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Geschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit eines Objekts in einer bestimmten Richtung. In vielen Fällen verwenden wir zum Ermitteln der Geschwindigkeit die Gleichung v = s / t, wobei v die Geschwindigkeit ist, s die Gesamtentfernung der Verschiebung des Objekts von seiner ursprünglichen Position ist und t die Zeit ist, die das Objekt benötigt, um sich zu bewegen. den ganzen Weg gehen. Theoretisch gilt diese Formel jedoch nur für die Geschwindigkeit Mittel von Dingen auf dem Weg. Durch Berechnung der Geschwindigkeit des Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt entlang der Entfernung. Das ist Transportzeit und wird durch die Gleichung definiert v = (ds) / (dt)oder mit anderen Worten, es ist die Ableitung der Gleichung für die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Schritte

Teil 1 von 3: Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit

1. 

   
   
   Beginnen Sie mit einer Gleichung zur Berechnung der Geschwindigkeit anhand der Verschiebungsentfernung. Um die momentane Geschwindigkeit zu ermitteln, müssen wir zunächst eine Gleichung haben, die die Position des Objekts (in Bezug auf die Verschiebung) zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt. Das heißt, die Gleichung darf nur eine Variable haben S. auf einer Seite und drehen t auf der anderen Seite (nicht unbedingt nur eine Variable) wie folgt:
   

   s = -1,5 t + 10 t + 4

   • In dieser Gleichung sind die Variablen:

     s = Verschiebung. Die Entfernung, um die sich das Objekt von seiner ursprünglichen Position bewegt hat. Wenn ein Objekt beispielsweise 10 Meter vorwärts und 7 Meter rückwärts laufen kann, beträgt seine Gesamtfahrstrecke 10 - 7 = 3 Meter (nicht 10 + 7 = 17 m).

     t = Zeit. Diese Variable ist ohne Erklärung einfach und wird normalerweise in Sekunden gemessen.

2. 

   
   
   Nehmen Sie die Ableitung der Gleichung. Die Ableitung der Gleichung ist eine andere Gleichung, die die Steigung der Entfernung zu einem bestimmten Zeitpunkt zeigt. Um die Ableitung der Gleichung durch Verschiebungsentfernung zu finden, nehmen Sie das Differential der Funktion gemäß der folgenden allgemeinen Regel, um die Ableitung zu berechnen: Wenn y = a * x, ist Derivat = a * n * x. Dies gilt für alle Terme auf der "t" -Seite der Gleichung.
   • Mit anderen Worten, beginnen Sie, das Differential von links nach rechts auf der "t" -Seite der Gleichung zu erhalten. Immer wenn Sie auf die Variable "t" stoßen, subtrahieren Sie den Exponenten mit 1 und multiplizieren den Term mit dem ursprünglichen Exponenten. Alle konstanten Terme (Terme ohne "t") verschwinden, weil sie mit 0 multipliziert werden. Der Prozess ist tatsächlich nicht so schwierig, wie Sie vielleicht denken - nehmen wir die Gleichung im obigen Schritt als Beispiel:
     

     s = -1,5 t + 10 t + 4
     (2) -1,5 t + (1) 10 t + (0) 4 t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Ersetzen Sie "s" durch "ds / dt". Um zu zeigen, dass die neue Gleichung die Ableitung des ursprünglichen Quadrats ist, ersetzen wir "s" durch das Symbol "ds / dt". Theoretisch ist diese Notation "die Ableitung von s in Bezug auf t". Ein einfacher Weg, diese Notation zu verstehen, ist ds / dt die Steigung eines beliebigen Punktes in der Anfangsgleichung. Um beispielsweise die Steigung des durch die Gleichung s = -1,5 t + 10 t + 4 zum Zeitpunkt t = 5 beschriebenen Abstands zu ermitteln, ersetzen wir t in der Ableitung der Gleichung durch "5".
   • Im obigen Beispiel sieht die Ableitung der Gleichung folgendermaßen aus:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Setzen Sie einen Wert für t in die neue Gleichung ein, um die momentane Geschwindigkeit zu ermitteln. Nachdem wir nun die Ableitungsgleichung haben, ist es sehr einfach, die momentane Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden. Sie müssen lediglich einen t-Wert auswählen und durch die Ableitungsgleichung ersetzen. Wenn wir zum Beispiel die momentane Geschwindigkeit bei t = 5 finden wollen, müssen wir nur t in der Ableitungsgleichung ds / dt = -3t + 10 durch "5" ersetzen. Wir lösen die Gleichung wie folgt:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 Meter / Sekunde

