Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: Factoring
• Methode 2 von 3: Volles Quadrat
• Methode 3 von 3: Terminologie
• Tipps
• Warnungen

Die Quadratwurzel zu vereinfachen ist gar nicht so schwierig, wie es scheinen mag. Sie müssen nur die Zahl faktorisieren und vollständige Quadrate aus dem Wurzelzeichen extrahieren. Indem Sie sich einige der gängigsten Quadrate merken und lernen, wie man eine Zahl faktorisiert, können Sie Quadratwurzeln leicht vereinfachen.

Schritte

Methode 1 von 3: Factoring

1. 1 Das Ziel der Quadratwurzelvereinfachung besteht darin, sie in eine Form umzuschreiben, die für Berechnungen einfacher zu verwenden ist. Eine Zahl zu faktorisieren bedeutet, zwei oder mehr Zahlen zu finden, die, wenn sie multipliziert werden, die ursprüngliche Zahl ergeben, zum Beispiel 3 x 3 = 9. Nachdem Sie die Faktoren gefunden haben, können Sie die Quadratwurzel vereinfachen oder ganz entfernen. Zum Beispiel 9 = √ (3x3) = 3.
2. 2 Wenn die Wurzelzahl gerade ist, dividiere sie durch 2. Wenn die radikale Zahl ungerade ist, versuchen Sie, sie durch 3 zu teilen (wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist, teilen Sie sie durch 5, 7 usw. entlang der Primzahlenliste). Dividiere die Wurzelzahl ausschließlich durch Primzahlen, da jede Zahl in Primfaktoren zerlegt werden kann. Zum Beispiel müssen Sie die Wurzelzahl nicht durch 4 teilen, da 4 durch 2 teilbar ist und Sie die Wurzelzahl bereits durch 2 geteilt haben.
   • 2
   • 3
   • 5
   • 7
   • 11
   • 13
   • 17
3. 3 Schreiben Sie das Problem als Wurzel des Produkts zweier Zahlen um. Vereinfachen Sie beispielsweise √98: 98 ÷ 2 = 49, also 98 = 2 x 49. Schreiben Sie die Aufgabe so um: √98 = √ (2 x 49).
4. 4 Erweitern Sie die Zahlen weiter, bis das Produkt aus zwei identischen Zahlen und anderen Zahlen unter der Wurzel verbleibt. Das macht Sinn, wenn man über die Bedeutung der Quadratwurzel nachdenkt: √ (2 x 2) ist gleich der Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, gleich 2 x 2 ist. Offensichtlich ist diese Zahl 2! Wiederholen Sie die obigen Schritte für unser Beispiel: √ (2 x 49).
   • 2 wurde bereits so weit wie möglich vereinfacht, da es sich um eine Primzahl handelt (siehe Primzahlenliste oben). Also Faktor 49.
   • 49 ist nicht durch 2, 3, 5 teilbar. Fahren Sie also mit der nächsten Primzahl fort - 7.
   • 49 ÷ 7 = 7, also 49 = 7 x 7.
   • Schreiben Sie die Aufgabe so um: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).
5. 5 Vereinfachen Sie die Quadratwurzel. Da unter der Wurzel das Produkt von 2 und zwei identischen Zahlen (7) steht, können Sie eine solche Zahl außerhalb des Wurzelzeichens verschieben. In unserem Beispiel: (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).
   • Sobald Sie zwei gleiche Zahlen unter der Wurzel haben, können Sie die Faktorisierung der Zahlen beenden (wenn Sie sie noch faktorisieren können). Zum Beispiel √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Wenn Sie die Zahlen weiter faktorisieren, erhalten Sie die gleiche Antwort, führen jedoch weitere Berechnungen durch: √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √ (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4.
6. 6 Manche Wurzeln lassen sich um ein Vielfaches vereinfachen. In diesem Fall werden die vom Wurzelzeichen entfernten Zahlen und die Zahlen vor der Wurzel multipliziert. Beispielsweise:
   • √180 = √ (2 x 90)
   • √180 = √ (2 x 2 x 45)
   • √180 = 2√45, aber 45 kann faktorisiert und die Wurzel wieder vereinfacht werden.
   • √180 = 2√ (3 x 15)
   • √180 = 2√ (3 x 3 x 5)
   • √180 = (2)(3√5)
   • √180 = 6√5
7. 7 Wenn Sie nicht zwei identische Zahlen unter dem Wurzelzeichen finden können, kann eine solche Wurzel nicht vereinfacht werden. Wenn Sie den Wurzelausdruck in das Produkt von Primfaktoren erweitert haben und es keine zwei identischen Zahlen darunter gibt, dann kann eine solche Wurzel nicht vereinfacht werden. Versuchen wir zum Beispiel, √70 zu vereinfachen:
   • 70 = 35 x 2, also √70 = √ (35 x 2)
   • 35 = 7 x 5, also √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2)
   • Alle drei Faktoren sind einfach, können also nicht mehr faktorisiert werden. Alle drei Faktoren sind unterschiedlich, sodass Sie eine ganze Zahl nicht aus dem Wurzelzeichen verschieben können. Daher kann √70 nicht vereinfacht werden.

