Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 2: Wurzelziehen mit Primfaktoren
• Methode 2 von 2: Quadratwurzeln ohne Taschenrechner finden
• Mit langer Teilung
• Verstehen Sie die Vorgehensweise
• Tipps
• Warnungen

Vor dem Aufkommen der Taschenrechner mussten sowohl Studenten als auch Professoren Quadratwurzeln mit Stift und Papier berechnen. Zu dieser Zeit wurden verschiedene Techniken entwickelt, um diese manchmal schwierige Aufgabe zu bewältigen, von denen einige eine grobe Schätzung liefern und andere den genauen Wert berechnen. Lesen Sie weiter, um in wenigen einfachen Schritten zu erfahren, wie Sie die Quadratwurzel einer Zahl finden.

Schreiten

Methode 1 von 2: Wurzelziehen mit Primfaktoren

1. Teilen Sie Ihre Zahl in Leistungsfaktoren. Diese Methode verwendet die Faktoren einer Zahl, um die Quadratwurzel einer Zahl zu ermitteln (abhängig von der Zahl kann es sich um eine genaue Antwort oder eine Schätzung handeln). Das Faktoren einer gegebenen Zahl sind eine beliebige Folge von Zahlen, die miteinander multipliziert werden, um diese bestimmte Zahl zu bilden. Zum Beispiel können Sie sagen, dass die Faktoren 8 gleich 2 und 4 sind, weil 2 × 4 = 8. Perfekte Quadrate sind dagegen ganze Zahlen, die das Produkt anderer ganzer Zahlen sind. Zum Beispiel sind 25, 36 und 49 perfekte Quadrate, weil sie gleich 5, 6 und 7 sind. Zweite Potenzfaktoren sind, wie Sie verstanden haben, Faktoren, die auch perfekte Quadrate sind. Um eine Quadratwurzel mithilfe von Primfaktoren zu finden, versuchen Sie zunächst, die Zahl in ihre zweiten Potenzfaktoren zu unterteilen.
   • Nehmen Sie das folgende Beispiel. Wir werden die Quadratwurzel von 400 finden. Zunächst teilen wir die Zahl in Leistungsfaktoren. Da 400 ein Vielfaches von 100 ist, wissen wir, dass es gleichmäßig durch 25 teilbar ist - ein perfektes Quadrat. Quick rote sagt uns, dass 400/25 = 16.16 auch ein perfektes Quadrat ist. Die Würfelfaktoren von 400 sind also 25 und 16 weil 25 × 16 = 400.
   • Wir schreiben dies als: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Nehmen Sie die Quadratwurzeln Ihrer zweiten Potenzfaktoren. Die Produktregel der Quadratwurzeln besagt, dass für jede gegebene Zahl ein und b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Aufgrund dieser Eigenschaft können wir jetzt die Quadratwurzeln der Quadratfaktoren nehmen und sie miteinander multiplizieren, um die Antwort zu erhalten.
   • In unserem Beispiel nehmen wir die Quadratwurzeln von 25 und 16. Siehe unten:
     • Quadratmeter (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Wenn Ihre Nummer nicht perfekt berücksichtigt werden kann, vereinfachen Sie sie. In Wirklichkeit sind die Zahlen, deren Quadratwurzeln Sie bestimmen möchten, keine schönen gerundeten Zahlen mit schönen Quadraten wie 400. In diesen Fällen ist es möglicherweise nicht möglich, eine ganze Zahl als Antwort zu erhalten. Stattdessen können Sie unter Verwendung aller Leistungsfaktoren, die Sie finden können, die Antwort als kleinere, benutzerfreundlichere Quadratwurzel bestimmen. Sie tun dies, indem Sie die Anzahl auf eine Kombination aus Leistungsfaktoren und anderen Faktoren reduzieren und dann vereinfachen.
