Inhalt

• Schritte
• Teil 1 von 3: Extrahieren der Kubikwurzel mit einem einfachen Beispiel
• Teil 2 von 3: Würfelwurzelschätzung
• Teil 3 von 3: Erläuterung des beschriebenen Berechnungsprozesses
• Tipps
• Warnungen
• Was brauchst du

Wenn Sie einen Taschenrechner zur Hand haben, können Sie ganz einfach die Kubikwurzel einer beliebigen Zahl ziehen. Aber wenn Sie keinen Taschenrechner haben oder einfach nur andere beeindrucken möchten, extrahieren Sie die Kubikwurzel manuell. Für die meisten Leute wird der hier beschriebene Prozess ziemlich kompliziert erscheinen, aber mit etwas Übung wird es viel einfacher, Kubikwurzeln zu extrahieren. Bevor Sie mit dem Lesen dieses Artikels beginnen, erinnern Sie sich an die grundlegenden mathematischen Operationen und Berechnungen mit Zahlen in einem Würfel.

Schritte

Teil 1 von 3: Extrahieren der Kubikwurzel mit einem einfachen Beispiel

1. 1 Schreiben Sie die Aufgabe auf. Die manuelle Würfelwurzelextraktion ähnelt der langen Teilung, jedoch mit einigen Nuancen. Schreiben Sie zunächst die Aufgabe in einer bestimmten Form auf.
   • Notieren Sie die Zahl, aus der Sie die Kubikwurzel ziehen möchten. Teilen Sie die Zahl in Gruppen von drei Ziffern auf und beginnen Sie mit dem Zählen mit einem Dezimalpunkt. Sie müssen beispielsweise die Kubikwurzel von 10 ziehen. Schreiben Sie die Zahl so: 10.000.000. Zusätzliche Nullen werden verwendet, um die Genauigkeit des Ergebnisses zu verbessern.
   • Zeichne ein Wurzelzeichen neben und über die Zahl. Stellen Sie sich vor, dies sind die horizontalen und vertikalen Linien, die Sie in langer Aufteilung zeichnen. Der einzige Unterschied ist die Form der beiden Charaktere.
   • Setzen Sie einen Dezimalpunkt über die horizontale Linie. Tun Sie dies direkt über dem Dezimalpunkt der ursprünglichen Zahl.
2. 2 Denken Sie an die Ergebnisse des Würfelns von ganzen Zahlen. Sie werden in Berechnungen verwendet.
   • ${ Anzeigestil 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ Displaystil 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ Displaystil 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ Displaystil 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ Displaystil 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ Displaystil 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ Displaystil 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ Displaystil 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ Displaystil 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ Displaystil 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Finden Sie die erste Ziffer der Antwort. Wählen Sie einen ganzzahligen Würfel aus, der der ersten Gruppe von drei Ziffern am nächsten, aber kleiner als diese ist.
   • In unserem Beispiel ist die erste Gruppe von drei Ziffern 10. Finden Sie den größten Würfel, der kleiner als 10 ist. Dieser Würfel ist 8, und die Kubikwurzel von 8 ist 2.