Methode 2 von 3: Volles Quadrat

1. 1 Merken Sie sich einige Quadrate von Primzahlen. Das Quadrat einer Zahl erhält man, indem man sie mit der zweiten Potenz erhöht, also mit sich selbst multipliziert. Zum Beispiel ist 25 ein perfektes Quadrat, weil 5 x 5 (5) = 25.Indem Sie sich mindestens ein Dutzend vollständige Quadrate merken, können Sie die Wurzeln schnell vereinfachen. Hier sind die ersten zehn vollständigen Quadrate:
   • 1 = 1
   • 2 = 4
   • 3 = 9
   • 4 = 16
   • 5 = 25
   • 6 = 36
   • 7 = 49
   • 8 = 64
   • 9 = 81
   • 10 = 100
2. 2 Wenn Sie ein vollständiges Quadrat unter dem Quadratwurzelzeichen sehen, entfernen Sie das Wurzelzeichen (√) und schreiben Sie die Quadratwurzel dieses vollständigen Quadrats auf. Wenn beispielsweise die Zahl 25 unter dem Quadratwurzelzeichen steht, dann ist eine solche Wurzel 5, da 25 ein perfektes Quadrat ist.
   • √1 = 1
   • √4 = 2
   • √9 = 3
   • √16 = 4
   • √25 = 5
   • √36 = 6
   • √49 = 7
   • √64 = 8
   • √81 = 9
   • √100 = 10
3. 3 Zerlegen Sie die Zahl unter dem Wurzelzeichen durch das Produkt eines perfekten Quadrats und einer anderen Zahl. Wenn Sie feststellen, dass sich der radikale Ausdruck in das Produkt aus einem vollen Quadrat und einer Zahl zerlegen lässt, sparen Sie Zeit und Mühe. Hier sind einige Beispiele:
   • 50 = √ (25 x 2) = 5√2. Wenn die radikale Zahl auf 25, 50 oder 75 endet, können Sie sie jederzeit in das Produkt von 25 und einer beliebigen Zahl erweitern.
   • 1700 = √ (100 x 17) = 10√17. Wenn die radikale Zahl auf 00 endet, können Sie sie jederzeit in das Produkt von 100 und einer Zahl entwickeln.
   • 72 = √ (9 x 8) = 3√8. Wenn die Summe der Ziffern der radikalen Zahl 9 ist, können Sie sie immer in das Produkt von 9 und einer Zahl zerlegen.
   • 12 = √ (4 x 3) = 2√3. Prüfen Sie immer, ob die Radikale durch 4 teilbar sind.
4. 4 Zerlegen Sie die Radikalzahl durch das Produkt mehrerer vollständiger Quadrate. Nehmen Sie sie in diesem Fall unter dem Wurzelzeichen heraus und multiplizieren Sie sie. Beispielsweise:
   • 72 = √ (9 x 8)
   • √72 = √ (9 x 4 x 2)
   • √72 = (9) x √ (4) x √ (2)
   • √72 = 3 x 2 x √2
   • √72 = 6√2

Methode 3 von 3: Terminologie

1. 1 √ ist das Quadratwurzelzeichen. In √25 ist „√“ beispielsweise das Quadratwurzelzeichen.
2. 2 Ein radikaler Ausdruck wird unter das Wurzelzeichen geschrieben. "25" ist beispielsweise ein radikaler Ausdruck (Zahl) in √25.
3. 3 Der Koeffizient ist die Zahl vor dem Wurzelzeichen (links davon). Dies ist die Zahl, mit der die Quadratwurzel multipliziert wird; es steht links vom √-Zeichen. "7" ist beispielsweise ein Faktor von 7√2.
4. 4 Ein Multiplikator ist eine ganze Zahl, die durch Teilen einer anderen Zahl erhalten wird. 2 ist ein Faktor von 8, da 8 ÷ 4 = 2, und 3 ist kein Faktor von 8, da 8 nicht (ganz) durch 3 teilbar ist. 5 ist ein Faktor von 25, da 5 x 5 = 25.
5. 5 Verstehen Sie die Bedeutung der Quadratwurzelvereinfachung. Die Vereinfachung der Quadratwurzel besteht darin, perfekte Quadrate unter den Faktoren des radikalen Ausdrucks zu finden und sie unter der Wurzel zu extrahieren. Wenn die Zahl ein perfektes Quadrat ist, verschwindet das Wurzelzeichen, sobald Sie seine Wurzel aufschreiben. Beispielsweise kann √98 auf 7√2 vereinfacht werden.

Tipps

• Um ein vollständiges Quadrat (als einen der Faktoren des Wurzelausdrucks) zu finden, schauen Sie einfach die Liste der vollständigen Quadrate durch, beginnend mit dem vollständigen Quadrat, das der Wurzelzahl am nächsten liegt (und dann in absteigender Reihenfolge). Wenn Sie nach einem vollständigen Quadrat in der Zahl 27 suchen, beginnen Sie mit einem vollständigen Quadrat von 25, dann 16 und hören Sie bei 9 auf.

Warnungen

• Auf keinen Fall sollten Sie eine Dezimalstelle haben!
• Taschenrechner können für Berechnungen mit großen radikalen Zahlen nützlich sein, aber es ist besser, die Wurzeln manuell zu vereinfachen.