   • Wir nehmen die Quadratwurzel von 147 als Beispiel. 147 ist nicht das Produkt zweier perfekter Quadrate, daher können wir keinen schönen ganzzahligen Wert erhalten. Aber es ist das Produkt eines perfekten Quadrats und einer anderen Zahl - 49 und 3. Wir können diese Informationen verwenden, um unsere Antwort auf einfachste Weise zu schreiben:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Bei Bedarf vereinfachen. Wenn man die Quadratwurzel in den einfachsten Begriffen verwendet, ist es normalerweise ziemlich einfach, eine grobe Schätzung der Antwort zu erhalten, indem man die verbleibenden Quadratwurzeln schätzt und sie multipliziert. Eine Möglichkeit, Ihre Vermutungen zu verbessern, besteht darin, die perfekten Quadrate auf beiden Seiten der Zahl in Ihrer Quadratwurzel zu finden. Sie wissen, dass der Dezimalwert der Zahl in Ihrer Quadratwurzel irgendwo zwischen diesen beiden Zahlen liegt, daher muss Ihre Vermutung auch zwischen diesen Zahlen liegen.
   • Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Da 2 = 4 und 1 = 1 ist, wissen wir, dass Sqrt (3) zwischen 1 und 2 liegt - wahrscheinlich näher an 2 als 1. Wir schätzen, dass 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Wenn wir dies mit dem Taschenrechner überprüfen, sehen wir, dass wir der Antwort ziemlich nahe sind: 12,13.
     • Dies funktioniert auch für die größeren Zahlen. Zum Beispiel liegt sqrt (35) ungefähr zwischen 5 und 6 (wahrscheinlich näher an 6). 5 = 25 und 6 = 36,35 liegt zwischen 25 und 36, sodass die Quadratwurzel zwischen 5 und 6 liegt. Da 35 knapp unter 36 liegt, können wir mit einiger Sicherheit sagen, dass die Quadratwurzel davon ist gerade ist kleiner als 6. Die Überprüfung mit einem Taschenrechner gibt uns eine Antwort von ungefähr 5,92 - wir hatten Recht.
5. Alternativ können Sie als ersten Schritt die Nummer auf vereinfachen kleinstes gemeinsames Vielfaches. Die Suche nach Leistungsfaktoren ist nicht erforderlich, wenn Sie Primzahlen einer Zahl leicht finden können (Faktoren, die gleichzeitig auch Primzahlen sind). Schreiben Sie die Zahl in Form von kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Suchen Sie dann zwischen Ihren Faktoren nach übereinstimmenden Primzahlenpaaren. Wenn Sie zwei übereinstimmende Primfaktoren finden, entfernen Sie diese von der Quadratwurzel und platzieren Sie sie ein dieser Zahlen außerhalb des Quadratwurzelzeichens.
   • Zum Beispiel bestimmen wir die Quadratwurzel von 45 mit dieser Methode. Wir wissen, dass 45 = 9 × 5 und 9 = 3 × 3. Also können wir die Quadratwurzel wie folgt schreiben: Sqrt (3 × 3 × 5). Löschen Sie einfach die 3 und platzieren Sie eine 3 außerhalb der Quadratwurzel, um eine vereinfachte Quadratwurzel zu erhalten: (3) Sqrt (5). Jetzt können Sie ganz einfach eine Schätzung vornehmen.
   • Ein letztes Beispiel; wir bestimmen die Quadratwurzel von 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Wir haben mehrere 2er in unserer Quadratwurzel. Da 2 eine Primzahl ist, können wir ein Paar entfernen und eine 2 außerhalb der Wurzel platzieren.
     • = Unsere Quadratwurzel ist im einfachsten Sinne (2) Sqrt (2 × 11) oder (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Jetzt können wir uns Sqrt (2) und Sqrt (11) nähern und eine ungefähre Antwort finden, wenn wir wollten.

