Inhalt

• Schritte
• Teil 1 von 3: Binomiale faktorisieren
• Teil 2 von 3: Faktorisieren von Binomialen zum Lösen von Gleichungen
• Teil 3 von 3: Komplexe Probleme lösen
• Tipps
• Warnungen

Ein Binomial (Binomial) ist ein mathematischer Ausdruck mit zwei Termen, zwischen denen ein Plus- oder Minuszeichen steht, zum Beispiel: ${ displaystyle ax + b}$... Das erste Element enthält die Variable und das zweite enthält sie oder nicht. Das Faktorisieren eines Binomials beinhaltet das Finden von Termen, die, wenn sie multipliziert werden, das ursprüngliche Binomial ergeben, um es zu lösen oder zu vereinfachen.

Schritte

Teil 1 von 3: Binomiale faktorisieren

1. 1 Verstehen Sie die Grundlagen des Factoring-Prozesses. Beim Faktorisieren eines Binomials wird der Faktor, der ein Teiler jedes Termes des ursprünglichen Binomials ist, aus der Klammer genommen. Zum Beispiel ist die Zahl 6 vollständig durch 1, 2, 3, 6 teilbar. Somit sind die Teiler der Zahl 6 die Zahlen 1, 2, 3, 6.
   • Teiler 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Die Teiler jeder Zahl sind 1 und die Zahl selbst. Teiler von 3 sind beispielsweise 1 und 3.
   • Ganzzahldivisoren können nur Ganzzahlen sein. Die Zahl 32 kann durch 3,564 oder 21,4952 geteilt werden, aber Sie erhalten keine ganze Zahl, sondern einen Dezimalbruch.
2. 2 Ordnen Sie die Bedingungen des Binomials an, um den Factoring-Prozess zu erleichtern. Ein Binomial ist die Summe oder Differenz zweier Terme, von denen mindestens einer eine Variable enthält. Manchmal werden Variablen potenziert, zum Beispiel: ${ Anzeigestil x ^ {2}}$ oder ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Es ist besser, die Terme des Binomials in aufsteigender Exponentenreihenfolge zu ordnen, dh der Term mit dem kleinsten Exponenten wird zuerst geschrieben und mit dem größten - der letzte. Beispielsweise:
   • ${ Displaystil 3t + 6}$ → ${ Displaystil 6 + 3t}$
   • ${ Displaystil 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystil 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ Displaystil x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Beachten Sie das Minuszeichen vor 2. Wenn ein Term subtrahiert wird, schreiben Sie ein Minuszeichen davor.
3. 3 Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD) beider Terme. GCD ist die größte Zahl, durch die beide Mitglieder des Binomials teilbar sind. Finden Sie dazu die Teiler jedes Termes im Binomial und wählen Sie dann den größten gemeinsamen Teiler aus. Beispielsweise:
   • Eine Aufgabe:${ Displaystil 3t + 6}$.
     • Teiler 3: 1, 3
     • Teiler 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Teilen Sie jeden Term im Binomial durch den Greatest Common Divisor (GCD). Tun Sie dies, um die GCD auszuklammern. Beachten Sie, dass jedes Mitglied des Binomials abnimmt (weil es teilbar ist), aber wenn die GCD aus der Klammer ausgeschlossen wird, ist der endgültige Ausdruck gleich dem ursprünglichen.
   • Eine Aufgabe:${ Displaystil 3t + 6}$.
   • Finden Sie die GCD: 3
   • Teilen Sie jeden Binomialterm durch gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Verschieben Sie den Teiler aus den Klammern. Zuvor haben Sie beide Terme des Binomials durch den Divisor 3 geteilt und erhalten ${ Anzeigestil t + 2}$... Sie können 3 jedoch nicht loswerden. Damit die Werte des Anfangs- und Endausdrucks gleich sind, müssen Sie 3 außerhalb der Klammern setzen und den durch die Division erhaltenen Ausdruck in Klammern schreiben. Beispielsweise:
   • Eine Aufgabe:${ Displaystil 3t + 6}$.
   • Finden Sie die GCD: 3
   • Teilen Sie jeden Binomialterm durch gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multiplizieren Sie den Divisor mit dem resultierenden Ausdruck:${ Anzeigestil 3 (t + 2)}$
   • Antworten: ${ Anzeigestil 3 (t + 2)}$
6. 6 Überprüfe deine Antwort. Multiplizieren Sie dazu den Term vor den Klammern mit jedem Term innerhalb der Klammern. Wenn Sie das ursprüngliche Binomial erhalten, ist die Lösung richtig. Jetzt das Problem lösen ${ Displaystil 12t + 18}$:
   • Bestellen Sie die Mitglieder:${ Displaystil 18 + 12t}$
   • Finden Sie die GCD:${ Anzeigestil 6}$
   • Teilen Sie jeden Binomialterm durch gcd:${ Displaystil { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multiplizieren Sie den Divisor mit dem resultierenden Ausdruck:${ Displaystil 6 (3 + 2t)}$
   • Überprüfen Sie die Antwort:${ Anzeigestil (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Teil 2 von 3: Faktorisieren von Binomialen zum Lösen von Gleichungen

