Finden Sie äquivalente Brüche - Tipps

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Schritte
Rat
Warnung

Zwei Brüche werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie denselben Wert haben. Zu wissen, wie man einen Bruch in seine äquivalenten Formen umwandelt, ist eine wesentliche mathematische Fähigkeit für alles, von der grundlegenden Algebra bis zur fortgeschrittenen Mathematik. In diesem Artikel werden verschiedene Methoden zur Berechnung äquivalenter Brüche von der einfachen Multiplikation und Division bis hin zu komplexeren Methoden zur Lösung von Gleichungen mit äquivalenten Brüchen vorgestellt.

Schritte

Methode 1 von 5: Äquivalente Brüche erstellen

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Per Definition haben zwei verschiedene, aber äquivalente Brüche den Zähler und den Nenner sind Vielfache voneinander. Mit anderen Worten ergibt das Multiplizieren des Zählers und Nenners eines Bruchs mit derselben Zahl einen äquivalenten Bruch. Obwohl die Zahlen für die neuen Brüche unterschiedlich sind, haben sie dieselben Werte.
- Wenn wir zum Beispiel den Bruch 4/8 nehmen und sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 2 multiplizieren, erhalten wir (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Diese beiden Fraktionen sind äquivalent.
- (4 × 2) / (8 × 2) ist genau das gleiche wie 4/8 × 2/2. Denken Sie daran, dass wir, wenn wir zwei Brüche multiplizieren, horizontal multiplizieren, d. H. Den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.
- Beachten Sie, dass 2/2 gleich 1 ist, wenn Sie die Division durchführen. Daher ist leicht zu erkennen, warum 4/8 und 8/16 gleich sind, da 4/8 × (2/2) immer noch = 4/8 ist. Ebenso 4/8 = 8/16.
- Jede Fraktion hat unendlich viele äquivalente Fraktionen. Sie können Zähler und Nenner mit einer beliebigen großen oder kleinen Ganzzahl multiplizieren, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten.
Teilen Sie den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl. Wie die Multiplikation wird auch die Division verwendet, um einen neuen Bruch zu finden, der dem ursprünglichen Bruch entspricht. Teilen Sie einfach den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten. Für den erhaltenen Bruch müssen jedoch sowohl der Zähler als auch die Stichprobe ganze Zahlen sein.
- Schauen Sie sich zum Beispiel den Bruch 4/8 an. Anstatt zu multiplizieren, teilen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 2, wir haben (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 und 4 sind beide ganze Zahlen, daher ist dieser äquivalente Bruch gültig.
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Methode 2 von 5: Verwenden der Basismultiplikation zur Bestimmung der Äquivalenz

Finden Sie die Zahl, in der der größere Nenner mit dem kleineren Nenner multipliziert wird. Bei vielen Fraktionsproblemen muss festgestellt werden, ob zwei Fraktionen gleich sind oder nicht. Durch Berechnung dieser Zahl können Sie die Brüche auf denselben Term zurücksetzen, um die Äquivalenz zu bestimmen.
- Rufen Sie beispielsweise die Fraktionen 4/8 und 8/16 ab. Der kleinere Nenner ist 8, und wir müssen diese Zahl mit 2 multiplizieren, um den größeren Nenner von 16 zu erhalten. Die in diesem Fall zu suchende Zahl ist also 2.
- Für komplexere Zahlen müssen Sie nur den großen Nenner durch den kleinen Nenner teilen. Im obigen Beispiel 16 geteilt durch 8 ist das Ergebnis 2.
- Diese Zahl ist nicht immer eine ganze Zahl. Wenn zum Beispiel die Nenner 2 und 7 sind, ist 7 geteilt durch 2 gleich 3,5.
Der Zähler und der Nenner des Bruchs werden im unteren Term mit der im obigen Schritt angegebenen Zahl ausgedrückt. Per Definition existieren zwei verschiedene, aber äquivalente Brüche Der Zähler und der Nenner sind Vielfache voneinander. Mit anderen Worten ergibt das Multiplizieren des Zählers und Nenners eines Bruchs mit derselben Zahl einen äquivalenten Bruch. Obwohl die Zahlen in diesem neuen Bruch unterschiedlich sind, sind ihre Werte gleich.
- Wenn wir zum Beispiel den Bruch 4/8 aus Schritt eins nehmen und sowohl den Zähler als auch die Stichprobe mit der zuvor angegebenen Zahl 2 multiplizieren, haben wir (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Das beweist, dass diese beiden Fraktionen äquivalent sind.
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Methode 3 von 5: Verwenden der Basisdivision zur Bestimmung der Äquivalenz

