Inhalt

• Schritte
• Teil 1 von 2: Primfaktoren finden
• Teil 2 von 2: Verwenden von Primfaktoren
• Beispiele für Aufgaben
• Tipps
• Warnungen

Jede natürliche Zahl lässt sich in das Produkt von Primfaktoren zerlegen. Wenn Sie nicht gerne mit großen Zahlen wie 5733 umgehen, lernen Sie, sie zu faktorisieren (in diesem Fall 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Eine ähnliche Aufgabe stellt sich häufig in der Kryptographie, die sich mit Problemen der Informationssicherheit beschäftigt. Wenn Sie noch nicht bereit sind, Ihr eigenes sicheres E-Mail-System zu erstellen, lernen Sie zuerst, wie Sie Zahlen faktorisieren.

Schritte

Teil 1 von 2: Primfaktoren finden

1. 1 Erfahren Sie, was Factoring ist. Die Zerlegung einer Zahl in das Produkt von Faktoren ist der Vorgang, sie in kleinere Teile zu "aufteilen".Wenn diese Teile oder Faktoren multipliziert werden, ergeben sie die ursprüngliche Zahl.
   • Die Zahl 18 lässt sich beispielsweise in folgende Produkte zerlegen: 1 x 18, 2 x 9 oder 3 x 6.
2. 2 Denken Sie daran, was Primzahlen sind. Eine Primzahl ist nur durch zwei Zahlen ohne Rest teilbar: durch sich selbst und durch 1. Zum Beispiel lässt sich die Zahl 5 als Produkt von 5 und 1 darstellen. Diese Zahl lässt sich nicht in andere Faktoren zerlegen. Der Zweck der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren besteht darin, sie als Produkt von Primzahlen darzustellen. Dies ist besonders nützlich, wenn Sie mit Brüchen arbeiten, da Sie sie vergleichen und vereinfachen können.
3. 3 Beginnen Sie mit der ursprünglichen Nummer. Wählen Sie eine zusammengesetzte Zahl größer als 3. Es macht keinen Sinn, eine Primzahl zu nehmen, da sie nur durch sich selbst und eins teilbar ist.
   • Beispiel: Zerlegen wir die Zahl 24 in das Produkt der Primzahlen.
4. 4 Teilen wir diese Zahl in das Produkt zweier Faktoren auf. Finden Sie zwei kleinere Zahlen, deren Produkt gleich der ursprünglichen Zahl ist. Jeder Faktor kann verwendet werden, aber es ist einfacher, Primzahlen zu nehmen. Eine gute Möglichkeit besteht darin, die ursprüngliche Zahl zuerst durch 2, dann durch 3 und dann durch 5 zu teilen und zu prüfen, welche dieser Primzahlen sie ohne Rest teilt.
   • Beispiel: Wenn Sie die Faktoren für 24 nicht kennen, versuchen Sie, sie durch kleine Primzahlen zu teilen. Sie werden also feststellen, dass die angegebene Zahl durch 2 teilbar ist: 24 = 2 x 12... Dies ist ein guter Anfang.
   • Da 2 eine Primzahl ist, ist es gut, sie beim Faktorisieren von geraden Zahlen zu verwenden.
5. 5 Beginnen Sie mit dem Aufbau des Multiplikatorbaums. Dieses einfache Verfahren hilft Ihnen, eine Zahl zu faktorisieren. Zeichnen Sie zunächst zwei "Zweige" von der ursprünglichen Zahl nach unten. Schreiben Sie am Ende jeder Verzweigung die gefundenen Faktoren.
   • Beispiel:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Faktorisiere die nächste Zahlenreihe. Schauen Sie sich die beiden neuen Zahlen an (zweite Zeile des Multiplikatorbaums). Sind das beide Primzahlen? Wenn einer von ihnen nicht einfach ist, faktoriere ihn auch mit zwei Faktoren. Machen Sie zwei weitere Zweige und schreiben Sie zwei neue Faktoren in die dritte Zeile des Baums.
   • Beispiel: 12 ist keine Primzahl, daher sollte sie faktorisiert werden. Verwenden Sie die Zerlegung 12 = 2 x 6 und schreiben Sie sie in die dritte Zeile des Baums:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Weiter den Baum hinunter. Wenn sich herausstellt, dass einer der neuen Faktoren eine Primzahl ist, zeichne einen "Zweig" daraus und schreibe dieselbe Zahl an sein Ende. Primzahlen können nicht in kleinere Faktoren erweitert werden, also verschieben Sie sie einfach eine Ebene nach unten.
   • Beispiel: 2 ist prim. Bewegen Sie einfach 2 von der zweiten in die dritte Zeile:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Zerlege die Zahlen weiter, bis nur noch Primzahlen übrig sind. Überprüfen Sie jede neue Zeile des Baums. Wenn mindestens einer der neuen Faktoren keine Primzahl ist, faktoriere ihn und schreibe eine neue Zeile. Am Ende bleiben nur Primzahlen übrig.
   • Beispiel: 6 ist keine Primzahl und sollte daher ebenfalls faktorisiert werden. Gleichzeitig ist 2 eine Primzahl, und wir bringen die beiden Zweien auf die nächste Ebene:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Schreiben Sie die letzte Zeile als Produkt von Primfaktoren. Am Ende bleiben nur Primzahlen übrig. Wenn dies geschieht, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen. Die letzte Zeile ist eine Menge von Primzahlen, deren Produkt die ursprüngliche Zahl ergibt.
   • Überprüfe deine Antwort: Multipliziere die Zahlen in der letzten Zeile. Das Ergebnis sollte die Originalnummer sein.
   • Beispiel: Die letzte Zeile des Faktorbaums enthält die Zahlen 2 und 3. Beide Zahlen sind Primzahlen, damit ist die Zerlegung abgeschlossen. Somit hat die Primfaktorzerlegung von 24 die folgende Form: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle. Die Zerlegung kann auch als 2 x 3 x 2 x 2 geschrieben werden.
10. 10 Vereinfachen Sie Ihre Antwort, indem Sie, falls gewünscht, die exponentielle Notation verwenden. Wenn Sie mit der Potenzierung von Zahlen vertraut sind, können Sie die Antwort in einfacherer Form schreiben.Denken Sie daran, dass die Basis unten steht und die hochgestellte Zahl angibt, wie oft diese Basis mit sich selbst multipliziert werden soll.
    • Beispiel: Wie oft kommt die Zahl 2 in der gefundenen Zerlegung 2 x 2 x 2 x 3 vor? Dreimal, also kann der Ausdruck 2 x 2 x 2 als 2 geschrieben werden. In vereinfachter Schreibweise erhalten wir 2x3.