   • Schreiben Sie über die horizontale Linie über der Zahl 10 die Zahl 2. Schreiben Sie dann den Wert der Operation auf ${ Anzeigestil 2 ^ {3}}$ = 8 unter 10. Zeichnen Sie eine Linie und ziehen Sie 8 von 10 ab (wie bei der langen Division). Das Ergebnis ist 2 (das ist der erste Rest).
   • Damit haben Sie die erste Zahl der Antwort gefunden. Überlegen Sie, ob das angegebene Ergebnis genau genug ist. In den meisten Fällen wird dies eine sehr grobe Antwort sein. Cub das Ergebnis, um herauszufinden, wie nah es an der ursprünglichen Zahl liegt. In unserem Beispiel: ${ Anzeigestil 2 ^ {3}}$ = 8, was nicht sehr nahe an 10 liegt, daher müssen die Berechnungen fortgesetzt werden.
4. 4 Finden Sie die nächste Ziffer der Antwort. Addiere die zweite Gruppe von drei Zahlen zum ersten Rest und zeichne eine vertikale Linie links von der resultierenden Zahl. Mit der resultierenden Zahl finden Sie die zweite Ziffer der Antwort. In unserem Beispiel muss die zweite Dreiergruppe (000) zum ersten Rest (2) addiert werden, um die Zahl 2000 zu erhalten.
   • Links von der vertikalen Linie schreiben Sie drei Zahlen, deren Summe einem ersten Faktor entspricht. Lassen Sie für diese Zahlen Leerzeichen und setzen Sie Pluszeichen dazwischen.
5. 5 Finden Sie den ersten Begriff (von drei). Schreiben Sie in das erste Leerzeichen das Ergebnis der Multiplikation von 300 mit dem Quadrat der ersten Ziffer der Antwort (es steht über dem Wurzelzeichen). In unserem Beispiel ist die erste Ziffer der Antwort 2, also 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Schreiben Sie 1200 in das erste Leerzeichen. Der erste Term ist 1200 (plus zwei weitere zu findende Zahlen).
6. 6 Finden Sie die zweite Ziffer der Antwort. Finden Sie heraus, welche Zahl Sie 1200 multiplizieren müssen, damit das Ergebnis nahe ist, aber 2000 nicht überschreitet. Diese Zahl kann nur 1 sein, da 2 * 1200 = 2400, was mehr als 2000 ist. Schreiben Sie 1 (zweite Ziffer des answer) nach 2 und Dezimalkomma über dem Wurzelzeichen.
7. 7 Finden Sie den zweiten und dritten Begriff (von drei). Der Faktor besteht aus drei Zahlen (Begriffen), von denen Sie die erste bereits gefunden haben (1200). Jetzt müssen wir die verbleibenden zwei Terme finden.
   • Multiplizieren Sie 3 mit 10 und mit jeder Ziffer der Antwort (sie stehen über dem Wurzelzeichen). In unserem Beispiel: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Addiere dieses Ergebnis zu 1200 und erhalte 1260.
   • Zum Schluss quadrieren Sie die letzte Ziffer Ihrer Antwort. In unserem Beispiel ist die letzte Ziffer der Antwort 1, also 1 ^ 2 = 1. Der erste Faktor ist also die Summe der folgenden Zahlen: 1200 + 60 + 1 = 1261. Schreiben Sie diese Zahl links neben den vertikalen Strich .