Teilen Sie jeden Bruch in eine Dezimalzahl. Bei einfachen Brüchen ohne Variablen müssen Sie nur jeden Bruch als Dezimalzahl darstellen, um die Äquivalenz zu bestimmen. Da jeder Bruch im Wesentlichen eine Division ist, ist dies der einfachste Weg, um die Äquivalenz zu bestimmen.
- Nehmen Sie zum Beispiel den obigen Bruch 4/8. Der Bruch 4/8 ist gleich 4 geteilt durch 8, 4/8 = 0,5. Sie können diesen Bruch so teilen, 8/16 = 0,5. Unabhängig vom Format der Brüche sind sie äquivalent, wenn die beiden Zahlen in Dezimalzahlen gleich sind.
- Denken Sie daran, dass die Dezimaldarstellung viele Ziffern erzeugen kann, bevor Sie zu dem Schluss kommen, dass sie nicht gleichwertig sind. Ein grundlegendes Beispiel ist 1/3 = 0,333… während 3/10 = 0,3. Nur mehr als eine Ziffer stellen wir fest, dass diese beiden Brüche nicht äquivalent sind.
Teilen Sie den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten. Für komplexere Brüche erfordert diese Teilungsmethode zusätzliche Schritte. Wie bei der Multiplikation können Sie den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl teilen, um einen äquivalenten Bruch zu erhalten. Für den erhaltenen Bruch müssen jedoch sowohl der Zähler als auch die Stichprobe ganze Zahlen sein.
- Bruchbeispiel 4/8. Anstatt zu multiplizieren, sind wir es Aktie Sowohl der Zähler als auch der Nenner ergeben 2, wir erhalten (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 und 4 sind beide ganze Zahlen, daher ist dieser äquivalente Bruch gültig.
Reduzieren Sie den Anteil auf seine minimale Form. Die meisten Brüche werden normalerweise in minimaler Form ausgedrückt, und Sie können sie in ihre minimale Form zurückversetzen, indem Sie durch den größten gemeinsamen Faktor des Zählers und der Stichprobe dividieren. Dieser Schritt funktioniert nach der gleichen Logik, äquivalente Brüche darzustellen, indem sie in denselben Nenner konvertiert werden. Bei dieser Methode muss jedoch jeder Bruch auf seine minimale Form reduziert werden.
- Wenn ein Bruch in seiner Minimalform vorliegt, sind der Zähler und sein Nenner so klein wie möglich. Sie können sie nicht durch eine Ganzzahl teilen, um eine kleinere Zahl zu erhalten. Um einen Bruch in seine Minimalform umzuwandeln, teilen wir Zähler und Nenner durch größter gemeinsamer Teiler.
- Der größte gemeinsame Faktor des Zählers und des Nenners ist die maximale Anzahl, durch die sie teilbar sind. Also, im Beispiel 4/8, weil 4 ist die größte Zahl, durch die sowohl 4 als auch 8 teilbar sind, teilen wir den Zähler und den Nenner dieses Bruchs durch 4, um die vereinfachte Form zu erhalten. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. In einem anderen Beispiel 8/16 ist GCF 8, das Ergebnis ist ebenfalls 1/2.
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Methode 4 von 5: Verwenden der Kreuzmultiplikation zur Lösung des Variablenproblems

