Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 3: Bestimmen Sie die Fläche anhand der Seiten und des Apothems
• Methode 2 von 3: Bestimmung der Fläche anhand der Länge einer Seite
• Methode 3 von 3: Verwenden einer Formel
• Tipps

Ein Fünfeck ist ein Polygon mit fünf geraden Seiten. Fast alle Probleme, auf die Sie im Mathematikunterricht stoßen, betreffen reguläre Pentagone mit fünf gleichen Seiten. Es gibt zwei gängige Methoden zur Berechnung der Fläche, je nachdem, wie viele Informationen Sie haben.

Schreiten

Methode 1 von 3: Bestimmen Sie die Fläche anhand der Seiten und des Apothems

1. Beginnen Sie mit der Länge der Seite und des Apothems. Diese Methode funktioniert für reguläre Pentagone mit fünf gleichen Seiten. Zusätzlich zur Länge der Seite benötigen Sie das "Apothem" des Fünfecks. Das Apothem ist die Linie von der Mitte des Fünfecks zu einer Seite, die die Seite senkrecht schneidet (dh in einem Winkel von 90 °).
   • Verwechseln Sie das Apothem nicht mit dem Radius eines Polygons, da es einen Winkel (Scheitelpunkt) anstelle eines Punktes in der Mitte der Seite schneidet. Wenn Sie nur die Länge einer Seite und den Radius kennen, fahren Sie mit der nächsten Methode fort.
   • Wir verwenden ein Fünfeck mit Seite als Beispiel 3 und apothem 2.
2. Teilen Sie das Fünfeck in fünf Dreiecke. Zeichnen Sie fünf Linien von der Mitte des Fünfecks, die jeweils zu einem Scheitelpunkt (Ecke) führen. Sie haben jetzt fünf Dreiecke.
3. Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks. Jedes Dreieck hat eins Base gleich der Seite des Fünfecks. Es hat auch eine Höhe das ist gleich dem Apothem. (Denken Sie daran, dass die Höhe eines Dreiecks die Länge der Seite ist, die senkrecht zur Basis steht und zu einem Scheitelpunkt verläuft.) Verwenden Sie ½ x Basis x Höhe, um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen.
   • In unserem Beispiel beträgt die Fläche des Dreiecks = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multiplizieren Sie die Gesamtfläche des Fünfecks mit fünf. Wir haben das Fünfeck in fünf gleiche Dreiecke geteilt. Um die Gesamtfläche zu berechnen, multiplizieren Sie die Fläche eines Dreiecks mit fünf.
   • In unserem Beispiel ist A (Summe des Fünfecks) = 5 x A (Dreieck) = 5 x 3 =15.

Methode 2 von 3: Bestimmung der Fläche anhand der Länge einer Seite

1. Beginnen Sie mit der Länge einer Seite. Diese Methode funktioniert nur für reguläre Pentagone mit fünf gleich langen Seiten.
   • In diesem Beispiel verwenden wir ein Fünfeck mit Länge 7 für jede Seite.
2. Teilen Sie das Fünfeck in fünf Dreiecke. Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Fünfecks zu einem Scheitelpunkt. Wiederholen Sie dies für jeden Scheitelpunkt. Sie haben jetzt fünf Dreiecke mit jeweils gleicher Größe.
3. Teilen Sie ein Dreieck in zwei Hälften. Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Fünfecks bis zur Basis eines Dreiecks. Diese Linie sollte die Basis in einem rechten Winkel (90 °) schneiden, der das Dreieck in zwei gleiche, kleinere Dreiecke teilt.
4. Beschriften Sie eines der kleineren Dreiecke. Wir können bereits eine Seite und einen Winkel des kleineren Dreiecks beschriften:
   • Das Base des Dreiecks ist das ½-fache der Seite des Fünfecks. In unserem Beispiel ist dies ½ x 7 = 3,5 Einheiten.
   • Das Winkel in der Mitte des Fünfecks ist immer 36º. (Unter der Annahme von 360 ° für einen vollen Kreis können Sie dies in 10 kleinere Dreiecke unterteilen. 360 ÷ 10 = 36, sodass der Winkel eines solchen Dreiecks 36 ° beträgt.)
5. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks. Das Höhe Die Seite dieses Dreiecks ist senkrecht zur Seite des Fünfecks, die zur Mitte führt. Wir verwenden einfache Trigonometrie, um die Länge dieser Seite zu bestimmen:
   • In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Tangente von einem Winkel gleich der Länge der gegenüberliegenden Seite geteilt durch die Länge der benachbarten Seite.
   • Die dem Winkel von 36 ° gegenüberliegende Seite ist die Basis des Dreiecks (die halbe Seite des Fünfecks). Die angrenzende Seite des 36º-Winkels ist die Höhe des Dreiecks.
   • tan (36º) = gegenüberliegend / benachbart
   • In unserem Beispiel ist tan (36º) = 3,5 / Höhe
   • Höhe x tan (36º) = 3,5
   • Höhe = 3,5 / tan (36º)
   • Höhe = (ungefähr) 4,8 .
6. Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks. Die Fläche eines Dreiecks entspricht ½ Basis x seiner Höhe. (A = ½bh.) Nachdem Sie die Höhe kennen, geben Sie diese Werte ein, um die Höhe Ihres kleinen Dreiecks zu bestimmen.
   • In unserem Beispiel ist die Fläche eines der kleinen Dreiecke = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4.
7. Multiplizieren Sie, um den Bereich des Fünfecks zu finden. Eines dieser kleineren Dreiecke bedeckt 1/10 der Fläche des Fünfecks. Multiplizieren Sie für die Gesamtfläche die Fläche des kleineren Dreiecks mit 10.
   • In unserem Beispiel beträgt die Fläche des gesamten Fünfecks = 8,4 x 10 =84.