Teil 2 von 2: Verwenden von Primfaktoren

1. 1 Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler (GCD) zweier Zahlen ist die maximale Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Das folgende Beispiel zeigt, wie man die Primfaktorzerlegung verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler von 30 und 36 zu finden.
   • Lassen Sie uns beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Für 30 beträgt die Faktorisierung 2 x 3 x 5. Die Zahl 36 wird wie folgt in Primfaktoren zerlegt: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Finden wir die Zahl, die in beiden Erweiterungen vorkommt. Lassen Sie uns diese Zahl in beiden Listen durchstreichen und in eine neue Zeile schreiben. Zum Beispiel kommt 2 in zwei Erweiterungen vor, also schreiben wir 2 auf einer neuen Linie. Danach haben wir 30 = 2 x 3 x 5 und 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Wiederholen Sie diesen Schritt, bis keine gemeinsamen Faktoren mehr in den Erweiterungen vorhanden sind. Beide Listen enthalten auch die Nummer 3, sodass Sie in eine neue Zeile schreiben können 2 und 3... Vergleichen Sie dann die Erweiterungen erneut: 30 = 2 x 3 x 5 und 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Wie Sie sehen, gibt es keine gemeinsamen Faktoren mehr.
   • Um den größten gemeinsamen Faktor zu finden, ermitteln Sie das Produkt aller gemeinsamen Faktoren. In unserem Beispiel sind dies 2 und 3, also ist der gcd 2 x 3 = 6... Dies ist die größte Zahl, die die Zahlen 30 und 36 gleichmäßig teilt.
2. 2 Mit Hilfe von GCD können Sie Brüche vereinfachen. Wenn Sie vermuten, dass ein Bruch storniert werden kann, verwenden Sie den größten gemeinsamen Faktor. Ermitteln Sie die GCD des Zählers und Nenners mit dem obigen Verfahren. Dann teilen Sie Zähler und Nenner des Bruches durch diese Zahl. Als Ergebnis erhalten Sie den gleichen Bruch in einer einfacheren Form.
   • Vereinfachen wir zum Beispiel den Bruch /₃₆... Wie oben erwähnt, ist die GCD für 30 und 36 6, also teilen wir Zähler und Nenner durch 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen gleichmäßig teilbar ist. Der LCM von 2 und 3 ist beispielsweise 6, da dies die kleinste Zahl ist, die durch 2 und 3 teilbar ist. Unten sehen Sie ein Beispiel für die Ermittlung des LCM mithilfe der Primfaktorzerlegung:
   • Beginnen wir mit zwei Primfaktorzerlegungen. Für 126 kann die Faktorisierung beispielsweise als 2 x 3 x 3 x 7 geschrieben werden. Die Zahl 84 kann als 2 x 2 x 3 x 7 in Primfaktoren zerlegt werden.
   • Vergleichen wir, wie oft jeder Faktor in den Erweiterungen vorkommt. Wählen Sie die Liste aus, in der der Multiplikator so oft vorkommt, und kreisen Sie diese Stelle ein. Zum Beispiel erscheint die Zahl 2 einmal in der Erweiterung für 126 und zweimal in der Liste für 84, also solltest du einkreisen 2 x 2 in der zweiten Faktorenliste.
   • Wiederholen Sie diesen Schritt für jeden Multiplikator. Zum Beispiel ist 3 in der ersten Erweiterung häufiger, also solltest du sie einkreisen 3 x 3... Die Zahl 7 kommt in beiden Listen einmal vor, also kreisen wir ein 7 (in welcher Liste ist es egal, wenn der angegebene Faktor in beiden Listen gleich oft vorkommt).
   • Um den LCM zu finden, multiplizieren Sie alle eingekreisten Zahlen. In unserem Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 126 und 84 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Dies ist die kleinste Zahl, die ohne Rest durch 126 und 84 teilbar ist.
4. 4 Verwenden Sie LCM zum Addieren von Brüchen. Beim Addieren von zwei Brüchen ist es notwendig, sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Finden Sie dazu die LCM der beiden Nenner. Dann multiplizieren Sie Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einer solchen Zahl, dass die Nenner der Brüche gleich der LCM sind. Danach können Sie die Brüche hinzufügen.
   • Zum Beispiel müssen Sie den Betrag /₆ + /₂₁.
   • Mit der obigen Methode können Sie das LCM für 6 und 21 finden. Es ist 42.
   • Wir transformieren den Bruch /₆ so dass der Nenner 42 ist. Dazu musst du 42 durch 6 dividieren: 42 ÷ 6 = 7. Nun multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs mit 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
   • Um den zweiten Bruch auf den Nenner 42 zu bringen, dividiere 42 durch 21: 42 ÷ 21 = 2. Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs mit 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • Nachdem die Brüche auf denselben Nenner reduziert wurden, können sie einfach addiert werden: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Beispiele für Aufgaben