Setze zwei Brüche gleich. Wir verwenden die Kreuzmultiplikation für Probleme, bei denen wir wissen, dass Brüche äquivalent sind, aber eine der Zahlen durch die Variable (normalerweise x) ersetzt wurde, die wir lösen müssen, um das Problem zu finden. In solchen Fällen ist die Kreuzmultiplikation eine schnelle Methode.
Nehmen Sie zwei äquivalente Brüche und kreuzen Sie sie mit einem "X". Mit anderen Worten, Sie multiplizieren den Zähler eines Bruchs mit dem Nenner des anderen und umgekehrt, setzen diese beiden Ergebnisse gleich und lösen das Problem.
- Nehmen Sie zwei Beispiele, 4/8 und 8/16. Diese beiden Brüche enthalten keine Variablen, aber wir können beweisen, dass sie äquivalent sind. Durch Kreuzmultiplikation erhalten wir 4 x 16 = 8 x 8 oder 64 = 64, was offensichtlich richtig ist. Wenn die beiden Zahlen nicht gleich sind, sind die Brüche nicht äquivalent.
Geben Sie die Variablen ein. Da Kreuzmultiplikation der einfachste Weg ist, äquivalente Brüche zu bestimmen, wenn Sie das Problem des Findens von Variablen lösen müssen, fügen Sie Variablen hinzu.
- Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Gleichung 2 / x = 10/13. Um die Multiplikation zu kreuzen, multiplizieren wir 2 mit 13 und 10 mit x und setzen diese beiden Ergebnisse gleich:
  - 2 × 13 = 26
  - 10 × x = 10x
  - 10x = 26. Durch einfache algebraische Methoden können wir die Variable x = 26/10 = finden 2.6dann sind die ersten beiden äquivalenten Fraktionen 2 / 2,6 = 10/13.
Verwenden Sie die Kreuzmultiplikation für Gleichungen mit mehreren Variablen oder Variablenausdrücken. Eines der coolsten Dinge bei der Kreuzmultiplikation ist, dass die Lösung genau dieselbe ist, unabhängig davon, ob Sie zwei einfache Brüche (wie oben) oder komplexere Brüche haben. Wenn beispielsweise beide Brüche Variablen enthalten, entfernen Sie diese einfach im letzten Schritt des Problemlösungsprozesses. Wenn die Zähler und Nenner von Brüchen variable Ausdrücke enthalten (z. B. x + 1), multiplizieren Sie sie einfach und lösen Sie sie wie gewohnt.
- Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Gleichung ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Wie oben lösen wir durch Kreuzmultiplikation zweier Brüche:
  - (x + 3) × 4 = 4x + 12
  - (x + 1) × 2 = 2x + 2
  - 2x + 2 = 4x + 12, subtrahieren Sie die Seiten für 2x
  - 2 = 2x + 12, um die Variable zu trennen, subtrahieren wir die Seiten von 12
  - -10 = 2x und dividiere die Seiten durch 2, um x zu finden
  - -5 = x
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Methode 5 von 5: Verwenden einer quadratischen Lösung zum Lösen variabler Gleichungen

Kreuzen Sie zwei Brüche. Für Äquivalenzprobleme, die die Verwendung quadratischer Lösungen erfordern, verwenden wir zunächst die Kreuzmultiplikation. Bei jeder Kreuzmultiplikation kann jedoch der Term, der eine Variable enthält, mit dem Term multipliziert werden, der eine andere Variable enthält. Dies kann zu einem Ausdruck führen, der mit der algebraischen Methode nicht einfach gelöst werden kann. In solchen Fällen müssen Sie Techniken wie Faktorisierung und / oder quadratische Formeln verwenden.
- Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Gleichung ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Schritt 1, wir kreuzen multiplizieren:
  - (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x - 2x - 2 = 2x - 2
  - 4 × 3 = 12
  - 2x - 2 = 12.
Drücken Sie die Gleichung als quadratische Gleichung aus. Wir müssen nun die Gleichung in quadratischer Form (ax + bx + c = 0) darstellen, wobei wir die Gleichung auf Null setzen. In diesem Fall subtrahieren wir beide Seiten um 12, um 2x zu erhalten - 14 = 0.
- Einige Werte können Null sein. Obwohl 2x - 14 = 0 die einfachste Form der Gleichung ist, ist ihr Quadrat tatsächlich 2x + 0x + (-14) = 0. Es sollte bei der Reflexion helfen. Korrigieren Sie die Form einer quadratischen Gleichung, auch wenn einige Werte 0 sind.
Lösen Sie eine Gleichung, indem Sie die bekannten Koeffizienten in die Lösungsformel einfügen. Die quadratische Formel (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) hilft uns, das Problem zu lösen, x an diesem Punkt zu finden. Hab keine Angst, denn die Formel scheint lang zu sein. Nehmen Sie einfach die Werte aus der quadratischen Gleichung in Schritt 2 und ersetzen Sie sie an ihren jeweiligen Positionen, bevor Sie sie lösen.
- x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. In der Gleichung ist 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 und c = -14.
- x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
- x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10,58 / 4)
- x = +/- 2.64
Überprüfen Sie Ihre Antworten, indem Sie das x wieder in Ihre quadratische Gleichung einfügen. Indem Sie das gefundene x ab Schritt 2 wieder in Ihre quadratische Gleichung einsetzen, können Sie leicht feststellen, ob Ihre Antwort wahr oder falsch ist. In diesem Beispiel würden Sie sowohl 2,64 als auch -2,64 in der ursprünglichen quadratischen Gleichung ersetzen. Werbung