   • Beachten Sie, dass wir die Einheit "Meter / Sekunde" oben verwenden.Da wir das Problem mit der Verschiebung in Metern und der Zeit in Sekunden lösen, wobei die Geschwindigkeit genau die Verschiebung in der Zeit ist, ist diese Einheit geeignet.
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Teil 2 von 3: Momentane Geschwindigkeit grafisch schätzen

1. 

   Zeichnen Sie die Bewegungsentfernung des Objekts über die Zeit. Im obigen Abschnitt haben wir gesagt, dass die Ableitung auch eine Formel ist, die es uns ermöglicht, die Steigung an jedem Punkt in der Gleichung zu finden, der aus der Ableitung entnommen wurde. Wenn Sie die Bewegungsentfernung des Objekts in einem Diagramm anzeigen, Die Steigung des Graphen an einem beliebigen Punkt ist die momentane Geschwindigkeit des Objekts an diesem Punkt.
   • Verwenden Sie zum Zeichnen von Bewegungsentfernungen die x-Achse für die Zeit und die y-Achse für die Verschiebung. Sie bestimmen dann eine Anzahl von Punkten, indem Sie die Werte von t in die Bewegungsgleichung einfügen. Das Ergebnis sind s-Werte, und Sie punktieren die Punkte t, s (x, y) im Diagramm.
   • Beachten Sie, dass sich das Diagramm möglicherweise unterhalb der x-Achse erstreckt. Wenn die Linie, die die Bewegung des Objekts anzeigt, entlang der x-Achse verläuft, bedeutet dies, dass sich das Objekt von seiner ursprünglichen Position rückwärts bewegt. Im Allgemeinen erstreckt sich der Graph nicht hinter die y-Achse - normalerweise messen wir nicht die Geschwindigkeit von Objekten, die sich in der Zeit zurückbewegen!

2. 

   Wählen Sie einen Punkt P und einen Punkt Q aus, die sich in der Nähe von Punkt P im Diagramm befinden. Um die Steigung des Graphen am Punkt P zu ermitteln, verwenden wir die Technik der "Grenzwertsuche". Das Finden einer Grenze bedeutet, zwei Punkte (P und Q (ein Punkt in der Nähe von P)) auf der Kurve zu nehmen und die Steigung der Linie zu finden, die diese beiden Punkte verbindet, und diesen Vorgang zu wiederholen, wenn sich der Abstand zwischen P und Q verkürzt. allmählich.
   • Angenommen, der Verschiebungsabstand hat die Punkte (1; 3) und (4; 7). In diesem Fall können wir setzen, wenn wir die Steigung bei (1; 3) finden wollen (1; 3) = P. und (4; 7) = Q..

3. 

   Finden Sie die Steigung zwischen P und Q. Die Steigung zwischen P und Q ist die Differenz der y-Werte für P und Q über die Differenz der x-Werte für P und Q. Mit anderen Worten, H = (y_Q. - y_P.) / (x_Q. - x_P.), wobei H die Steigung zwischen zwei Punkten ist. In diesem Beispiel beträgt die Steigung zwischen P und Q:
   