8. 8 Multiplizieren und subtrahieren. Multiplizieren Sie die letzte Ziffer der Antwort (in unserem Beispiel ist es 1) mit dem gefundenen Faktor (1261): 1 * 1261 = 1261. Schreiben Sie diese Zahl unter 2000 und subtrahieren Sie sie von 2000. Sie erhalten 739 (das ist die zweite Rest).
9. 9 Überlegen Sie, ob die Antwort, die Sie erhalten haben, richtig genug ist. Tun Sie dies jedes Mal, wenn Sie die nächste Subtraktion durchführen. Nach der ersten Subtraktion war die Antwort 2, was kein exaktes Ergebnis ist. Nach der zweiten Subtraktion lautet die Antwort 2.1.
   • Um die Richtigkeit der Antwort zu überprüfen, cub it: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Wenn Sie der Meinung sind, dass die Antwort genau genug ist, müssen Sie die Berechnungen nicht fortsetzen. andernfalls führen Sie eine weitere Subtraktion durch.
10. 10 Finden Sie den zweiten Faktor. Wiederholen Sie die obigen Schritte, um Ihre Berechnungen zu üben und ein genaueres Ergebnis zu erhalten.
    • Addiere die dritte Dreiergruppe (000) zum zweiten Rest (739). Sie erhalten die Nummer 739000.
    • Multiplizieren Sie 300 mit dem Quadrat der Zahl über dem Wurzelzeichen (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Finden Sie die dritte Ziffer der Antwort. Finden Sie heraus, welche Zahl Sie mit 132300 multiplizieren müssen, damit das Ergebnis nahe ist, aber 739000 nicht überschreitet. Diese Zahl ist 5: 5 * 132200 = 661500. Schreiben Sie 5 (dritte Ziffer der Antwort) nach 1 über dem Wurzelzeichen.
    • Multiplizieren Sie 3 mit 10 mit 21 und mit der letzten Ziffer der Antwort (sie stehen über dem Wurzelzeichen). In unserem Beispiel: ${ Anzeigestil 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Zum Schluss quadrieren Sie die letzte Ziffer Ihrer Antwort. In unserem Beispiel ist die letzte Ziffer der Antwort 5, also ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • Der zweite Faktor ist also: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11. 11 Multiplizieren Sie die letzte Ziffer Ihrer Antwort mit dem zweiten Faktor. Nachdem Sie den zweiten Faktor und die dritte Ziffer der Antwort gefunden haben, gehen Sie wie folgt vor:
    • Multiplizieren Sie die letzte Ziffer der Antwort mit dem gefundenen Faktor: 135475 * 5 = 677375.
    • Subtrahieren: 739000 - 677375 = 61625.
    • Überlegen Sie, ob die Antwort, die Sie erhalten haben, richtig genug ist. Um dies zu tun, würfeln Sie es: ${ Displaystil 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$.
12. 12 Schreiben Sie Ihre Antwort auf. Das über dem Wurzelzeichen geschriebene Ergebnis ist die Antwort mit zwei Dezimalstellen. In unserem Beispiel beträgt die Kubikwurzel von 10 2,15. Überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie sie in Würfel schneiden: 2,15 ^ 3 = 9,94, was ungefähr 10 ist. Wenn Sie mehr Genauigkeit benötigen, fahren Sie mit der Berechnung fort (wie oben beschrieben).

