenner befinden, ob einer der Terme variabel ist und wenn ja, wie komplex die variablen Terme sind. Siehe Schritt 1 unten, um loszulegen!

Schreiten

Methode 1 von 2: Vereinfachen Sie gestapelte Brüche mit umgekehrter Multiplikation

1. Vereinfachen Sie bei Bedarf Zähler und Nenner in wenigen Brüchen. Gestapelte Brüche sind nicht unbedingt schwer zu lösen. In der Tat sind gestapelte Brüche, in denen sowohl der Zähler als auch der Nenner einen einzigen Bruch enthalten, normalerweise recht einfach zu lösen. Wenn also der Zähler oder Nenner Ihres gestapelten Bruchs (oder beide) mehrere Brüche oder Brüche und ganze Zahlen enthält, vereinfachen Sie dies nach Bedarf, um einen einzelnen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner zu erhalten. Dies kann das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) von zwei oder mehr Fraktionen erfordern.
   • Angenommen, wir möchten den komplexen Bruch (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10) vereinfachen. Erstens können wir sowohl den Zähler als auch den Nenner unserer komplexen Fraktion auf einzelne Fraktionen vereinfachen.
     • Um den Zähler zu vereinfachen, nehmen wir einen LCV von 15, indem wir 3/5 mit 3/3 multiplizieren. Unser Zähler wird 9/15 + 2/15, was 11/15 entspricht.
     • Um den Nenner zu vereinfachen, nehmen wir einen LCM von 70, indem wir 5/7 mit 10/10 und 3/10 mit 7/7 multiplizieren. Unser Nenner wird 50/70 - 21/70, was 29/70 entspricht.
     • Unsere neue gestapelte Fraktion ist also (11/15)/(29/70).
2. Drehen Sie den Nenner und finden Sie die Umkehrung. Per Definition Teilen von einer Zahl zur anderen gleich Multiplizieren Sie die erste Zahl mit dem Kehrwert der zweiten Zahl. Nachdem wir einen gestapelten Bruch mit einem einzigen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner erhalten haben, können wir diese Teilungseigenschaft verwenden, um unseren gestapelten Bruch zu vereinfachen! Ermitteln Sie zunächst die Umkehrung des Nenners der gestapelten Fraktion. Tun Sie dies, indem Sie den Bruch "umkehren" - der Zähler ersetzt den Nenner und umgekehrt.
   • In unserem Beispiel ist der Nenner der gestapelten Fraktion (11/15) / (29/70) die Fraktion 29/70. Um das Gegenteil zu finden, kehren wir es um und werden zum Bruch 70/29.
     • Beachten Sie, dass wenn der gestapelte Bruch eine ganze Zahl im Nenner hat, Sie ihn als Bruch behandeln und trotzdem seine Umkehrung finden können. Angenommen, die gestapelte Fraktion wäre (11/15) / (29), dann können wir den Nenner umgekehrt als 29/1 definieren 1/29.
3. Multiplizieren Sie den Zähler des gestapelten Bruchs mit dem Kehrwert des Nenners. Nachdem Sie die Umkehrung des Nenners Ihrer gestapelten Fraktion erhalten haben, multiplizieren Sie diese mit dem Zähler, um eine einzelne einfache Fraktion zu erhalten! Denken Sie daran, um zwei Brüche zu multiplizieren, kreuzen wir nicht - der Zähler des neuen Bruchs ist das Produkt des Zählers der beiden alten Brüche, und das Gleiche gilt für den Nenner.
   • In unserem Beispiel multiplizieren wir 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 und 15 × 29 = 435. So ist auch unser neuer einfacher Bruch 770/435.
4. Vereinfachen Sie den neuen Bruch, indem Sie den größten gemeinsamen Teiler finden. Wir haben jetzt einen einzelnen, einfachen Bruchteil. Alles, was übrig bleibt, ist, ihn so einfach wie möglich zu formulieren. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (gcd) von Zähler und Nenner und dividieren Sie beide durch diese Zahl, um ihn zu vereinfachen.
   • Ein gemeinsamer Teiler von 770 und 435 ist 5. Wenn wir also den Zähler und den Nenner unseres Bruchs durch 5 teilen, erhalten wir 154/87. 154 und 87 haben keine gemeinsamen Nenner, daher wissen wir, dass wir die endgültige Antwort gefunden haben!

