Inhalt

• Schreiten
• Teil 1 von 3: Berechnung der Fläche von Polygonen mit dem Apothem
• Teil 2 von 3: Ermitteln der Fläche eines regulären Polygons mit anderen Formeln
• Teil 3 von 3: Ermitteln der Fläche eines unregelmäßigen Polygons
• Tipps

Die Berechnung der Fläche eines Polygons kann sehr einfach sein, wenn es sich um ein reguläres Dreieck handelt. Bei einer unregelmäßigen Form mit elf Seiten wird es jedoch viel schwieriger. Wenn Sie wissen möchten, wie die Fläche verschiedener Polygone berechnet wird, führen Sie die folgenden Schritte aus.

Schreiten

Teil 1 von 3: Berechnung der Fläche von Polygonen mit dem Apothem

1. Schreiben Sie die Formel zum Ermitteln der Fläche eines regulären Polygons auf. Um die Fläche eines regulären Polygons zu ermitteln, müssen Sie nur die folgende Formel befolgen: Fläche = 1/2 x Umfang x Apothem. Das bedeutet folgendes:
   • Umfang = die Summe der Längen aller Seiten
   • Apothema = das Liniensegment und auch der Abstand von der Mitte des Polygons zur Mitte einer Seite
2. Bestimmen Sie das Apothem des Polygons. Wenn Sie die Apothem-Methode verwenden, ist das Apothem immer eine Selbstverständlichkeit. Angenommen, Sie arbeiten mit einem Sechseck, dessen Apothem eine Länge von 10√3 hat.
3. Finden Sie den Umfang des Polygons. Wenn der Umfang gegeben ist, sind Sie fast fertig. Aber wahrscheinlich ist nur das Apothem eine Selbstverständlichkeit. Wenn Sie wissen, dass es sich um ein reguläres Polygon handelt, können Sie den Umfang mithilfe des Apothems bestimmen. So machst du das:
   • Stellen Sie sich das Apothem als die "x√3" -Seite eines 30-60-90-Dreiecks vor. Sie können sich das so vorstellen, weil das Sechseck aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht. Das Apothem schneidet eines dieser Dreiecke in zwei Hälften und erzeugt ein Dreieck mit Winkeln von 30, 60 und 90 Grad.
   • Sie wissen, dass die dem 60-Grad-Winkel gegenüberliegende Seite eine Länge von x√3 hat, die dem 30-Grad-Winkel gegenüberliegende Seite eine Länge von x und die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegende Seite eine Länge von 2x hat. Wenn 10√3 für "x√3" steht, wissen Sie, dass x = 10 ist.
   • Sie wissen, dass x die halbe Länge des unteren Randes des Dreiecks ist. Verdoppeln Sie dies, um die volle Länge zu bestimmen. Der untere Teil des Dreiecks ist also 20. Es gibt sechs dieser Seiten im Sechseck. Um den Umfang des Sechsecks zu ermitteln, multiplizieren wir 20 mit 6 = 120.
4. Jetzt können wir das Apothem und den Umfang in die Formel einfügen. Noch einmal: Fläche = 1/2 x Umfang x ApothemDer Umfang beträgt 120 und das Apothem 10√3. Dann sieht die Formel so aus:
   • Fläche = 1/2 x 120 x 10√3
   • Fläche = 60 x 10√3
   • Fläche = 600 √3
5. Vereinfachen Sie Ihre Antwort. Möglicherweise müssen Sie das Ergebnis in Dezimalzahl anstatt mit einem Quadratwurzelzeichen schreiben. Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um die ungefähre Quadratwurzel von drei zu ermitteln, und multiplizieren Sie diese mit 600. √3 x 600 = 1.039.2. Das ist das Ergebnis in Dezimalstellen.

Teil 2 von 3: Ermitteln der Fläche eines regulären Polygons mit anderen Formeln

1. Berechnen Sie die Fläche eines geraden Dreiecks. Wenn Sie die Fläche eines regulären Dreiecks ermitteln möchten, können Sie folgende Formel verwenden: Fläche = 1/2 x Basis x Höhe.
   • Wenn Sie ein Dreieck mit einer Basis von 10 und einer Höhe von 8 haben, ist die Fläche = 1/2 x 8 x 10 = 40.
2. Berechnen Sie die Fläche eines Quadrats. Um die Fläche eines Quadrats zu ermitteln, müssen Sie lediglich eine seiner Seiten mit sich selbst multiplizieren, da die Basis und die Höhe eines Quadrats gleich sind.
   • Wenn Sie ein Quadrat mit 6 Seiten langen Seiten haben, beträgt die Fläche 6 x 6 = 36.
3. Berechnen Sie die Fläche eines Rechtecks. Um den Bereich eines Rechtecks ​​zu finden, müssen Sie lediglich die Basis mit der Höhe multiplizieren.
   • Wenn die Basis eines Rechtecks ​​4 und die Höhe 3 ist, beträgt die Fläche 4 x 3 = 12.
4. Berechnen Sie die Fläche eines Trapezes. Um den Bereich eines Trapezes zu finden, können Sie die folgende Formel verwenden: Fläche = [(Basis 1 + Basis 2) x Höhe] / 2.
   • Angenommen, Sie haben ein Trapez, dessen Basen 6 und 8 lang sind und dessen Höhe 10 beträgt. Dann ist die Fläche [(6 + 8) x 10] / 2, was zu (14 x 10) / 2 oder 140/2 vereinfacht werden kann, was einer Fläche von 70 entspricht.

Teil 3 von 3: Ermitteln der Fläche eines unregelmäßigen Polygons

1. Verwenden Sie die Koordinaten der Knoten, um die Fläche zu berechnen. Wenn Sie die Koordinaten kennen, können Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons berechnen.
2. Erstellen Sie eine Sequenz. Listen Sie die x- und y-Koordinaten jedes Scheitelpunkts des Polygons gegen den Uhrzeigersinn auf. Wiederholen Sie die Koordinaten des ersten Punktes am Ende der Liste.
3. Multiplizieren Sie die x-Koordinate jedes Scheitelpunkts mit der y-Koordinate des nächsten Scheitelpunkts. Addieren Sie die Ergebnisse. Die Summe dieser Produkte beträgt 82.
4. Multiplizieren Sie die y-Koordinate jedes Scheitelpunkts mit der x-Koordinate des nächsten Scheitelpunkts. Addieren Sie die Ergebnisse. Die Summe dieser Produkte beträgt -38.
5. Subtrahieren Sie die Summe der in Schritt 4 berechneten Produkte von der Summe der in Schritt 3 berechneten Produkte. (82) - (-38) = 120.
6. Teilen Sie dieses Ergebnis durch 2, um die Fläche des Polygons zu ermitteln. Fläche = 120/2 = 60.

Tipps

• Wenn Sie die Punkte im Uhrzeigersinn anstatt gegen den Uhrzeigersinn auflisten, erhalten Sie auch den Bereich, jedoch negativ. Sie können dies beispielsweise als Hilfsmittel verwenden, um die zyklische Folge einer Reihe von Punkten zu bestimmen, die ein Polygon bilden.
• Diese Formel berechnet die Fläche mit Orientierung. Wenn Sie es für eine Form verwenden, bei der sich zwei der Linien schneiden, wie bei einer 8, erhalten Sie den Bereich gegen den Uhrzeigersinn minus den Bereich im Uhrzeigersinn.