Methode 3 von 3: Verwenden einer Formel

1. Verwenden Sie den Umriss und das Apothem. Das Apothem ist eine Linie von der Mitte eines Fünfecks, die eine Seite im rechten Winkel schneidet. Wenn die Länge angegeben ist, können Sie diese einfache Formel verwenden.
   • Fläche eines regelmäßigen Fünfecks =Papa / 2, wo p= der Umfang und ein= das Apothem.
   • Wenn Sie den Umfang nicht kennen, berechnen Sie ihn anhand der Länge der Seite: p = 5s, wobei s die Länge der Seite ist.
2. Verwenden Sie die Länge der Seite. Wenn Sie nur die Länge der Seiten kennen, verwenden Sie die folgende Formel:
   • Fläche eines regelmäßigen Fünfecks = (5s ) / (4tan (36º)), wo s= Länge einer Seite.
   • tan (36º) = √ (5-2√5). Wenn Ihr Rechner keine Bräunungsfunktion hat, verwenden Sie die Formel für die Fläche: Fläche = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Wählen Sie eine Formel, die nur den Radius verwendet. Sie können den Bereich sogar finden, wenn Sie nur den Radius kennen. Verwenden Sie die folgende Formel:
   • Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks = (5/2)rSünde (72º), wo r der Radius ist.

Tipps

• Unregelmäßige Pentagone oder Pentagone mit ungleichen Seiten sind schwieriger zu untersuchen. Der beste Ansatz besteht normalerweise darin, das Fünfeck in Dreiecke zu teilen und die Flächen aller Dreiecke hinzuzufügen. Möglicherweise müssen Sie auch eine größere Form um das Fünfeck zeichnen, seine Fläche berechnen und dann die Fläche des zusätzlichen Raums subtrahieren.
• Verwenden Sie nach Möglichkeit sowohl eine geometrische Methode als auch eine Formel und vergleichen Sie die Ergebnisse, um Ihre Antwort zu überprüfen. Die Antworten können leicht unterschiedlich sein, wenn Sie die Formel sofort vollständig ausfüllen (da die Schritte, in denen Sie fertig sind, fehlen), aber sie sollten sehr nahe beieinander liegen.
• Die hier angegebenen Beispiele verwenden gerundete Werte, um die Mathematik zu vereinfachen. Wenn Sie ein echtes Polygon mit den angegebenen Seitenlängen haben, erhalten Sie für die anderen Längen und die Fläche leicht unterschiedliche Ergebnisse.
• Die Formeln leiten sich von geometrischen Methoden ab, die den hier beschriebenen ähnlich sind. Versuchen Sie herauszufinden, wie Sie sie selbst ableiten können. Die Radiusformel ist schwieriger abzuleiten als die anderen (Hinweis: Sie benötigen die Doppelwinkelidentität).