Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 2: Die Länge der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
• Methode 2 von 2: Berechnen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene
• Tipps

Der Satz von Pythagoras beschreibt die Länge der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks auf eine Weise, die so elegant und praktisch ist, dass sie immer noch weit verbreitet ist. Dies besagt, dass für jedes rechtwinklige Dreieck die Summe der Quadrate der geraden Seiten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Mit anderen Worten, für ein rechtwinkliges Dreieck (ein Dreieck mit senkrecht zueinander stehenden Seiten) mit Seiten der Länge a und b und einer Hypotenuse der Länge c: a + b = c. Der Satz von Pythagoras ist eine der Säulen der Geometrie und hat zahlreiche praktische Anwendungen. Mit diesem Satz ist es beispielsweise sehr einfach, den Abstand zwischen zwei Punkten in einer flachen Ebene zu ermitteln.

Schreiten

Methode 1 von 2: Die Länge der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

1. Überprüfen Sie, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Der Satz von Pythagoras kann nur mit rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden. Bevor Sie fortfahren, müssen Sie daher überprüfen, ob Ihr Dreieck der Definition eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht. Glücklicherweise ist in dieser Hinsicht nur ein Faktor entscheidend: Einer der Winkel des Dreiecks muss ein Winkel von 90 Grad sein.
   • Als Hinweis werden rechte Winkel häufig mit einer kleinen eckigen Klammer markiert, um anzuzeigen, dass dies ein 90-Grad-Winkel ist. Überprüfen Sie, ob sich in einer der Ecken Ihres Dreiecks eine solche Klammer befindet.
2. Weisen Sie die Variablen a, b und c den Seiten Ihres Dreiecks zu. Im Satz von Pythagoras beziehen sich die Variablen a und b auf die rechten Seiten Ihres Dreiecks und die Variable c auf die Hypotenuse - die lange Seite gegenüber dem rechten Winkel. Zunächst weisen Sie den geraden Seiten die Variablen a und b (die Reihenfolge spielt keine Rolle) und der Hypotenuse c zu.
3. Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie wissen möchten. Mit dem Satz von Pythagoras können Sie die Länge jeder Seite eines Dreiecks ermitteln, sofern zwei der Seiten bekannt sind. Bestimmen Sie, welche der Seiten eine unbekannte Länge hat - ein, bund / oder c. Wenn nur einer unbekannt ist, können Sie fortfahren.
   • Angenommen, wir wissen, dass die Hypotenuse eine Länge von 5 und eine der anderen Seiten eine Länge von 3 hat. Die Länge der verbleibenden Seite ist unbekannt. Da zwei der Seiten bekannt sind, können wir die Länge der unbekannten Seite berechnen! Wir werden dieses Beispiel später noch einmal verwenden.
   • Wenn die Länge von zwei Wenn die Seiten unbekannt sind, müssen Sie die Länge mindestens einer weiteren Seite bestimmen, um den Satz von Pythagoras verwenden zu können. Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen können Ihnen dabei helfen, vorausgesetzt, Sie kennen einen der anderen, nicht rechten Winkel des Dreiecks.
4. Berechnen Sie mit der Gleichung und den Personen, die Sie kennen. Geben Sie die Werte für die Länge der Seiten Ihres Dreiecks in die Gleichung a + b = c ein. Denken Sie daran, dass a und b die geraden Seiten sind und c die Hypotenuse ist.
   • In unserem Beispiel kennen wir die Länge einer Seite und die der Hypotenuse (3 & 5), also schreiben wir unsere Gleichung wie folgt: 3² + b² = 5²
5. Berechnen Sie die Quadrate. Um Ihre Gleichung zu lösen, quadrieren Sie zunächst jede der bekannten Seiten. Wenn Sie dies einfacher finden, können Sie die Leistung verlassen und sie erst später ausrichten.
   • In unserem Beispiel quadrieren wir 3 und 5, um resp. 9 und 25 zu bekommen. Wir können nun die Gleichung als 9 + b² = 25 umschreiben.
6. Isolieren Sie die unbekannte Variable auf einer Seite des Gleichheitszeichens. Verwenden Sie bei Bedarf algebraische Standardoperationen, um das Unbekannte auf die eine Seite des Gleichheitszeichens und die Quadrate auf die andere Seite zu bringen. Wenn Sie versuchen, die Hypotenuse zu finden, befindet sich c im Theorem bereits auf einer Seite, sodass Sie diesen Schritt überspringen können.
   • In unserem Beispiel lautet die Gleichung jetzt 9 + b² = 25. Um b & sup2 zu isolieren, subtrahieren wir 9 von beiden Seiten der Gleichung. Dies lässt uns mit b² = 16.
7. Nehmen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung. Sie sollten jetzt ein Quadrat (Variable) auf einer Seite der Gleichung und eine Zahl auf der anderen Seite haben. Ziehen Sie nun an der Quadratwurzel beider Seiten, um die Länge des Unbekannten zu ermitteln.
   • In unserem Beispiel, b² = 16, lautet die Gleichung nach der Quadratwurzelung b = 4. Wir können also sagen, dass die Länge der unbekannten Seite unseres Dreiecks gleich ist 4.
8. Verwenden Sie in der Praxis den Satz von Pythagoras. Der Grund, warum der Satz von Pythagoras so häufig verwendet wird, liegt darin, dass er zur Lösung vieler praktischer Probleme anwendbar ist. Lernen Sie, rechtwinklige Dreiecke in der Welt um Sie herum zu erkennen - wo immer Sie ein rechtwinkliges Dreieck auf einem oder mehreren Objekten erkennen können, ist der Satz von Pythagoras anwendbar, um die Länge einer der Seiten zu ermitteln, vorausgesetzt, es gibt zwei Seiten oder Winkel. Seien Sie berühmt.
   • Nehmen wir ein Beispiel aus der realen Welt. Eine Leiter lehnt an einer Wand. Der Boden der Leiter ist 5 Meter von der Wand entfernt. Die Leiter erreicht 20 Meter vom Boden der Wand. Wie lang ist die Leiter?
     • "5 Meter ist der Abstand zur Wand" und "die Leiter ist 20 Meter hoch". Dies gibt einen Hinweis auf die Länge der Seiten des Dreiecks. Da wir annehmen können, dass die Wand und der Boden einen rechten Winkel bilden und die Leiter in einem Winkel diagonal zur Wand steht, können wir diese Anordnung als rechtwinkliges Dreieck betrachten, dessen Seiten eine Länge von a = 5 und b = 20 haben. Die Länge der Leiter ist die Hypotenuse, die unbekannte Variable c. Wenden wir den Satz von Pythagoras an:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. Die Länge der Leiter beträgt (ungefähr) 20,6 Meter.

