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• Schritte

Eine der wichtigsten Komponenten der Algebra ist das Konzept einer Umkehrfunktion. Die Umkehrung der Funktion wird als f ^ -1 (x) bezeichnet und grafisch als Spiegelung des Graphen der ursprünglichen Funktion relativ zur Geraden y = x dargestellt. In diesem Artikel zeigen wir Ihnen, wie Sie die Umkehrfunktion finden.

Schritte

1. 1 Stellen Sie sicher, dass diese Funktion bijektiv ist. Nur bijektive Funktionen haben Umkehrfunktionen.
   • Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie den Test der vertikalen und horizontalen Linien besteht. Zeichnen Sie eine vertikale Linie durch den Funktionsgraphen und zählen Sie, wie oft die Linie den Funktionsgraphen kreuzt. Ziehen Sie dann eine horizontale Linie durch den Funktionsgraphen und zählen Sie, wie oft die Linie den Funktionsgraphen kreuzt. Wenn jede Gerade den Graphen einer Funktion nur einmal schneidet, dann ist die Funktion bijektiv.
     • Wenn der Graph den vertikalen Linientest nicht besteht, wird er von der Funktion nicht angegeben.
   • Für eine algebraische Definition der Bijektivität einer Funktion setze f (a) und f (b) in diese Funktion ein und bestimme, ob die Gleichheit a = b gilt. Betrachten Sie als Beispiel die Funktion f (x) = 3x + 5.
     • f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
     • 3a + 5 = 3b + 5
     • 3a = 3b
     • a = b
   • Somit ist diese Funktion bijektiv.
2. 2 Vertauschen Sie in dieser Funktion "x" und "y". Denken Sie daran, dass f (x) eine andere Schreibweise für "y" ist.
   • "f (x)" oder "y" ist eine Funktion und "x" ist eine Variable. Um die Umkehrfunktion zu finden, müssen Sie die Funktion und die Variable vertauschen.
   • Beispiel: Betrachten Sie eine Funktion f (x) = (4x + 3) / (2x + 5), die bijektiv ist. Durch Vertauschen von "x" und "y" erhalten Sie x = (4y + 3) / (2y + 5).
3. 3 Finden Sie "y". Löse die neue Gleichung und finde "y".
   • Möglicherweise benötigen Sie algebraische Tricks wie die Multiplikation von Brüchen oder das Faktorisieren, um die Bedeutung eines Ausdrucks zu finden und ihn zu vereinfachen.
   • Lösung zu unserem Beispiel:
     • x = (4y + 3) / (2y + 5)
     • x (2y + 5) = 4y + 3 - den Bruch loswerden. Multiplizieren Sie dazu beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruches (2y + 5).
     • 2xy + 5x = 4y + 3 - Erweitern Sie die Klammern.
     • 2xy - 4y = 3 - 5x - Verschiebe alle Terme mit einer Variablen (in diesem Fall "y") auf eine Seite der Gleichung.
     • y (2x - 4) = 3 - 5x - "y" außerhalb der Halterung platzieren.
     • y = (3 - 5x) / (2x - 4) - Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch (2x-4), um Ihre endgültige Antwort zu erhalten.
4. 4 Ersetzen Sie "y" durch f ^ -1 (x). Dies ist die Umkehrfunktion der ursprünglichen Funktion.
   • Die endgültige Antwort ist f ^ -1 (x) = (3 - 5x) / (2x - 4). Dies ist die Umkehrfunktion für f (x) = (4x + 3) / (2x + 5).