Berechnen Sie die Kubikwurzeln von Hand

Video: Kubikwurzel ziehen (3. Wurzel ziehen) - einfach erklärt | Lehrerschmidt

Inhalt

Schreiten
Teil 1 von 3: Ausarbeitung einer Beispielaufgabe
Teil 2 von 3: Finden der Kubikwurzel durch wiederholtes Schätzen
Tipps
Warnungen
Notwendigkeiten

Mit einem Taschenrechner kann die Kubikwurzel einer beliebigen Zahl nur durch Drücken einiger Tasten berechnet werden. Aber vielleicht haben Sie keinen Taschenrechner oder möchten Ihre Freunde mit Ihrer Fähigkeit beeindrucken, eine Kubikwurzel freihändig zu erarbeiten. Es gibt eine Methode, die auf den ersten Blick etwas schwierig aussieht, aber mit ein wenig Übung sehr einfach funktioniert. Es ist nützlich, einige Kenntnisse auf dem Gebiet der arithmetischen Fähigkeiten und der Berechnung von kubischen Zahlen zu haben.

Schreiten

Teil 1 von 3: Ausarbeitung einer Beispielaufgabe

Erstellen Sie das Problem. Das Lösen der Kubikwurzel einer Zahl sieht aus wie das Lösen einer langen Division, mit einigen Unterschieden hier und da. Der erste Schritt besteht darin, die Anweisung korrekt aufzuschreiben.
- Notieren Sie sich die Zahl, für die Sie die Kubikwurzel bestimmen möchten. Schreiben Sie die Zahlen in Dreiergruppen, wobei das Komma der Ausgangspunkt ist. In diesem Beispiel bestimmen Sie die Kubikwurzel von 10. Schreiben Sie dies als 10.000000. Die Nullen werden für die Genauigkeit der Antwort benötigt.
- Zeichnen Sie eine Kubikwurzel über die Zahl. Dies dient dem gleichen Zweck wie die Linie in langer Teilung. Der einzige Unterschied ist die Form des Symbols.
- Platzieren Sie ein Komma über der Linie, direkt über dem Komma in der ursprünglichen Nummer.
Kennen Sie die Würfel der Einheiten. Sie werden diese in Ihren Berechnungen verwenden. Es handelt sich um folgende dritte Befugnisse:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Bestimmen Sie die erste Ziffer Ihrer Antwort. Wählen Sie eine Zahl aus, die für den Würfel das größtmögliche Ergebnis liefert, das kleiner als der erste Satz von drei Zahlen ist.
  - In diesem Beispiel ist der erste Satz von drei miteinander multiplizierten Zahlen gleich 10. Suchen Sie den größten Würfel, der kleiner als 10 ist. Das ist 8, und seine Kubikwurzel ist 2.
  - Schreiben Sie die Zahl 2 über die Quadratwurzel, über die Zahl 10. Notieren Sie den Wert von 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Nehmen Sie das Setup für die nächste Ziffer vor. Schreiben Sie die nächste Gruppe von drei Zahlen in den Rest und zeichnen Sie eine kurze vertikale Linie links von der resultierenden Zahl. Dies ist die Zahl, mit der wir die nächste Ziffer in der Lösung Ihrer Kubikwurzel bestimmen. In diesem Beispiel wird dies zu 2000, das aus dem Rest 2 der vorherigen Subtraktionssumme mit der Gruppe von drei Nullen erstellt wird, die Sie notiert haben.
    - Schreiben Sie links von der vertikalen Linie die Lösung des nächsten Divisors als Summe von drei separaten Zahlen. Geben Sie die leeren Stellen für diese Zahlen an, indem Sie drei leere Stellen mit Pluszeichen darunter unterstreichen.
  - Finde den Anfang des nächsten Divisors. Schreiben Sie für den ersten Teil des Divisors das Dreihundertfache des Quadrats von allem, was über dem Quadratwurzelzeichen liegt. In diesem Fall ist es 2; 2 ^ 2 ist 4 und 4 * 300 = 1200. Schreiben Sie also Ihre 1200 in die erste Leerstelle. Der Divisor für diesen Schritt der Lösung wird 1200 plus etwas anderes, das Sie in einem Moment berechnen werden.
