Inhalt

• Schreiten
• Teil 1 von 3: Die Grundlagen der Analyse
• Teil 2 von 3: Derivate verstehen
• Teil 3 von 3: Integrale verstehen
• Tipps

Die Analyse (auch Kalkül genannt) ist ein Zweig der Mathematik, der sich auf Grenzen, Funktionen, Ableitungen, Integrale und unendliche Reihen konzentriert. Dieses Fach deckt einen großen Teil der Mathematik ab und liegt vielen der in der Physik und Mechanik verwendeten Formeln und Gleichungen zugrunde. Sie müssen wahrscheinlich mehrere Jahre Mathematik in der High School gehabt haben, um die Analyse richtig zu verstehen, aber dieser Artikel wird Ihnen den Einstieg in das Erkennen der Schlüsselkonzepte sowie ein besseres Verständnis der Theorie erleichtern.

Schreiten

Teil 1 von 3: Die Grundlagen der Analyse

1. Analyse ist die Untersuchung, wie sich Dinge ändern. Die Analyse ist ein Zweig der Mathematik, der Zahlen und Diagramme untersucht, die normalerweise aus realen Daten stammen, und erklärt, wie sie sich ändern. Während dies auf den ersten Blick nicht sehr nützlich erscheint, ist die Analyse einer der am häufigsten verwendeten Zweige der Mathematik. Stellen Sie sich vor, Sie haben die Tools, mit denen Sie feststellen können, wie schnell Ihr Unternehmen zu einem bestimmten Zeitpunkt wächst, wie Sie den Kurs eines Raumschiffs bestimmen und wie schnell sein Treibstoff verbraucht wird. Die Analyse ist ein wichtiges Werkzeug in den Bereichen Ingenieurwesen, Wirtschaft, Statistik, Chemie und Physik und hat zu vielen Erfindungen und Entdeckungen beigetragen.
2. Funktionen sind Beziehungen zwischen zwei Zahlen und werden zum Zuordnen von Beziehungen verwendet. Sie sind Regeln für die Beziehung zwischen Zahlen, und Mathematiker verwenden sie, um Diagramme zu erstellen. In einer Funktion hat jede Eingabe genau ein Ergebnis. Zum Beispiel: in ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Denken Sie an das Konzept der Unendlichkeit. Unendlichkeit ist die ständige Wiederholung eines Prozesses. Es ist kein bestimmter Ort (Sie können nicht ins Unendliche gehen), sondern das Verhalten einer Zahl oder Gleichung, wenn dies für immer geschieht. Dies ist wichtig, um Veränderungen zu untersuchen: Sie möchten vielleicht wissen, wie schnell sich Ihr Auto zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt, aber ist es so, wie schnell sich Ihr Auto in der aktuellen Sekunde bewegt? Millisekunde? Nanosekunde? Sie können unendlich kleinere Zeitblöcke finden, um noch genauer zu sein, und dann kommt die Analyse ins Spiel.
3. Verstehe das Konzept der Grenzen. Ein Limit sagt Ihnen, was passiert, wenn sich etwas der Unendlichkeit nähert. Nehmen Sie die Zahl 1 und teilen Sie sie durch 2. Teilen Sie immer wieder durch 2. 1 wird 1/2 und dann 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 usw. Jedes Mal, wenn die Zahl kleiner und kleiner wird, "näher an" Null. Aber wo hört es auf? Wie oft müssen Sie 1 durch 2 teilen, um Null zu erhalten? Anstatt diese Frage zu beantworten, legen Sie in der Analyse eine fest Grenze In diesem Fall ist die Grenze.
   • Grenzwerte lassen sich am einfachsten in einem Diagramm darstellen. Gibt es beispielsweise Punkte, die ein Diagramm fast berührt, aber nie ganz?
   • Limits können zahlreich, unendlich oder sogar nicht vorhanden sein. Zum Beispiel wird mit der Additionssequenz 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... und dies wird unbegrenzt fortgesetzt, die endgültige Zahl wird unendlich groß. Die Grenze wird dann unendlich.
4. Überprüfen Sie die wesentlichen mathematischen Konzepte der Algebra, Trigonometrie und die Grundlagen der Mathematik. Die Analyse stützt sich auf einen Großteil der Mathematik, die Sie zuvor gelernt haben. Wenn Sie über alle Themen gut informiert sind, ist es viel einfacher, Analysen zu lernen und zu verstehen. Einige Themen, die aufgefrischt werden müssen, sind:
   • Algebra. Sie müssen die verschiedenen Prozesse verstehen und in der Lage sein, Gleichungen und Gleichungssysteme mit mehreren Variablen zu lösen. Verstehen Sie die Grundlagen von Sammlungen. Übe das Erstellen von Grafiken.
   • Geometrie. Geometrie ist das Studium von Formen. Sie sollten Grundkenntnisse in Dreiecken, Rechtecken und Kreisen sowie in der Berechnung von Umfang und Fläche haben. Verstehe Winkel, Linien und Koordinaten
   • Trigonometrie. Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Kreisen und rechtwinkligen Dreiecken befasst. Wissen, wie trigonometrische Identitäten, Diagramme, Funktionen und inverse trigonometrische Funktionen verwendet werden.
5. Kaufen Sie einen Grafikrechner. Die Analyse ist nicht leicht zu verstehen, ohne zu sehen, was Sie tun. Grafikrechner machen Funktionen visuell, damit Sie besser verstehen können, mit welchen Gleichungen Sie es zu tun haben. Oft werden die Grenzwerte auch auf dem Bildschirm angezeigt und die Ableitungen und Funktionen werden automatisch berechnet.
   • Viele Smartphones und Tablets bieten heutzutage kostengünstige, aber effektive Grafik-Apps, wenn Sie keinen Grafikrechner kaufen möchten oder können.