Methode 2 von 2: Quadratwurzeln ohne Taschenrechner finden

Mit langer Teilung

1. Teilen Sie die Ziffern Ihrer Nummer in Paare. Diese Methode ähnelt der langen Division, mit der Sie die teilen können genau Quadratwurzel einer Zahl Ziffer für Ziffer. Obwohl dies nicht unbedingt erforderlich ist, kann das Aufteilen einer Zahl in bearbeitbare Teile das Lösen erleichtern, insbesondere wenn es lang ist. Zeichnen Sie zuerst eine vertikale Linie, die den Arbeitsbereich in zwei Bereiche unterteilt, dann eine kürzere Linie in der Nähe der Oberseite des rechten Bereichs, und teilen Sie sie in einen kleineren oberen Teil und einen größeren Teil darunter. Teilen Sie dann die Zahl beginnend mit dem Dezimalpunkt in Zahlenpaare. Nach dieser Regel wird 79520789182.47897 zu "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Schreiben Sie diese Nummer in den oberen linken Bereich.
   • Berechnen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 780,14. Teilen Sie Ihren Arbeitsbereich wie oben und schreiben Sie "7 80, 14" in die obere linke Ecke. Es ist in Ordnung, wenn nur eine Zahl ganz links statt zwei steht. Sie schreiben dann die Antwort (die Quadratwurzel von 780,14) oben in den rechten Bereich.
2. Finden Sie die größte Ganzzahl n deren Quadrat kleiner oder gleich der am weitesten links stehenden Ziffer oder Zahl ist. Suchen Sie das größte Quadrat, das kleiner oder gleich dieser Zahl ist, und suchen Sie dann die Quadratwurzel dieses Quadrats. Diese Nummer ist n. Schreiben Sie das in den oberen rechten Bereich und schreiben Sie das Quadrat von n in den unteren Quadranten dieses Bereichs.
   • In unserem Beispiel ist die am weitesten links stehende Ziffer die Zahl 7. Da wir wissen, dass 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 ist, können wir sagen, dass n = 2 ist, da dies die größte ganze Zahl ist, deren Quadrat kleiner oder gleich 7 ist. Schreiben Sie 2 in den oberen rechten Quadranten. Dies ist die erste Ziffer der Antwort. Schreiben Sie 4 (das Quadrat von 2) in den unteren rechten Quadranten. Diese Nummer ist wichtig für den nächsten Schritt.
3. Subtrahieren Sie die von Ihnen berechnete Zahl der am weitesten links stehenden Ziffer oder Zahl. Wie bei der langen Division besteht der nächste Schritt darin, das Quadrat von der Zahl zu subtrahieren, die wir gerade für die Berechnung verwendet haben. Schreiben Sie diese Zahl unter die Zahl ganz links und subtrahieren Sie sie. Schreiben Sie die Antwort unten.
   • In unserem Beispiel schreiben wir eine 4 unter 7 und subtrahieren sie. Das gibt 3 In Beantwortung.
4. Bewegen Sie die nächste Nummer nach unten. Platzieren Sie dies neben dem Wert, den Sie in der vorherigen Bearbeitung gefunden haben. Multiplizieren Sie die Zahl oben rechts mit zwei und notieren Sie sie unten rechts. Lassen Sie neben der Zahl, die Sie gerade notiert haben, Platz für die Summe, die Sie im nächsten Schritt machen werden. Schreiben Sie hier "_ × _ =" ".
   • In unserem Beispiel lautet die nächste Zahl "80". Schreiben Sie "80" neben die 3 im linken Quadranten. Dann multiplizieren Sie die Zahl oben rechts mit 2. Diese Zahl ist 2, also 2 × 2 = 4. Notieren Sie sich unten rechts "" 4 "", gefolgt von _×_=.
5. Geben Sie die Zahlen rechts ein. Geben Sie in das Leerzeichen der Summe (rechts) die größte Ganzzahl ein, die das Ergebnis der Multiplikationssumme rechts kleiner oder gleich der aktuellen Zahl links macht.
   • In unserem Beispiel geben wir 8 ein, und dies ergibt 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dies ist größer als 380. Also ist 8 zu groß, aber 7 wahrscheinlich nicht. Füllen Sie 7 aus und lösen Sie: 4 (7) × 7 = 329. 7 ist gut, weil 329 kleiner als 380 ist. Schreiben Sie 7 oben rechts. Dies ist die zweite Ziffer in der Quadratwurzel von 780,14.
6. Subtrahieren Sie die gerade berechnete Zahl von der aktuellen Zahl auf der linken Seite. Sie subtrahieren also das Ergebnis der Multiplikation rechts von der aktuellen Antwort links. Schreiben Sie Ihre Antwort direkt darunter.
   • In unserem Beispiel subtrahieren wir 329 von 380, und dies ergibt 51 als Ergebnis.
7. Wiederholen Sie Schritt 4. Verschieben Sie das nächste Zahlenpaar von 780,14 nach unten. Wenn Sie zu einem Komma kommen, schreiben Sie dieses Komma in die Antwort rechts. Dann multiplizieren Sie die obere rechte Zahl mit 2 und schreiben Sie die Antwort wie oben neben ("_ × _").
   • In unserer Antwort schreiben wir jetzt ein Komma, weil wir dies auch in 780.14 finden. Bewegen Sie das nächste Paar (14) den linken Quadranten entlang. 27 x 2 = 54, also schreiben wir "54 _ × _ =" in den unteren rechten Quadranten.
8. Wiederholen Sie die Schritte 5 und 6. Suchen Sie die größte Zahl, die eine Antwort gibt, die kleiner oder gleich der aktuellen Zahl auf der linken Seite ist. Lösen.
   • In unserem Beispiel ist 549 × 9 = 4941, was kleiner oder gleich der Zahl auf der linken Seite ist (5114). 549 × 10 = 5490, was zu hoch ist, also ist 9 unsere Antwort. Schreiben Sie 9 als nächste obere rechte Zahl und subtrahieren Sie das Ergebnis der Multiplikation von der linken Zahl: 5114 -4941 = 173.
9. Um das Ergebnis genau zu machen, wiederholen Sie den vorherigen Vorgang, bis Sie die Antwort mit der Anzahl der Dezimalstellen (Hundertstel, Tausendstel) finden, die Sie benötigen.

