Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 2: Algebraische Methode
• Methode 2 von 2: Grafische Methode
• Tipps
• Eine Warnung

Funktionen können gerade, ungerade oder allgemein (d. h. weder gerade noch ungerade) sein. Die Art der Funktion hängt vom Vorhandensein oder Fehlen von Symmetrie ab. Der beste Weg, um die Art der Funktion zu bestimmen, besteht darin, eine Reihe von algebraischen Berechnungen durchzuführen. Die Art der Funktion kann aber auch anhand ihres Zeitplans ermittelt werden. Indem Sie lernen, die Art von Funktionen zu definieren, können Sie das Verhalten bestimmter Kombinationen von Funktionen vorhersagen.

Schritte

Methode 1 von 2: Algebraische Methode

1. 1 Denken Sie daran, was die entgegengesetzten Werte der Variablen sind. In der Algebra wird der entgegengesetzte Wert einer Variablen mit einem „-“ (Minus)-Zeichen geschrieben. Dies gilt im Übrigen für jede Bezeichnung der unabhängigen Variablen (mit dem Buchstaben ${ Anzeigestil x}$ oder ein anderer Brief). Wenn in der ursprünglichen Funktion bereits ein negatives Vorzeichen vor der Variablen steht, dann ist ihr entgegengesetzter Wert eine positive Variable. Nachfolgend finden Sie Beispiele für einige der Variablen und ihre gegensätzlichen Bedeutungen:
   • Die umgekehrte Bedeutung für ${ Anzeigestil x}$ ist ein ${ Anzeigestil -x}$.
   • Die umgekehrte Bedeutung für ${ displaystyle q}$ ist ein ${ displaystyle -q}$.
   • Die umgekehrte Bedeutung für ${ displaystyle -w}$ ist ein ${ Anzeigestil w}$.
2. 2 Ersetzen Sie die erklärende Variable durch ihren entgegengesetzten Wert. Das heißt, kehren Sie das Vorzeichen der unabhängigen Variablen um. Beispielsweise:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ verwandelt sich in ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ Anzeigestil g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ verwandelt sich in ${ Anzeigestil g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ verwandelt sich in ${ Anzeigestil h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Vereinfachen Sie die neue Funktion. An dieser Stelle müssen Sie die unabhängige Variable nicht durch bestimmte numerische Werte ersetzen. Sie müssen nur die neue Funktion f (-x) vereinfachen, um sie mit der ursprünglichen Funktion f (x) zu vergleichen. Erinnern Sie sich an die Grundregel der Exponentiation: Das Erhöhen einer negativen Variablen in eine gerade Potenz führt zu einer positiven Variablen und das Erhöhen einer negativen Variablen in eine ungerade Potenz führt zu einer negativen Variablen.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ Anzeigestil g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ Anzeigestil g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ Displaystil g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ Anzeigestil h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Vergleichen Sie die beiden Funktionen. Vergleichen Sie die vereinfachte neue Funktion f (-x) mit der ursprünglichen Funktion f (x). Schreiben Sie die entsprechenden Terme beider Funktionen untereinander auf und vergleichen Sie ihre Vorzeichen.
   • Stimmen die Vorzeichen der entsprechenden Terme beider Funktionen überein, also f (x) = f (-x), ist die ursprüngliche Funktion gerade. Beispiel:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ und ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Hier fallen die Vorzeichen der Begriffe zusammen, die ursprüngliche Funktion ist also gerade.
   • Sind die Vorzeichen der entsprechenden Terme beider Funktionen entgegengesetzt, also f (x) = -f (-x), ist die ursprüngliche Funktion gerade. Beispiel:
     • ${ Anzeigestil g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, aber ${ Displaystil g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Beachten Sie, dass Sie die zweite Funktion erhalten, wenn Sie jeden Term in der ersten Funktion mit -1 multiplizieren. Somit ist die ursprüngliche Funktion g (x) ungerade.
   • Wenn die neue Funktion keinem der obigen Beispiele entspricht, handelt es sich um eine allgemeine Funktion (dh weder gerade noch ungerade). Beispielsweise:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, aber ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Die Vorzeichen der ersten Terme beider Funktionen sind gleich und die Vorzeichen der zweiten Terme sind entgegengesetzt. Daher ist diese Funktion weder gerade noch ungerade.