Teil 2 von 3: Derivate verstehen

1. Die Analyse wird verwendet, um "Veränderungen zu einem bestimmten Zeitpunkt" zu untersuchen. Zu wissen, warum sich etwas genau zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert, ist der Kern der Analyse. Die Analyse gibt Ihnen beispielsweise nicht nur die Geschwindigkeit eines Autos an, sondern auch, wie stark sich diese Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. Dies ist eine der einfachsten Anwendungen der Analyse, aber sehr wichtig. Stellen Sie sich vor, wie wichtig solche Informationen für die Bestimmung der Geschwindigkeit sind, die erforderlich ist, um ein Raumschiff zum Mond zu bringen!
   • Das Bestimmen von Änderungen zu einem bestimmten Zeitpunkt hat unterscheiden. Die Differenzierung ist der erste der beiden Hauptzweige der Analyse.
2. Verwenden Sie Derivate, um zu verstehen, wie sich die Dinge zu einem bestimmten Zeitpunkt ändern. Ein "Derivat" ist ein schönes Wort für etwas, das Schüler oft nervös macht. Das Konzept selbst ist jedoch nicht so schwer zu verstehen - es bedeutet nur "wie schnell sich etwas ändert". Die Derivate, denen Sie im Alltag am meisten begegnen, haben mit Geschwindigkeit zu tun. Normalerweise nennt man es jedoch nicht "Ableitung der Geschwindigkeit", sondern einfach "Beschleunigung".
   • Beschleunigung ist eine Ableitung - sie zeigt an, wie schnell etwas beschleunigt oder verlangsamt oder wie sich seine Geschwindigkeit ändert.
3. Beachten Sie, dass die Änderungsrate der Steigung zwischen zwei Punkten entspricht. Dies ist eine der wichtigsten Entdeckungen der Analyse. Die Änderungsrate zwischen zwei Punkten entspricht der Steigung der Linie zwischen diesen beiden Punkten. Denken Sie nur an eine einfache Linie wie die der Gleichung ${ displaystyle y = 3x.}$Wissen Sie, dass Sie die Steigung gekrümmter Linien bestimmen können. Die Bestimmung der Steigung einer geraden Linie ist relativ einfach: Wie viel ändert sich? ${ displaystyle y}$Wenn Sie die Änderung genauer berechnen möchten, stellen Sie sicher, dass die Punkte näher beieinander liegen. Je näher Sie die beiden Punkte auswählen, desto genauer ist Ihre Antwort. Angenommen, Sie möchten wissen, wie stark Ihr Auto beschleunigt, wenn Sie auf das Gaspedal drücken. Sie möchten nicht die Geschwindigkeitsänderung zwischen Ihrem Haus und dem Supermarkt messen, sondern die Geschwindigkeitsänderung ab dem Moment, in dem Sie auf das Gaspedal treten. Je näher Ihr Messwert diesem Sekundenbruchteil kommt, desto genauer berechnen Sie die Änderung.
   • Zum Beispiel untersuchen Wissenschaftler, wie schnell einige Arten aussterben, um sie zu retten. Im Winter sterben jedoch mehr Tiere als im Sommer. Daher ist es nicht sinnvoll, die Änderungsrate während des gesamten Jahres zu untersuchen. Es ist besser, die Änderungsrate in einem kleineren Zeitraum, z. B. vom 1. Juli bis 1. August, zu bestimmen.