Verstehen Sie die Vorgehensweise

1. Betrachten Sie die Zahl, deren Quadratwurzel Sie berechnen möchten, als Fläche S eines Quadrats. Da die Fläche eines Quadrats L ist, wobei L die Länge einer seiner Seiten ist, versuchen Sie, die Länge L der Seite dieses Quadrats zu berechnen, indem Sie die Quadratwurzel Ihrer Zahl ermitteln.
2. Geben Sie jeder Ziffer Ihrer Antwort einen Buchstaben. Geben Sie die Variable A als erste Ziffer von L ein (die Quadratwurzel, die wir berechnen möchten). B ist die zweite Ziffer, C die dritte und so weiter.
3. Geben Sie jedem "Zahlenpaar" der Zahl, mit der Sie beginnen, einen Buchstaben. Geben Sie die Variable S an_ein zum ersten Ziffernpaar in S (dem Anfangswert), S._b zum zweiten Ziffernpaar usw.
4. Verstehen Sie die Beziehung zwischen dieser Methode und der langen Teilung. Diese Methode zum Finden einer Quadratwurzel ist im Wesentlichen eine lange Division, bei der Sie den Anfangswert durch die Quadratwurzel dividieren und die Quadratwurzel als Antwort "geben". Wie bei der langen Division, bei der Sie jeweils nur an der nächsten Ziffer interessiert sind, interessieren Sie sich jeweils nur für die nächsten zwei Ziffern (die der nächsten Ziffer der Quadratwurzel entsprechen).
5. Finden Sie die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich S ist._ein ist. Die erste Ziffer A in unserer Antwort ist dann die größte ganze Zahl, deren Quadrat nicht größer als S ist._ein (A so, dass A² ≤ Sa (A + 1) ²). In unserem Beispiel ist S._ein = 7 und 2² ≤ 7 3², also A = 2.
   • Beachten Sie, dass, wenn Sie 88962 durch lange Division durch 7 teilen, der erste Schritt gleich ist: Sie beschäftigen sich zuerst mit der ersten Ziffer von 88962 (8) und möchten die größte Ziffer multipliziert mit 7, die kleiner oder gleich 8 ist. Im Wesentlichen Sie bestimmen d so dass 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). In diesem Fall ist d gleich 1.
6. Visualisieren Sie das Quadrat, dessen Fläche Sie finden möchten. Ihre Antwort, die Quadratwurzel des Anfangswertes, ist L, was die Länge eines Quadrats mit der Fläche S (dem Anfangswert) beschreibt. Die Werte für A, B und C stellen die Ziffern im Wert L dar. Eine andere Möglichkeit, dies zu sagen, besteht darin, dass für eine zweistellige Antwort 10A + B = L und für eine dreistellige Antwort 100A + 10B gilt + C = L und so weiter.
   • In unserem Beispiel (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Denken Sie daran, dass 10A + B unsere Antwort L zusammen mit B in der Einheitenposition und A in der Zehnerposition darstellt. Wenn beispielsweise A = 1 und B = 2 ist, ist 10A + B die Zahl 12. (10A + B) ² ist die Fläche des gesamten Platzes, während 100A² ist die Fläche des größten inneren Platzes, B² ist die Fläche des kleinsten Quadrats und 10A × B. ist die Fläche jedes der verbleibenden Rechtecke. Durch diese lange, komplizierte Prozedur können wir die Fläche des gesamten Quadrats ermitteln, indem wir die Flächen der Quadrate und Rechtecke hinzufügen, die Teil davon sind.
7. Subtrahiere A² von S._ein. Bringen Sie ein Paar Zahlen mit (S._b) von der Nummer S. S._ein S._b ist fast die Gesamtfläche des Quadrats, von der Sie gerade die Fläche des größten inneren Quadrats abgezogen haben. Der Rest ist beispielsweise die Zahl N1, die wir in Schritt 4 erhalten haben (N1 = 380 in unserem Beispiel). N1 entspricht 2 × 10A × B + B² (die Fläche der 2 Rechtecke plus die Fläche des kleinen Quadrats).
8. Schauen Sie sich N1 = 2 × 10A × B + B² an, auch geschrieben als N1 = (2 × 10A + B) × B. In unserem Beispiel kennen Sie bereits N1 (380) und A (2). Jetzt müssen Sie B finden. B ist wahrscheinlich keine ganze Zahl, also müssen Sie tatsächlich finde die größte ganze Zahl B, so dass (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Jetzt haben Sie also: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Löse die Gleichung. Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren Sie A mit 2, verschieben Sie es auf die Zehn (multiplizieren Sie mit 10), setzen Sie B in die Einheiten und multiplizieren Sie das Ergebnis mit B. Mit anderen Worten, (2 × 10A + B) × B. Dies ist genau das, was Sie tun, wenn Sie in Schritt 4 "N_ × _ =" (mit N = 2 × A) in den unteren rechten Quadranten schreiben. In Schritt 5 bestimmen Sie die größte Ganzzahl B, die unter die Linie passt, also (2 × 10A) + B) × B ≤ N1.
10. Subtrahieren Sie die Fläche (2 × 10A + B) × B von der Gesamtfläche. Dies ergibt den Bereich S- (10A + B) ², den Sie noch nicht berücksichtigt haben (und den Sie verwenden, um die folgenden Zahlen auf die gleiche Weise zu berechnen).
11. Wiederholen Sie den Vorgang, um die nächste Ziffer C zu berechnen. Bewegen Sie das nächste Zahlenpaar von S nach unten (S._c), um N2 nach links zu bringen, und suchen Sie nach dem größten C, so dass Sie jetzt haben: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (entspricht dem Doppelten der zweistelligen Zahl "AB", die folgt durch "_ × _ =" Bestimmen Sie nun die größte Zahl, die Sie hier eingeben können. Dadurch erhalten Sie eine Antwort, die kleiner oder gleich N2 ist.