Teil 2 von 3: Würfelwurzelschätzung

1. 1 Verwenden Sie Zahlenwürfel, um die obere und untere Grenze zu bestimmen. Wenn Sie die Kubikwurzel von fast jeder Zahl ziehen müssen, finden Sie Würfel (einige Zahlen), die der angegebenen Zahl nahe kommen.
   • Zum Beispiel müssen Sie die Kubikwurzel von 600 extrahieren. Da ${ Displaystil 8 ^ {3} = 512}$ und ${ Displaystil 9 ^ {3} = 729}$, dann liegt die Kubikwurzel von 600 zwischen 8 und 9. Verwenden Sie daher 512 und 729 als Ober- und Untergrenze Ihrer Antwort.
2. 2 Schätze die zweite Zahl. Sie haben die erste Zahl dank Ihrer Kenntnisse der Würfel von ganzen Zahlen gefunden. Wandeln Sie nun eine ganze Zahl in einen Dezimalbruch um, indem Sie ihr (nach dem Dezimalpunkt) eine Ziffer von 0 bis 9 zuweisen. Sie müssen einen Dezimalbruch finden, dessen Würfel nahe, aber kleiner als die ursprüngliche Zahl ist.
   • In unserem Beispiel liegt die Zahl 600 zwischen 512 und 729. Zum Beispiel füge zur ersten gefundenen Zahl (8) die Zahl 5 hinzu. Du erhältst die Zahl 8,5.
3. 3 Schätzen Sie die resultierende Zahl, indem Sie sie in einen Würfel bauen. Tun Sie dies, um zu überprüfen, ob der Würfel nahe, aber nicht größer als die ursprüngliche Zahl ist.
   • In unserem Beispiel: ${ Displaystil 8,5 * 8,5 * 8,5 = 614.1.}$
4. 4 Werten Sie bei Bedarf eine andere Zahl aus. Vergleiche den Würfel der resultierenden Zahl mit der ursprünglichen Zahl. Wenn der Kubus der resultierenden Zahl größer als die ursprüngliche Zahl ist, versuchen Sie, eine niedrigere Zahl auszuwerten. Wenn der Würfel der resultierenden Zahl viel kleiner als die ursprüngliche Zahl ist, werten Sie die großen Zahlen aus, bis der Würfel einer von ihnen die ursprüngliche Zahl überschreitet.
   • In unserem Beispiel: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Schätzen Sie daher die kleinere Zahl 8.4. Würfelt diese Zahl und vergleicht sie mit der Originalzahl: ${ Displaystil 8,4 * 8,4 * 8,4 = 592,7}$... Dieses Ergebnis ist kleiner als die ursprüngliche Zahl. Somit liegt die Kubikwurzel von 600 zwischen 8,4 und 8,5.
5. 5 Werten Sie die nächste Zahl aus, um die Genauigkeit Ihrer Antwort zu verbessern. Fügen Sie für jede Zahl, die Sie zuletzt bewertet haben, eine Zahl von 0 bis 9 hinzu, bis Sie die genaue Antwort erhalten. In jeder Bewertungsrunde müssen Sie die Ober- und Untergrenze finden, zwischen denen die ursprüngliche Zahl liegt.
   • In unserem Beispiel: ${ displaystyle 8,4 ^ {3} = 592.7}$ und ${ displaystyle 8,5 ^ {3} = 614.1}$... Die ursprüngliche Zahl 600 liegt näher an 592 als an 614. Fügen Sie daher zu der letzten geschätzten Zahl eine Ziffer hinzu, die näher an 0 als an 9 liegt. Diese Zahl ist beispielsweise 4. Daher ist die Zahl 8,44.
6. 6 Werten Sie bei Bedarf eine andere Zahl aus. Vergleiche den Würfel der resultierenden Zahl mit der ursprünglichen Zahl. Wenn der Kubus der resultierenden Zahl größer als die ursprüngliche Zahl ist, versuchen Sie, eine niedrigere Zahl auszuwerten. Kurz gesagt, Sie müssen zwei Zahlen finden, deren Würfel etwas größer und etwas kleiner als die ursprüngliche Zahl sind.
   • In unserem Beispiel ${ Displaystil 8,44 * 8,44 * 8,44 = 601,2}$... Diese ist etwas größer als die ursprüngliche Zahl, werte also eine andere (kleinere) Zahl aus, zum Beispiel 8,43: ${ Displaystil 8,43 * 8,43 * 8,43 = 599,07}$... Somit liegt die Kubikwurzel von 600 zwischen 8,43 und 8,44.
7. 7 Folgen Sie diesem Vorgang, bis Sie eine für Sie zufriedenstellende Antwort erhalten. Werte die nächste Zahl aus, vergleiche sie mit dem Original, werte dann ggf. eine andere Zahl aus und so weiter. Beachten Sie, dass jede zusätzliche Stelle nach dem Komma die Genauigkeit Ihrer Antwort erhöht.
   • In unserem Beispiel ist der Würfel der Zahl 8,43 um weniger als 1 kleiner als die ursprüngliche Zahl. Wenn Sie mehr Genauigkeit benötigen, würfeln Sie die Zahl 8,43 und erhalten Sie das ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$, d. h. das Ergebnis ist weniger als 0,1 kleiner als die ursprüngliche Zahl.