4. Verwenden Sie unendlich kurze Zeilen, um die "augenblickliche Änderungsrate" zu bestimmen oder die Ableitung zu finden. Hier wird die Analyse oft etwas verwirrend, aber dies ist eigentlich das Ergebnis zweier einfacher Fakten. Zunächst wissen Sie, dass die Steigung einer Linie gleich der Geschwindigkeit ist, mit der sich diese Linie ändert. Zweitens wissen Sie, dass der Messwert umso genauer wird, je näher die Punkte der Linie beieinander liegen. Aber wie finden Sie die Änderungsrate an einem bestimmten Punkt, wenn die Steigung die Beziehung zwischen zwei Punkten ist? Die Antwort: Sie wählen zwei Punkte, die unendlich nahe beieinander liegen.
   • Betrachten Sie das Beispiel, in dem Sie 1 durch 2 teilen und so 1/2, 1/4, 1/8 usw. erhalten. Am Ende nähern Sie sich also Null und die Antwort lautet "fast Null". Die Punkte liegen so nahe beieinander, dass sie "fast gleich" sind. Dies ist die Natur von Derivaten.
5. Erfahren Sie, wie Sie verschiedene Derivate bestimmen. Es gibt eine Menge verschiedener Techniken, um eine Ableitung zu finden, abhängig von der Gleichung, aber die meisten davon sind sinnvoll, wenn Sie sich die Grundlagen der obigen Ableitungen gemerkt haben. Alle Ableitungen sind eine Möglichkeit, die Steigung einer "infinitesimalen" Linie zu ermitteln. Jetzt, da Sie mehr über die Ableitungstheorie wissen, besteht ein Großteil der Arbeit darin, die Antworten zu finden.
6. Finden Sie die abgeleiteten Gleichungen, um die Änderungsrate jederzeit vorherzusagen. Es ist nützlich, Ableitungen zu verwenden, um die Änderungsrate zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen. Das Schöne an der Analyse ist jedoch, dass Sie für jede Funktion ein neues Modell erstellen können. Die Ableitung von ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Wenn Sie dies schwer verstehen, versuchen Sie, sich Beispiele aus der Praxis für Derivate zu merken. Das einfachste Beispiel basiert auf der Geschwindigkeit, die viele verschiedene Derivate umfasst, denen wir jeden Tag begegnen. Nicht vergessen: Ein Derivat ist ein Maß dafür, wie schnell sich etwas ändert. Denken Sie an ein einfaches Experiment. Sie rollen einen Marmor auf einen Tisch und messen jedes Mal, wie weit und wie schnell er sich bewegt. Stellen Sie sich nun vor, dass der rollende Marmor einer Linie in einem Diagramm folgt. Sie verwenden Ableitungen, um die augenblicklichen Änderungen jederzeit auf dieser Linie zu messen.
   • Wie schnell bewegt sich der Marmor? Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Position (oder Ableitung) des sich bewegenden Marmors? Wir nennen diese Ableitung "Geschwindigkeit".
   • Rollen Sie den Marmor entlang eines Abhangs und beobachten Sie, wie sich die Geschwindigkeit ändert. Wie hoch ist die Änderungs- oder Ableitungsrate der Geschwindigkeit des Marmors? Diese Ableitung nennen wir "Beschleunigung".
   • Rollen Sie den Marmor auf einer welligen Strecke, z. B. einer Achterbahn. Inwieweit gewinnt der Marmor beim Abrollen an Geschwindigkeit und inwieweit verlangsamt sich der Marmor bergauf? Wie schnell geht der Marmor genau, wenn er sich auf halber Höhe des ersten Hügels befindet? Dies ist die augenblickliche Änderungsrate oder die Ableitung dieses Marmors an diesem einen bestimmten Punkt.