Tipps

• Durch Verschieben des Kommas um zwei Stellen (Faktor 100) wird das Komma in der entsprechenden Quadratwurzel um eine Stelle verschoben (Faktor 10).
• In dem Beispiel könnte 1,73 als "Rest" betrachtet werden: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Diese Methode funktioniert für jedes Zahlensystem, nicht nur für das Dezimal- (Dezimal-) System.
• Fühlen Sie sich frei, die Berechnungen dort zu platzieren, wo Sie möchten. Einige Leute schreiben es über die Zahl, deren Quadratwurzel sie berechnen möchten.
• Eine alternative Methode ist die folgende: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Um beispielsweise die Quadratwurzel von 780,14 zu berechnen, nehmen Sie die Ganzzahl, deren Quadrat 780,14 (28) am nächsten liegt, also = 780,14, x = 28 und y = -3,86. Das Ausfüllen und Schätzen ergibt x + y / (2x) und dies ergibt (vereinfachte Begriffe) 78207/2800 oder ungefähr 27.931 (1); der folgende Begriff, 4374188/156607 oder ungefähr 27.930986 (5). Jeder Term fügt dem vorherigen ungefähr 3 Dezimalstellen Genauigkeit hinzu.

Warnungen

• Stellen Sie sicher, dass Sie die Zahl vom Dezimalpunkt in Paare teilen. Teilen von 79520789182.47897 als "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "ergibt ein falsches Ergebnis.