Rat

Das Konvertieren von Brüchen in gleichwertige Brüche ist eigentlich die Form des Multiplizierens mit 1. Wenn wir 1/2 in 2/4 konvertieren, multiplizieren wir tatsächlich Zähler und Nenner mit 2 oder multiplizieren. 1/2 mit 2/2, was 1 entspricht.
Falls gewünscht, konvertieren Sie die gemischte Zahl in einen unregelmäßigen Bruch, um die Konvertierung zu vereinfachen. Offensichtlich ist nicht jeder Bruchteil, auf den Sie stoßen, so einfach zu konvertieren wie unser 4/8-Beispiel oben. Zum Beispiel können gemischte Zahlen (zum Beispiel 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 usw.) den Übergang etwas komplizierter machen. Wenn Sie eine gemischte Zahl in einen äquivalenten Bruch konvertieren müssen, haben Sie zwei Möglichkeiten: Konvertieren Sie die gemischte Zahl in einen unregelmäßigen Bruch und konvertieren Sie sie dann wie gewohnt. oder Behalte die gemischte Zahl und betrachte die gemischte Zahl als Antwort.
- Um einen unregelmäßigen Bruch umzuwandeln, multiplizieren Sie den ganzzahligen Teil der gemischten Zahl mit dem Nenner des Bruchs und addieren Sie ihn dann zum Zähler. Zum Beispiel ist 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Falls gewünscht, können Sie dann nach Bedarf in äquivalente Brüche konvertieren. Zum Beispiel 5/3 × 2/2 = 10/6, was immer noch gleich 1 2/3 ist.
- Wir müssen jedoch nicht wie oben in den unregelmäßigen Bruch umrechnen. Ignorieren Sie den ganzzahligen Teil, konvertieren Sie nur den Bruchteil und fügen Sie dann den ganzzahligen Teil wieder zum konvertierten Bruchteil hinzu. Zum Beispiel werden wir für 3 4/16 nur 4/16 betrachten. 4/16 & dividieren; 4/4 = 1/4. Wenn wir den ganzzahligen Teil wieder hinzufügen, haben wir die neue gemischte Zahl 3 1/4.

Warnung

Multiplikation und Division werden verwendet, um äquivalente Brüche zu erzeugen, da das Multiplizieren und Dividieren mit der Bruchform der Zahl 1 (2/2, 3/3 usw.) per Definition keinen Einfluss auf die Bruchwerte hat. Original. Addition und Subtraktion machen das nicht.
Obwohl Sie den Nenner und den Nenner beim Multiplizieren von Brüchen multiplizieren, können Sie den Nenner beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen nicht addieren oder subtrahieren.
- Wie im obigen Beispiel sehen wir, dass 4/8 ÷ 4/4 = 1/2 ist. Wenn stattdessen ich Plus für 4/4 wird die Antwort völlig anders sein. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 gut 3/2, keine Antwort ist gleich 4/8.