Teil 3 von 3: Erläuterung des beschriebenen Berechnungsprozesses

1. 1 Denken Sie an die Binomialreihe. Eine Binomialreihe ist das Ergebnis der Erhöhung eines Binomials (Binomial) auf eine bestimmte Potenz, in diesem Fall auf einen Würfel. Um den hier beschriebenen Würfelwurzelextraktionsalgorithmus zu verstehen, erinnern Sie sich zuerst daran, dass ein Binomial ein Würfel ist. Die Chancen stehen gut, dass Sie dies in der Schule gelernt haben (und wahrscheinlich bald vergessen haben, wie dies die meisten Leute tun). Variablen ${ Anzeigestil A}$ und ${ Anzeigestil B}$ einige einzelne Ziffern markieren. Dann lässt sich die zweistellige Zahl als Binomial schreiben ${ Anzeigestil (10A + B)}$.
   • Hier das Mitglied ${ Displaystil 10A}$ stellt die Zehnerstelle dar, das heißt, wenn ${ Anzeigestil A}$ Ist eine einstellige Zahl, dann ${ Displaystil 10A}$ - dies ist bereits die entsprechende zweistellige Zahl. Zum Beispiel, wenn ${ Anzeigestil A}$ = 2, und ${ Anzeigestil B}$ = 6, dann ${ Anzeigestil (10A + B)}$ = 26, das heißt, Sie haben eine zweistellige Zahl 26.
2. 2 Würfeln Sie das Binomial. Tun Sie dies, um das im ersten Abschnitt beschriebene Verfahren zur Extraktion der Kubikwurzel zu verstehen. Berechnung ${ Anzeigestil (10A + B) ^ {3}}$ = ${ Anzeigestil (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (hier haben wir mehrere Stufen der Würfelkonstruktion weggelassen, um den Artikel nicht mit Berechnungen zu überladen).
   • Eine ausführliche Erklärung finden Sie hier.
3. 3 Verstehe den Algorithmus der langen Division. Beachten Sie, dass die hier beschriebene Kubikwurzelmethode der langen Division sehr ähnlich ist. Beim Dividieren in einer Spalte müssen Sie die Zahl (Quotient) finden, wenn Sie mit dem Divisor multipliziert werden, erhalten Sie den Dividenden. Bei dem beschriebenen Verfahren wird das Ergebnis des Ziehens der Kubikwurzel (es wird über dem Wurzelzeichen geschrieben) als Quotient verwendet. Das heißt, das Ergebnis des Extrahierens der Kubikwurzel kann als Binomial (10A + B) dargestellt werden. Die genauen Werte von A und B sind in diesem Stadium nicht wichtig: Denken Sie nur daran, dass das Ergebnis als Binomial geschrieben werden kann.
4. 4 Betrachten Sie den Binomialbereich. Es ist die Summe von vier Monomen, dank derer Sie das Funktionsprinzip des Würfelwurzelextraktionsalgorithmus verstehen können. Bitte beachten Sie, dass der Multiplikator für jeden Schritt des Ziehens der Wurzel gleich der Summe der vier Terme ist, die berechnet und addiert werden müssen.
   • Der Faktor für den ersten Term ist 1000. Um die erste Ziffer der Antwort zu berechnen, suchen Sie zuerst die Kubik einer ganzen Zahl, die einer bestimmten Zahl am nächsten, aber kleiner als diese ist (nämlich die erste Gruppe von drei Ziffern). Dies definiert das 1000A ^ 3 Mitglied der Binomialreihe.
   • Der Multiplikator des zweiten Termes der Binomialreihe ist die Zahl 300 (${ Displaystil 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Denken Sie daran, dass in jeder Phase der Kubikwurzelextraktion die entsprechende Ziffer (n) der Antwort mit 300 multipliziert wurde.
   • Der zweite Term in jeder Stufe der Wurzelextraktion wird durch den dritten Term der Binomialreihe bestimmt, der gleich 30AB ^ 2 ist.
   • Der dritte Term in jeder Stufe der Wurzelextraktion wird durch den vierten Term der Binomialreihe bestimmt, der gleich B ^ 3 ist.
5. 5 Beachten Sie die Erhöhung der Genauigkeit der Antwort. Je mehr Phasen der Wurzelextraktion Sie durchlaufen, desto genauer wird die Antwort sein. In diesem Artikel mussten Sie beispielsweise die Kubikwurzel von 10 extrahieren. In der ersten Phase lautet die Antwort 2, da ${ Anzeigestil 2 ^ {3}}$ = 8, was nahe, aber kleiner als 10 ist. In der zweiten Stufe lautet die Antwort 2,1, weil ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, was viel näher an 10 liegt. In der dritten Stufe lautet die Antwort 2,15, da ${ displaystyle 2,15 ^ {3} = 9,94}$... Sie können die Berechnung mit Dreiergruppen fortsetzen, um die Genauigkeit Ihrer Antwort zu verbessern.

Tipps

• Üben Sie, die beschriebenen Methoden zu beherrschen. Je mehr Sie üben, desto schneller kommen Sie durch die Berechnungen.

Warnungen

• Es ist ziemlich einfach, einen Fehler bei der Berechnung zu machen. Überprüfen Sie daher unbedingt die Antwort.

Was brauchst du

• Kugelschreiber oder Bleistift
• Blatt Papier
• Lineal
• Radiergummi