Teil 3 von 3: Integrale verstehen

1. Wissen Sie, dass Sie mithilfe der Analyse komplexe Bereiche und Volumina finden können. Mit der Analyse können Sie komplexe Formen messen, die ansonsten schwer zu messen sind. Stellen Sie sich zum Beispiel das Problem vor, dass Sie wissen möchten, wie viel Wasser ein langer, unregelmäßig geformter See enthält. Es ist unmöglich, jeden Liter Wasser einzeln zu messen oder die Form des Sees mit einem Lineal zu messen. Mit der Analyse können Sie untersuchen, wie sich die Ränder des Sees ändern, und anhand dieser Informationen herausfinden, wie viel Wasser darin enthalten ist.
   • Geometrische Modelle erstellen und Volumen untersuchen integrieren. Die integrierte Analysis ist der zweite wichtige Zweig der Analyse.
2. Wissen Sie, dass Integration der Bereich unter einem Diagramm ist. Die Integration wird verwendet, um den Abstand unter einer Linie zu messen, mit dem Sie den Bereich seltsamer oder unregelmäßiger Formen bestimmen können. Nehmen Sie die Gleichung ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Beachten Sie, dass Sie einen zu integrierenden Bereich auswählen müssen. Sie können nicht einfach eine ganze Funktion integrieren. Beispielsweise, ${ displaystyle y = x}$Überlegen Sie, wie Sie die Fläche eines Rechtecks ​​berechnen. Angenommen, Sie haben eine flache Linie über einem Diagramm, z ${ displaystyle y = 4.}$Wisse, dass in der Integralrechnung viele kleine Rechtecke addiert werden, um die Fläche einer Fläche zu finden. Wenn Sie eine Kurve enorm vergrößern, scheint sie eine gerade Linie zu sein. Sie sehen das jeden Tag - Sie können die Krümmung der Erde nicht wahrnehmen, weil Sie so nahe an der Erdoberfläche sind. Durch die Integration wird eine unendliche Anzahl kleiner Rechtecke unter einer Kurve erstellt, die so klein sind, dass sie im Grunde genommen flach sind, sodass Sie sie zählen können. Alle diese Rechtecke bilden zusammen den Bereich des Bereichs unter einer Kurve.
   • Angenommen, Sie addieren viele kleine Segmente unterhalb des Diagramms, und das ist die Breite jedes Segments fast ist Null.
3. Wissen, wie man Integrale richtig liest und aufschreibt. Integrale bestehen aus 4 Teilen. Ein typisches Integral sieht folgendermaßen aus:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Erfahren Sie mehr über das Finden von Integralen. Die Integration erfolgt in vielen Formen, und Sie müssen viele verschiedene Formeln lernen, um jede Funktion zu integrieren. Sie alle folgen jedoch den oben beschriebenen Prinzipien: Integration ist die Summe einer unendlichen Anzahl von Dingen.
   • Durch Substitution integrieren.
   • Berechnen Sie unbestimmte Integrale.
   • Integrieren durch Teilen.
4. Wisse, dass Integration das Gegenteil von Differenzierung ist und umgekehrt. Dies ist eine Faustregel der Analyse, die so wichtig ist, dass ihr ein eigener Name gegeben wurde: der Hauptsatz der Integralberechnung.Da Integration und Differenzierung so eng miteinander verbunden sind, kann eine Kombination aus beiden verwendet werden, um die Änderungsrate, Beschleunigung, Geschwindigkeit, Position, Bewegung usw. zu bestimmen, unabhängig davon, über welche Informationen Sie verfügen.
   • Denken Sie beispielsweise daran, dass die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ist, sodass Sie die Geschwindigkeit verwenden können, um die Beschleunigung zu ermitteln. Wenn Sie jedoch nur die Beschleunigung von etwas kennen (z. B. Objekte, die aufgrund der Schwerkraft fallen), können Sie sich integrieren, um wieder an Geschwindigkeit zu gewinnen!
5. Wissen Sie, dass Sie mit der Integration auch das Volumen von 3D-Objekten steuern können. Das Drehen einer flachen Form ist eine Möglichkeit, 3D-Volumenkörper zu erstellen. Stellen Sie sich eine Münze vor, die sich auf dem Tisch dreht - beachten Sie, wie die Münze beim Drehen die Form einer Kugel annimmt. Mit diesem Konzept können Sie das Volumen nach einem Verfahren bestimmen, das als "Volumen durch Rotation" bezeichnet wird.
   • Auf diese Weise können Sie das Volumen eines Volumenkörpers bestimmen, sofern Sie über eine Funktion verfügen, die ihn darstellt. Sie können beispielsweise eine Funktion erstellen, die den Grund eines Sees verfolgt und diese dann verwendet, um das Volumen des Sees oder die Menge des darin enthaltenen Wassers zu bestimmen.

Tipps

• Übung macht den Meister, also machen Sie die Übungsübungen in Ihrem Lehrbuch - auch die, die Ihr Lehrer nicht gegeben hat - und überprüfen Sie Ihre Antworten, um die Konzepte besser zu verstehen.
• Wenn Sie keine Lösung finden können, fragen Sie Ihren Lehrer.