Inhalt

• Schritte
• Teil 1 von 2: Die Grundlagen
• Teil 2 von 2: Erweiterte Matrixtransformation zur Lösung von SLAEs
• Tipps

Ein Gleichungssystem ist ein Satz von zwei oder mehr Gleichungen, die einen gemeinsamen Satz von Unbekannten und daher eine gemeinsame Lösung haben. Der Graph des linearen Gleichungssystems besteht aus zwei Geraden, und die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt dieser Geraden. Um solche linearen Gleichungssysteme zu lösen, ist es nützlich und bequem, Matrizen zu verwenden.

Schritte

Teil 1 von 2: Die Grundlagen

1. 1 Terminologie. Lineare Gleichungssysteme setzen sich aus verschiedenen Komponenten zusammen. Eine Variable wird durch ein alphabetisches Zeichen (normalerweise x oder y) gekennzeichnet und bedeutet eine Zahl, die Sie noch nicht kennen und finden müssen. Eine Konstante ist eine bestimmte Zahl, die ihren Wert nicht ändert.Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variablen, d. h. die Zahl, mit der die Variable multipliziert wird.
   • Für eine lineare Gleichung zum Beispiel 2x + 4y = 8, x und y sind Variablen, 8 ist konstant und die Zahlen 2 und 4 sind Koeffizienten.
2. 2 Form für ein System linearer Gleichungen. Ein System linearer algebraischer Gleichungen (SLAE) mit zwei Variablen kann wie folgt geschrieben werden: ax + by = p, cx + dy = q. Alle Konstanten (p, q) können null sein, aber jede der Gleichungen muss mindestens eine Variable (x, y) enthalten.
3. 3 Matrixausdrücke. Jedes SLAE kann in Matrixform geschrieben und dann unter Verwendung der algebraischen Eigenschaften von Matrizen gelöst werden. Beim Schreiben eines Gleichungssystems in Matrixform repräsentiert A die Koeffizienten der Matrix, C repräsentiert konstante Matrizen und X bezeichnet eine unbekannte Matrix.
   • Der obige SLAE kann beispielsweise in die folgende Matrixform umgeschrieben werden: A x X = C.
4. 4 Erweiterte Matrix. Die erweiterte Matrix erhält man, indem man die Matrix der freien Terme (Konstanten) auf die linke Seite überträgt. Wenn Sie zwei Matrizen A und C haben, sieht die erweiterte Matrix so aus:
   • Zum Beispiel für das folgende lineare Gleichungssystem:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Die erweiterte Matrix ist 2x3 und sieht so aus:

Teil 2 von 2: Erweiterte Matrixtransformation zur Lösung von SLAEs

1. 1 Elementare Operationen. Sie können bestimmte Operationen an einer Matrix ausführen und so eine Matrix erhalten, die der ursprünglichen entspricht. Solche Operationen werden als elementar bezeichnet. Um beispielsweise eine 2x3-Matrix zu lösen, müssen Sie Zeilenoperationen ausführen, um die Matrix in eine Dreiecksform zu bringen. Solche Operationen können sein:
   • Vertauschung von zwei Zeilen.
   • Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null.
   • einen String multiplizieren und zu einem anderen addieren.
2. 2 Multiplikation der zweiten Zeile mit einer Zahl ungleich Null. Wenn Sie in der zweiten Zeile eine Null möchten, können Sie die Zeile multiplizieren, um dies zu ermöglichen.
   • Wenn Sie beispielsweise eine Matrix wie diese haben:
     
     
     Sie können die erste Zeile behalten und sie verwenden, um in der zweiten Zeile Null zu erhalten. Dazu müssen Sie zuerst die zweite Zeile mit 2 multiplizieren:
3. 3 Nochmals multiplizieren. Um Null für die erste Zeile zu erhalten, müssen Sie möglicherweise erneut mit ähnlichen Manipulationen multiplizieren.
   • Im obigen Beispiel müssen Sie die zweite Zeile mit -1 multiplizieren:
     
     
     Nach der Multiplikation sieht die Matrix so aus:
4. 4 Fügen Sie die erste Zeile zur zweiten hinzu. Fügen Sie die Zeilen hinzu, um eine Null anstelle der ersten Spalte und der zweiten Zeile zu erhalten.
   • Fügen Sie in unserem Beispiel beide Zeilen hinzu, um Folgendes zu erhalten:
5. 5 Schreiben Sie ein neues lineares Gleichungssystem für eine Dreiecksmatrix. Sobald Sie die dreieckige Matrix haben, können Sie zu SLAE zurückkehren. Die erste Spalte der Matrix entspricht der unbekannten Variablen x und die zweite entspricht der unbekannten Variablen y. Die dritte Spalte entspricht dem Achsenabschnitt der Gleichung.
   • Für unser Beispiel hat das neue lineare Gleichungssystem die Form:
6. 6 Löse die Gleichung nach einer der Variablen. Bestimmen Sie im neuen SLAE, welche Variable am einfachsten zu finden ist, und lösen Sie die Gleichung.
   • In unserem Beispiel ist es bequemer, vom Ende aus zu lösen, dh von der letzten Gleichung zur ersten, von unten nach oben. Aus der zweiten Gleichung können wir leicht eine Lösung für y finden, da wir x losgeworden sind, also y = 2.
7. 7 Finden Sie die zweite Unbekannte durch die Substitutionsmethode. Sobald Sie eine der Variablen gefunden haben, können Sie sie in die zweite Gleichung einsetzen, um die zweite Variable zu finden.
   • In unserem Beispiel ersetzen Sie einfach y durch 2 in der ersten Gleichung, um das unbekannte x zu finden:

Tipps

• Matrixelemente werden allgemein als Skalare bezeichnet.
• Um eine 2x3-Matrix zu lösen, müssen Sie elementare Zeilenoperationen ausführen. Sie können diese Operationen nicht für Spalten ausführen.