  - Suchen Sie die nächste Nummer in Ihrer Kubikwurzel. Finden Sie die nächste Ziffer Ihrer Lösung, indem Sie auswählen, was Sie mit dem Divisor multiplizieren können (1200 und etwas anderes), und subtrahieren Sie sie dann vom Rest des Jahres 2000. Dies kann nur 1 sein, da 2 mal 1200 gleich 2400 ist, was größer als ist 2000. Schreiben Sie die Nummer 1 in das nächste Feld über dem Quadratwurzelzeichen.
  - Finde den Rest des Divisors. Der Teiler in diesem Schritt der Lösung besteht aus drei Teilen. Der erste Teil ist der 1200, den Sie bereits haben. Sie müssen jetzt zwei weitere Begriffe hinzufügen, um den Divisor zu vervollständigen.
    - Berechnen Sie nun 3 mal 10 mal jede der beiden Ziffern in Ihrer Lösung über dem Quadratwurzelzeichen. Für diese einfache Übung bedeutet dies 3 * 10 * 2 * 1, was 60 entspricht. Addieren Sie dies zu den 1200, die Sie bereits hatten, und Sie erhalten 1260.
    - Fügen Sie zum Schluss das Quadrat der letzten Ziffer hinzu. In diesem Beispiel ist es 1; und 1 ^ 2 ist immer noch 1. Der Gesamtteiler ist also 1200 + 60 + 1 oder 1261. Schreiben Sie dies links von der vertikalen Linie.
  - Multiplizieren und subtrahieren. Runden Sie diesen Teil der Lösung ab, indem Sie die letzte Ziffer Ihrer Lösung - in diesem Fall die Zahl 1 - mit dem soeben berechneten Divisor multiplizieren (1261). 1 * 1261 = 1261. Schreiben Sie dies unter 2000 und subtrahieren Sie 1261, um 739 zu erhalten.
  - Entscheiden Sie sich für eine genauere Antwort. Nachdem Sie die Subtraktion jedes Schritts abgeschlossen haben, sollten Sie überprüfen, ob Ihre Antwort genau genug ist. Für die Kubikwurzel von 10 war nach der ersten Minus-Summe die Kubikwurzel nur 2, was nicht wirklich genau ist. Jetzt, nach der zweiten Runde, ist die Lösung 2.1.
    - Sie können die Genauigkeit dieses Ergebnisses mithilfe des Cubes überprüfen: 2.1 * 2.1 * 2.1. Das Ergebnis ist 9.261.
    - Wenn Sie der Meinung sind, dass das Ergebnis genau genug ist, können Sie aufhören. Wenn Sie eine genauere Antwort wünschen, müssen Sie eine weitere Runde durchlaufen.
  - Bestimmen Sie den Teiler für die nächste Runde. In diesem Fall wiederholen Sie die Schritte für eine weitere Runde wie folgt, um mehr Übung und eine genauere Antwort zu erhalten:
    - Bringen Sie die nächste Gruppe von drei Zahlen herunter. In diesem Fall sind dies drei Nullen, die nach dem Rest 739 kommen, um 739.000 zu bilden.
    - Beginnen Sie den Divisor mit dem 300-fachen des Quadrats der Zahl, die sich derzeit über dem Quadratwurzelzeichen befindet. Das ist 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Multiplizieren Sie den Divisor mit dem Ergebnis. Nachdem Sie den Divisor in dieser nächsten Runde berechnet und Ihre Lösung um eine weitere Ziffer erweitert haben, gehen Sie wie folgt vor:
      - Multiplizieren Sie den Divisor mit der letzten Ziffer Ihrer Lösung. 135.475 * 5 = 677.375.
      - Subtrahieren. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Überlegen Sie, ob die Lösung 2.15 genau genug ist. Berechnen Sie den Würfel davon und Sie werden erhalten ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Schreiben Sie Ihre endgültige Antwort auf. Das Ergebnis über der Quadratwurzel ist die Kubikwurzel mit einer Genauigkeit von drei signifikanten Stellen. In diesem Beispiel entspricht die Kubikwurzel von 10 2,15. Überprüfen Sie dies, indem Sie 2,15 ^ 3 = 9,94 berechnen, die auf 10 aufgerundet werden können. Wenn Sie eine genauere Antwort benötigen, tun Sie dies so lange, bis Sie zufrieden sind.