Methode 2 von 2: Berechnen Sie den Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene

1. Definieren Sie zwei Punkte in der Ebene. Der Satz von Pythagoras kann sehr einfach verwendet werden, um den geradlinigen Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene zu ermitteln. Sie benötigen lediglich die x- und y-Koordinaten von zwei beliebigen Punkten. Normalerweise werden diese Koordinaten als (x, y) geschrieben.
   • Um den Abstand zwischen diesen beiden Punkten zu ermitteln, betrachten wir jeden der Punkte als einen der Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks, das nicht zum rechten Winkel gehört. Dies macht es sehr einfach, die Länge von a und b zu finden, wonach c (die Hypotenuse und der Abstand zwischen den beiden Punkten) berechnet werden kann.
2. Zeichnen Sie die beiden Punkte in einem Diagramm. In einer X-Y-Ebene ist x für jeden Punkt (x, y) ein Punkt auf der horizontalen x-Achse und y ein Punkt auf der vertikalen y-Achse. Sie können den Abstand zwischen den beiden ermitteln, ohne sie grafisch darzustellen. Auf diese Weise erhalten Sie jedoch eine visuelle Referenz, mit der Sie überprüfen können, ob Ihre Antwort sinnvoll ist.
3. Bestimmen Sie die Länge der geraden Seiten Ihres Dreiecks. Wenn Sie Ihre beiden Punkte als Winkel des Dreiecks neben der Hypotenuse betrachten, können Sie die Länge der Seiten a und b ermitteln. Sie können dies mithilfe des Diagramms oder mithilfe der Formeln | x tun₁ - x₂| für die horizontale Seite und | y₁ - y₂| für die vertikale Seite, wobei (x₁y₁) ist der erste Punkt und (x₂y₂) der zweite Punkt.
   • Angenommen, wir haben die Punkte (6,1) und (3,5). Die Länge der horizontalen Seite unseres Dreiecks beträgt:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Die Länge der vertikalen Seite beträgt:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Wir können also sagen, dass die Länge der Seiten unseres rechtwinkligen Dreiecks gleich a = 3 und b = 4 ist.
4. Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Hypotenuse zu finden. Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist die Länge der Hypotenuse des Dreiecks. Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Hypotenuse des Dreiecks mit den Seiten a, b und c zu finden.
   • In unserem Beispiel kennen wir die Punkte (3,5) und (6,1), und die Längen der Seiten sind a = 3 und b = 4, daher bestimmen wir die Hypotenuse wie folgt:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. Der Abstand zwischen (3,5) und (6,1) beträgt 5.

Tipps

• Wenn das Dreieck kein rechtwinkliges Dreieck ist, können Sie nicht einfach den Satz von Pythagoras verwenden.
• Die Hypotenuse ist immer:
  • die Linie gegenüber dem rechten Winkel
  • die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks
  • Die Variable c im Satz von Pythagoras
• sqrt (x) bedeutet "die Quadratwurzel von x".
• Vergessen Sie nicht, immer Ihre Antworten zu überprüfen. Wenn eine Antwort falsch zu sein scheint, überprüfen Sie Ihre Berechnungen oder beginnen Sie von vorne.
• Wenn Sie nur eine Seite des Dreiecks kennen, aber auch einen der anderen Winkel (dann den rechten Winkel), berechnen Sie zuerst eine andere Seite mit dem, was Sie über Trigonometrie (sin, cos, tan) oder den Proportionen 30-60-90 / wissen. 45-45-90.
• Eine weitere Überprüfung: Die längste Seite befindet sich gegenüber dem größten Winkel und die kürzeste Seite gegenüber dem kleinsten Winkel.