• Versuchen Sie die folgenden Probleme selbst zu lösen.Wenn Sie glauben, die richtige Antwort erhalten zu haben, markieren Sie mit der Maus die Stelle nach dem Doppelpunkt in der Aufgabenstellung. Letztere Aufgaben sind die schwierigsten.
• Finden Sie die Primfaktorzerlegung für 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Schreiben Sie Ihre Antwort in Exponentialform: 2
• Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 45: 3 x 3 x 5
• Schreiben Sie Ihre Antwort in Exponentialform: 3 x 5
• Finden Sie die Primfaktorzerlegung für 34: 2 x 17
• Finden Sie die Primfaktorzerlegung von 154: 2 x 7 x 11
• Finden Sie die Primfaktorzerlegung für 8 und 40 und bestimmen Sie dann ihren größten gemeinsamen Faktor: Die Primfaktorzerlegung von 8 ist 2 x 2 x 2 x 2; die Primfaktorzerlegung von 40 ist 2 x 2 x 2 x 5; GCD von zwei Zahlen 2 x 2 x 2 = 6.
• Finden Sie die Primfaktorzerlegung für 18 und 52 und ermitteln Sie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches: Die Primfaktorzerlegung von 18 ist 2 x 3 x 3; die Primfaktorzerlegung von 52 ist 2 x 2 x 13; Die LCM von zwei Zahlen beträgt 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Tipps

• Jede Zahl hat eine eindeutige Faktorisierungscharakteristik. Es spielt keine Rolle, wie Sie diese Erweiterung finden, Sie sollten die gleiche Antwort erhalten. Dies wird als Grundsatz der Arithmetik bezeichnet.
• Anstatt die Primzahlen jedes Mal in eine neue Zeile des Faktorbaums zu schreiben, können Sie sie an ihrer Stelle belassen und einfach einkreisen. Am Ende der Erweiterung enthält es alle eingekreisten Primfaktoren.
• Überprüfen Sie immer die erhaltene Antwort. Sie können einen Fehler machen und es nicht bemerken.
• Machen Sie sich bereit für knifflige Missionen. Wenn Sie aufgefordert werden, eine Primfaktorzerlegung einer Primzahl zu finden, müssen Sie keine Berechnungen durchführen. Für die Zahl 17 ist die Primfaktorzerlegung beispielsweise 17; diese Zahl kann nicht in andere Primfaktoren zerlegt werden.
• Der größte gemeinsame Faktor und das kleinste gemeinsame Vielfache kann für drei oder mehr Zahlen gefunden werden.

Warnungen

• Mit dem Multiplikatorbaum können Sie nur Primfaktoren bestimmen, nicht alle möglichen Faktoren.