Teil 2 von 3: Finden der Kubikwurzel durch wiederholtes Schätzen

Verwenden Sie kubische Zahlen, um die oberen und unteren Grenzen festzulegen. Wenn Sie nach der Kubikwurzel einer bestimmten Zahl gefragt werden, wählen Sie zunächst einen Würfel aus, der so nah wie möglich daran liegt, ohne größer als Ihre Zielzahl zu sein.
- Wenn Sie beispielsweise die Kubikwurzel von 600 finden möchten, denken Sie daran (oder verwenden Sie einen Würfelwürfel) 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Schätzen Sie die nächste Ziffer. Sie löschen die erste Ziffer durch Kenntnis bestimmter kubischer Zahlen. Schätzen Sie für die nächste Ziffer eine Zahl zwischen 0 und 9, basierend darauf, wo Ihre Zielzahl zwischen den beiden Grenzwerten liegt.
  - Im Beispielproblem liegt 600 (Ihre Zielnummer) ungefähr in der Mitte zwischen den Grenzwerten 512 und 729. Sie wählen also 5 als Ihre nächste Nummer.
- Testen Sie Ihre Schätzung, indem Sie den Würfel bestimmen. Multiplizieren Sie die Schätzung, mit der Sie gerade arbeiten, um herauszufinden, wie nahe Sie an der Zielzahl sind.
  - In diesem Beispiel multiplizieren Sie 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Passen Sie Ihre Schätzung nach Bedarf an. Überprüfen Sie das Ergebnis anhand Ihrer Zielzahl, nachdem Sie den Würfel Ihrer letzten Vermutung erhöht haben. Wenn das Ergebnis größer als das Ziel ist, sollte Ihre Schätzung kleiner sein. Wenn das Ergebnis unter dem Ziel liegt, müssen Sie es nach oben anpassen, bis Sie das Ziel erreichen.
    - Zum Beispiel in dieser Aussage 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Schätzen Sie die nächste Ziffer für eine genauere Antwort. Fahren Sie mit diesem Verfahren fort, indem Sie die Zahlen von 0 bis 9 schätzen, bis Ihre Antwort so genau ist, wie Sie möchten. Vor jeder Schätzrunde überprüfen Sie zunächst die Position Ihrer letzten Berechnung zwischen den Grenznummern.
      - In dieser Beispielübung zeigt Ihre letzte Berechnungsrunde dies ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ Fahren Sie mit dem Schätzen und Anpassen fort. Tun Sie dies so oft wie nötig, erhöhen Sie Ihre Vermutung auf Kubikkraft und sehen Sie, wie sie mit der Zielzahl verglichen wird. Suchen Sie nach Zahlen, die direkt unter oder knapp über der Zielnummer liegen.
        In dieser Beispielübung werden Sie dies zunächst notieren ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Fahren Sie fort, bis Sie die gewünschte Genauigkeit erreicht haben. Fahren Sie mit dem Schätzen, Vergleichen und erneuten Schätzen so lange fort, bis Ihre Lösung so genau ist, wie Sie es möchten. Beachten Sie, dass Ihre Zielzahlen mit jeder Dezimalstelle immer näher an die tatsächliche Zahl heranrücken.
        Für das Beispiel der Kubikwurzel von 600 sind Sie unter der Annahme von zwei Dezimalzahlen um 8,43 weniger als 1 von der Zielzahl entfernt. Wenn Sie mit drei Dezimalstellen fortfahren, werden Sie das sehen ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$ Überprüfen Sie Newtons Binomium. Um zu verstehen, warum dieser Algorithmus zur Bestimmung von Kubikwurzeln funktioniert, müssen Sie zunächst daran denken, wie der Kubik als Binomial aussieht. Sie haben dies wahrscheinlich in der Mathematik der High School gelernt (und wie die meisten Menschen haben Sie dies wahrscheinlich schnell vergessen). Wählen Sie zwei Variablen aus ${ displaystyle A}$ Schreiben Sie das Binom in kubischer Form. Wir arbeiten jetzt rückwärts, indem wir zuerst den Cube bestimmen und dann untersuchen, warum die Cube-Root-Lösung funktioniert. Wir brauchen die Werte von ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Kennen Sie die Bedeutung der langen Teilung. Beachten Sie, dass die Kubikwurzelmethode genauso funktioniert wie eine lange Division. In der langen Division sehen Sie, dass zwei Faktoren, die miteinander multipliziert werden, die Zahl ergeben, mit der Sie begonnen haben. Bei dieser Berechnung ist die gesuchte Zahl (die Zahl, die schließlich über der Quadratwurzel erscheint) die Kubikwurzel. Das heißt, es entspricht dem Term (10A + B). Das tatsächliche A und B sind jetzt irrelevant, solange Sie die Beziehung zur Antwort verstehen.
        Zeigen Sie die erweiterte Version an. Wenn Sie sich Newtons Binomium ansehen, können Sie sehen, warum der Kubikwurzel-Algorithmus korrekt ist. Sehen Sie, wie der Divisor in jedem Schritt des Algorithmus der Summe der vier Terme entspricht, die Sie berechnen und addieren müssen. Diese Begriffe ergeben sich wie folgt:
        Der erste Term enthält ein Vielfaches von 1000. Sie wählen zuerst eine Zahl, die zum Würfel angehoben werden kann und dennoch als erste Zahl im Bereich der langen Division bleibt. Dies ergibt den Begriff 1000A ^ 3 im Binomial.
        Der zweite Term von Newtons Binomium hat 300 als Koeffizienten. (Das kommt von ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Die Genauigkeit der Uhr wächst. Wenn Sie eine lange Teilung ausarbeiten, gibt jeder Schritt, den Sie ausführen, Ihrer Antwort eine große Genauigkeit. Das in diesem Artikel beschriebene Beispielproblem besteht beispielsweise darin, die Kubikwurzel von 10 zu bestimmen. Im ersten Schritt lautet die Lösung 2, weil ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ kommt nahe, ist aber weniger als 10. In der Tat hält es ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Nach der zweiten Runde lautet Ihre Lösung 2.1. Sobald Sie dies herausgefunden haben, werden Sie bekommen ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9,261}$ , was dem gewünschten Ergebnis viel näher kommt (10). Nach der dritten Runde haben Sie 2.15, was Ihnen gibt ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Arbeiten Sie weiter in Dreiergruppen und Sie erhalten eine so genaue Antwort, wie Sie möchten.

Tipps

Wie alles andere werden sich Ihre mathematischen Fähigkeiten mit der Übung verbessern. Je mehr Sie üben, desto besser können Sie diese Art von Berechnungen durchführen.