Methode 2 von 2: Grafische Methode

1. 1 Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen. Verwenden Sie dazu Millimeterpapier oder einen Grafikrechner. Wählen Sie ein beliebiges Vielfaches der numerischen erklärenden Variablenwerte aus ${ Anzeigestil x}$ und füge sie in die Funktion ein, um die Werte der abhängigen Variablen zu berechnen ${ Anzeigestil y}$... Zeichnen Sie die gefundenen Koordinaten der Punkte auf der Koordinatenebene und verbinden Sie diese Punkte, um einen Funktionsgraphen zu erstellen.
   • Ersetzen Sie positive Zahlenwerte in die Funktion ${ Anzeigestil x}$ und entsprechende negative numerische Werte. Zum Beispiel gegeben die Funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Setzen Sie die folgenden Werte ein ${ Anzeigestil x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten ${ Anzeigestil (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten ${ Anzeigestil (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten ${ Anzeigestil (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten ${ Anzeigestil (-2.9)}$.
2. 2 Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Symmetrie bezieht sich auf die Spiegelung des Diagramms um die Ordinatenachse. Wenn der Teil des Graphen rechts von der y-Achse (positive erklärende Variable) mit dem Teil des Graphen links von der y-Achse übereinstimmt (negative Werte der erklärenden Variablen), ist der Graph ungefähr symmetrisch die y-Achse Wenn die Funktion symmetrisch zur Ordinate ist, ist die Funktion gerade.
   • Sie können die Symmetrie des Graphen anhand einzelner Punkte überprüfen. Wenn der Wert ${ Anzeigestil y}$was dem Wert entspricht ${ Anzeigestil x}$, entspricht dem Wert ${ Anzeigestil y}$was dem Wert entspricht ${ Anzeigestil -x}$, die Funktion ist gerade.In unserem Beispiel mit der Funktion ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ Wir haben die folgenden Koordinaten von Punkten:
     • (1.3) und (-1.3)
     • (2.9) und (-2.9)
   • Beachten Sie, dass bei x = 1 und x = -1 die abhängige Variable y = 3 ist und bei x = 2 und x = -2 die abhängige Variable y = 9 ist. Die Funktion ist also gerade. Um die genaue Form einer Funktion herauszufinden, müssen Sie zwar mehr als zwei Punkte berücksichtigen, aber die beschriebene Methode ist eine gute Näherung.
3. 3 Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. Der Ursprung ist der Punkt mit den Koordinaten (0,0). Symmetrie um den Ursprung bedeutet, dass ein positiver Wert ${ Anzeigestil y}$ (mit einem positiven Wert ${ Anzeigestil x}$) entspricht einem negativen Wert ${ Anzeigestil y}$ (mit einem negativen Wert ${ Anzeigestil x}$), umgekehrt. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.
   • Wenn wir mehrere positive und entsprechende negative Werte in der Funktion ersetzen ${ Anzeigestil x}$, Werte ${ Anzeigestil y}$ wird sich im Vorzeichen unterscheiden. Zum Beispiel gegeben die Funktion ${ Anzeigestil f (x) = x ^ {3} + x}$... Ersetzen Sie mehrere Werte hinein ${ Anzeigestil x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}$... Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}$... Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (-2, -10).
   • Somit ist f (x) = -f (-x), dh die Funktion ist ungerade.
4. 4 Überprüfe, ob der Graph der Funktion eine Symmetrie hat. Der letzte Funktionstyp ist eine Funktion, deren Graph keine Symmetrie hat, dh es gibt keine Spiegelung sowohl um die Ordinatenachse als auch um den Ursprung. Zum Beispiel gegeben die Funktion ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Ersetzen Sie mehrere positive und entsprechende negative Werte in die Funktion ${ Anzeigestil x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}$... Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Habe einen Punkt mit Koordinaten (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}$... Wir haben einen Punkt mit Koordinaten (2, -2).
   • Nach den erhaltenen Ergebnissen gibt es keine Symmetrie. Die Werte ${ Anzeigestil y}$ für gegenteilige Werte ${ Anzeigestil x}$ nicht zusammenfallen und nicht gegensätzlich sind. Somit ist die Funktion weder gerade noch ungerade.
   • Beachten Sie, dass die Funktion ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ kann so geschrieben werden: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... In dieser Form erscheint die Funktion gerade, weil ein gerader Exponent vorhanden ist. Dieses Beispiel beweist jedoch, dass die Art der Funktion nicht schnell bestimmt werden kann, wenn die unabhängige Variable in Klammern eingeschlossen ist. In diesem Fall müssen Sie die Klammern öffnen und die empfangenen Exponenten analysieren.

Tipps

• Wenn der Exponent der unabhängigen Variablen gerade ist, ist die Funktion gerade; ist der Exponent ungerade, ist die Funktion ungerade.

Eine Warnung

• Dieser Artikel kann nur auf Funktionen mit zwei Variablen angewendet werden, deren Werte auf der Koordinatenebene aufgetragen werden können.