   H = (y_Q. - y_P.) / (x_Q. - x_P.)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Wiederholen Sie dies mehrmals, indem Sie Q näher an P heranrücken. Ziel ist es, den Abstand zwischen P und Q zu verringern, bis sie einen einzelnen Punkt erreichen. Je kleiner der Abstand zwischen P und Q ist, desto näher ist die Steigung des unendlich kleinen Segments an der Steigung am Punkt P. Wiederholen Sie dies für unsere Beispielgleichung einige Male unter Verwendung der Punkte (2; 4) , 8), (1,5; 3,95) und (1,25; 3,49) ergeben Q und die Anfangskoordinaten von P sind (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95-3) / (1,5-1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49-3) / (1,25-1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Schätzt die Steigung des extrem kleinen Segments in der Diagrammkurve. Wenn Q näher und näher an P kommt, nähert sich H allmählich der Steigung bei P. Schließlich ist H bei einer sehr kleinen Linie die Steigung bei P. Weil wir nicht messen oder berechnen können Die Länge einer Linie ist extrem klein, daher schätzen Sie die Steigung bei P nur, wenn sie von den von uns berechneten Punkten aus deutlich sichtbar ist.
   • Wenn wir im obigen Beispiel H näher an P bringen, haben wir die Werte für H von 1,8; 1,9 und 1,96. Da sich diese Zahlen 2 nähern, können wir sagen 2 ist der ungefähre Wert der Steigung bei P.
   • Denken Sie daran, dass die Steigung an einem beliebigen Punkt des Diagramms die Ableitung der Diagrammgleichung an diesem Punkt ist. Da das Diagramm die zeitliche Verschiebung eines Objekts zeigt, wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, ist seine momentane Geschwindigkeit an jedem Punkt die Ableitung der Verschiebungsentfernung des Objekts am Problempunkt. Zugang, können wir sagen 2 Meter / Sek ist eine ungefähre Schätzung der momentanen Geschwindigkeit, wenn t = 1 ist.
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Teil 3 von 3: Beispielproblem

1. 

   Finden Sie die momentane Geschwindigkeit, wenn t = 1 ist, mit der Verschiebungsgleichung s = 5t - 3t + 2t + 9. Wie das Beispiel im ersten Abschnitt, aber dies ist eine kubische statt eine quadratische, so dass wir das Problem auf die gleiche Weise lösen können.
   • Nehmen Sie zunächst die Ableitung der Gleichung:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Dann ersetzen wir den Wert von t (4) in:
     

     s = 15 t - 6 t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 Meter pro Sekunde

2. 

   Verwenden Sie die Graphschätzmethode, um die momentane Geschwindigkeit bei (1; 3) für die Verschiebungsgleichung s = 4t - t zu ermitteln. Für dieses Problem verwenden wir die Koordinaten (1; 3) als Punkt P, müssen jedoch andere Q-Punkte in der Nähe finden. Dann müssen wir nur noch die H-Werte finden und den geschätzten Wert ableiten.
   • Zuerst finden wir Q Punkte, wenn t = 2; 1,5; 1.1 und 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, also Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, also Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, also Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, das war's Q = (1,01; 3,0704)

   • Als nächstes erhalten wir H-Werte:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74-3) / (1,1-1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Da die H-Werte näher an 7 zu liegen scheinen, können wir das sagen 7 Meter pro Sekunde ist eine ungefähre Schätzung der momentanen Geschwindigkeit an der Koordinate (1; 3).
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Rat

• Um die Beschleunigung (Änderung der Geschwindigkeit über die Zeit) zu ermitteln, verwenden Sie die Methode in Teil 1, um die Ableitung der Verschiebungsgleichung zu erhalten. Nehmen Sie dann die Ableitung erneut für die soeben gefundene Ableitungsgleichung. Das Ergebnis ist, dass Sie eine Gleichung für die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt haben - alles, was Sie tun müssen, ist die Einsteckzeit.
• Die Gleichung, die die Beziehung zwischen Y (Verschiebungsentfernung) und X (Zeit) zeigt, kann sehr einfach sein, da Y = 6x + 3. In diesem Fall ist die Steigung konstant und muss nicht genommen werden die Ableitung zur Berechnung der Steigung, dh sie folgt der Grundgleichungsform Y = mx + b für einen linearen Graphen, dh die Steigung ist gleich 6.
• Die Verschiebungsentfernung ist wie die Entfernung, hat jedoch eine Richtung, ist also eine Vektorgröße und die Geschwindigkeit ist eine skalare Größe. Fahrstrecken können negativ sein, während Entfernungen nur positiv sein können.