Methode 2 von 2: Vereinfachen Sie gestapelte Brüche mit variablen Begriffen

1. Verwenden Sie nach Möglichkeit die oben beschriebene umgekehrte Multiplikationsmethode. Um klar zu sein, kann fast jeder gestapelte Bruch vereinfacht werden, indem der Zähler und der Nenner auf einige Brüche reduziert und der Zähler mit der Umkehrung des Nenners multipliziert werden. Gestapelte Brüche mit Variablen sind keine Ausnahme, aber je komplexer die Variablenausdrücke im gestapelten Bruch sind, desto schwieriger und zeitaufwendiger ist die umgekehrte Multiplikation. Für "einfache" gestapelte Brüche mit Variablen ist die Multiplikation mit der Umkehrung eine gute Wahl, aber gestapelte Brüche mit mehreren variablen Begriffen im Zähler und Nenner können mit der nachstehend beschriebenen alternativen Methode einfacher vereinfacht werden.
   • Zum Beispiel: (1 / x) / (x / 6) ist mit umgekehrter Multiplikation einfach zu vereinfachen. 1 / x × 6 / x = "6 / x. Es ist nicht erforderlich, eine alternative Methode zu verwenden.
   • Der Bruch (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5))) ist jedoch mit umgekehrter Multiplikation schwieriger zu vereinfachen. Das Reduzieren des Zählers und Nenners dieser gestapelten Fraktion auf einige Brüche, das Umkehren der Multiplikation und das Reduzieren des Ergebnisses auf die einfachsten Begriffe ist wahrscheinlich ein komplizierter Prozess. In diesem Fall kann das unten stehende alternative Verfahren einfacher sein.
2. Wenn eine umgekehrte Multiplikation nicht praktikabel ist, suchen Sie zunächst den kleinsten gemeinsamen Teiler der Teilterme in der gestapelten Fraktion. Der erste Schritt bei dieser alternativen Vereinfachungsmethode besteht darin, das kgd aller gebrochenen Terme in der gestapelten Fraktion zu finden - sowohl im Zähler als auch im Nenner. Wenn einer der Bruchausdrücke Variablen in seinen Nennern hat, ist das kgd einfach das Produkt ihrer Nenner.
   • Dies ist anhand eines Beispiels leichter zu verstehen. Versuchen wir, den oben erwähnten gestapelten Bruch zu vereinfachen (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x + 4 + ((1) / (x - 5)). Die Fraktionsterme in dieser zusammengesetzten Fraktion sind (1) / (x + 3) und (1) / (x-5). Der gemeinsame Nenner dieser beiden Fraktionen ist das Produkt ihrer Nenner: (x + 3) (x-5).
3. Multiplizieren Sie den Zähler der gestapelten Fraktion mit dem gerade gefundenen kgd. Als nächstes müssen wir die Terme in unserer gestapelten Fraktion mit dem kgd ihrer Fraktionsterme multiplizieren. Mit anderen Worten, wir werden die gesamte gestapelte Fraktion mit (kgd) / (kgd) multiplizieren. Wir können dies nur tun, weil (kgd) / (kgd) gleich 1 ist. Multiplizieren Sie zuerst den Zähler mit sich selbst.
   • In unserem Beispiel multiplizieren wir den gestapelten Bruch (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) mit ((x +) 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Wir müssen mit dem Zähler und Nenner des gestapelten Bruchs multiplizieren und jeden Term mit (x + 3) (x-5) multiplizieren.
     • Multiplizieren wir zunächst den Zähler: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
       • = ((((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
       • = (x-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))
       • = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x-5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145
4. Multiplizieren Sie den Nenner der gestapelten Fraktion mit dem kgd, wie Sie es mit dem Zähler getan haben. Multiplizieren Sie die gestapelte Fraktion mit dem gefundenen kgd, indem Sie zum Nenner gehen. Multiplizieren Sie jeden Term mit kgd.
   • Der Nenner unserer gestapelten Fraktion (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) ist x +4 + (() 1) / (x-5)). Wir werden dies mit dem gefundenen kgd (x + 3) (x-5) multiplizieren.
     • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
     • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57
5. Bilden Sie einen neuen vereinfachten Bruchteil des Zählers und Nenners, den Sie gerade gefunden haben. Nachdem Sie Ihren Bruch mit Ihrem (kgd) / (kgd) -Ausdruck multipliziert und durch Aufheben ähnlicher Begriffe vereinfacht haben, sollte ein einfacher Bruch übrig bleiben, der keine gebrochenen Begriffe enthält. Wie Sie vielleicht bemerkt haben, heben sich die Nenner dieser Brüche gegenseitig auf (indem Sie die Brüche in der ursprünglichen gestapelten Fraktion mit dem kgd multiplizieren), wobei variable Zähler und ganze Zahlen im Zähler und Nenner Ihrer Antwort verbleiben, jedoch keine Brüche.
   • Mit dem oben gefundenen Zähler und Nenner können wir einen Bruch konstruieren, der unserem anfänglichen gestapelten Bruch entspricht, aber keine Brüche enthält. Der Zähler, den wir bekommen haben, war x - 12x + 6x + 145 und der Nenner war x + 2x - 22x - 57, also ist der neue Bruch: (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

Tipps

• Zeigen Sie jeden Schritt Ihrer Arbeit. Brüche können verwirrend sein, wenn Sie zu schnell gehen oder versuchen möchten, sie auswendig zu lernen.
• Suchen Sie online oder in Ihrem Lehrbuch nach Beispielen für gestapelte Brüche. Befolgen Sie jeden Schritt, bis Sie den Dreh raus haben.