1. 1 Faktorisieren Sie das Binomial, um es zu vereinfachen und die Gleichung zu lösen. Auf den ersten Blick scheint es unmöglich, einige Gleichungen zu lösen (insbesondere bei komplexen Binomialen). Löse zum Beispiel die Gleichung ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$... Es gibt Potenzen in dieser Gleichung, also faktoriere den Ausdruck zuerst.
   • Eine Aufgabe:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Denken Sie daran, dass ein Binomial zwei Elemente hat. Wenn der Ausdruck mehr Terme enthält, lernen Sie, wie man Polynome löst.
2. 2 Addiere oder subtrahiere ein Monom zu beiden Seiten der Gleichung, sodass Null auf einer Seite der Gleichung verbleibt. Bei der Faktorisierung basiert die Lösung von Gleichungen auf der unveränderlichen Tatsache, dass jeder mit Null multiplizierte Ausdruck gleich Null ist. Wenn wir also die Gleichung mit Null gleichsetzen, muss jeder ihrer Faktoren gleich Null sein. Setze eine Seite der Gleichung auf 0.
   • Eine Aufgabe:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Auf Null setzen:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktorisieren Sie den resultierenden Behälter. Tun Sie dies wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Finden Sie den größten gemeinsamen Faktor (GCD), dividieren Sie beide Terme des Binomials durch ihn und verschieben Sie dann den Faktor aus den Klammern.
   • Eine Aufgabe:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Auf Null setzen:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Setzen Sie jeden Faktor auf Null. Im resultierenden Ausdruck wird 2y mit 4 - y multipliziert, und dieses Produkt ist gleich Null. Da jeder mit Null multiplizierte Ausdruck (oder Term) Null ist, ist 2y oder 4 - y 0. Setzen Sie das resultierende Monom und Binomial auf Null, um "y" zu finden.
   • Eine Aufgabe:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Auf Null setzen:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Setzen Sie beide Faktoren auf 0:
     • ${ Anzeigestil 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Lösen Sie die resultierenden Gleichungen, um die endgültige Antwort (oder die Antworten) zu finden. Da jeder Faktor gleich Null ist, kann die Gleichung mehrere Lösungen haben. In unserem Beispiel:
   • ${ Anzeigestil 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Überprüfe deine Antwort. Setzen Sie dazu die gefundenen Werte in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn die Gleichheit wahr ist, ist die Entscheidung richtig. Ersetzen Sie die gefundenen Werte anstelle von "y". In unserem Beispiel ist y = 0 und y = 4:
   • ${ Displaystil 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ Anzeigestil 0 + 0 = 0}$
     • ${ Anzeigestil 0 = 0}$Das ist die richtige Entscheidung
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ Anzeigestil 20-32 = -12}$
     • ${ Anzeigestil -12 = -12}$Und das ist die richtige Entscheidung

Teil 3 von 3: Komplexe Probleme lösen

1. 1 Denken Sie daran, dass ein Term mit einer Variablen auch faktorisiert werden kann, selbst wenn die Variable potenziert wird. Beim Faktorisieren müssen Sie ein Monom finden, das jedes Mitglied des Binomials ganzzahlig teilt. Zum Beispiel das Monom ${ Anzeigestil x ^ {4}}$ kann faktorisiert werden ${ Anzeigestil x * x * x * x}$... Das heißt, wenn der zweite Term des Binomials auch die Variable "x" enthält, kann "x" aus den Klammern genommen werden. Behandeln Sie daher Variablen als ganze Zahlen. Beispielsweise:
   • Beide Mitglieder des Binomials ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "t" enthalten, also kann "t" aus der Klammer genommen werden: ${ Anzeigestil t (2 + t)}$
   • Auch eine auf eine Potenz angehobene Variable kann aus der Halterung entnommen werden. Zum Beispiel sind beide Mitglieder des Binomials ${ Displaystil x ^ {2} + x ^ {4}}$ enthalten ${ Anzeigestil x ^ {2}}$, so ${ Anzeigestil x ^ {2}}$ kann aus der Halterung genommen werden: ${ Displaystil x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Addiere oder subtrahiere ähnliche Terme, um ein Binomial zu erhalten. Zum Beispiel gegeben der Ausdruck ${ Displaystil 6 + 2x + 14 + 3x}$... Auf den ersten Blick ist dies ein Polynom, aber tatsächlich kann dieser Ausdruck in ein Binomial umgewandelt werden. Fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu: 6 und 14 (enthalten keine Variable) und 2x und 3x (enthalten dieselbe Variable "x"). In diesem Fall wird das Factoring vereinfacht:
   • Ursprünglicher Ausdruck:${ Displaystil 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Bestellen Sie die Mitglieder:${ Anzeigestil 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu:${ Displaystil 5x + 20}$
   • Finden Sie die GCD:${ Anzeigestil 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ Anzeigestil 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktorisieren Sie die Differenz der perfekten Quadrate. Ein perfektes Quadrat ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist, zum Beispiel ${ Anzeigestil 9}$${ Anzeigestil (3 * 3)}$, ${ Anzeigestil x ^ {2}}$${ Anzeigestil (x * x)}$ und sogar ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ Anzeigestil (12t * 12t)}$... Ist das Binomial beispielsweise die Differenz perfekter Quadrate, ${ Anzeigestil a ^ {2} -b ^ {2}}$, dann wird es durch die Formel faktorisiert:
   • Differenz der Quadrate Formel:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Eine Aufgabe:${ Displaystil 4x ^ {2} -9}$
   • Extrahiere die Quadratwurzeln:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Setze die gefundenen Werte in die Formel ein: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Faktorisieren Sie die Differenz zwischen den vollständigen Würfeln. Wenn das Binomial zum Beispiel die Differenz vollständiger Würfel ist, ${ Anzeigestil a ^ {3} -b ^ {3}}$, dann wird es mit einer speziellen Formel faktorisiert. In diesem Fall ist es notwendig, die Kubikwurzel aus jedem Mitglied des Binomials zu extrahieren und die gefundenen Werte in die Formel einzusetzen.
   • Die Formel für den Unterschied zwischen den Würfeln:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Eine Aufgabe:${ Anzeigestil 8x ^ {3} -27}$
   • Kubische Wurzeln extrahieren:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Setze die gefundenen Werte in die Formel ein: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktorisiere die Summe der vollen Würfel. Im Gegensatz zur Summe perfekter Quadrate ist die Summe vollständiger Würfel beispielsweise ${ Anzeigestil a ^ {3} + b ^ {3}}$, kann mit einer speziellen Formel faktorisiert werden. Es ähnelt der Formel für die Differenz zwischen Würfeln, aber die Vorzeichen sind umgekehrt. Die Formel ist ziemlich einfach - um sie zu verwenden, finden Sie die Summe der vollen Würfel in der Aufgabe.
   • Die Formel für die Summe der Würfel:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Eine Aufgabe:${ Displaystil 8x ^ {3} -27}$
   • Kubische Wurzeln extrahieren:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Setze die gefundenen Werte in die Formel ein: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tipps

• Manchmal haben Binomialelemente keinen gemeinsamen Teiler. Bei einigen Aufgaben werden die Mitglieder in vereinfachter Form dargestellt.
• Wenn Sie GCD nicht sofort finden können, teilen Sie zunächst durch kleine Zahlen. Wenn Sie beispielsweise nicht sehen, dass die GCD der Zahlen 32 und 16 16 ist, teilen Sie beide Zahlen durch 2. Sie erhalten 16 und 8; diese Zahlen können durch 8 geteilt werden. Jetzt erhalten Sie 2 und 1; diese Zahlen können nicht reduziert werden. Somit ist offensichtlich, dass es eine größere Zahl (im Vergleich zu 8 und 2) gibt, die der gemeinsame Teiler der beiden gegebenen Zahlen ist.
• Beachten Sie, dass Terme sechster Ordnung (mit einem Exponenten von 6, zum Beispiel x) sowohl perfekte Quadrate als auch perfekte Würfel sind. Auf Binomiale mit Termen sechster Ordnung, zum Beispiel x - 64, kann man also (in beliebiger Reihenfolge) die Formeln für die Quadratdifferenz und die Würfeldifferenz anwenden. Es ist jedoch besser, zuerst die Formel für die Quadratdifferenz anzuwenden, um mit einem Binomial korrekter zu zerlegen.

Warnungen

• Ein Binomial, das die Summe perfekter Quadrate ist, kann nicht faktorisiert werden.