Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: Die Grundlagen
• Methode 2 von 3: Berechnung der Unsicherheit bei Mehrfachmessungen
• Methode 3 von 3: Arithmetische Operationen mit Fehlern
• Tipps
• Warnungen

Wenn Sie etwas messen, können Sie davon ausgehen, dass es einen "wahren Wert" gibt, der innerhalb des von Ihnen gefundenen Wertebereichs liegt. Um einen genaueren Wert zu berechnen, müssen Sie das Messergebnis nehmen und beim Addieren oder Subtrahieren eines Fehlers auswerten. Wenn Sie erfahren möchten, wie Sie einen solchen Fehler finden, befolgen Sie diese Schritte.

Schritte

Methode 1 von 3: Die Grundlagen

1. 1 Drücken Sie den Fehler richtig aus. Nehmen wir an, wenn wir einen Stock messen, beträgt seine Länge 4,2 cm plus oder minus einen Millimeter. Das bedeutet, dass der Stick etwa 4,2 cm lang ist, aber tatsächlich kann er etwas kleiner oder mehr als dieser Wert sein - mit einem Fehler von bis zu einem Millimeter.
   • Schreiben Sie den Fehler als: 4,2 cm ± 0,1 cm Sie können dies auch als 4,2 cm ± 1 mm umschreiben, da 0,1 cm = 1 mm.
2. 2 Runden Sie Messwerte immer auf die gleiche Nachkommastelle wie die Unsicherheit. Messergebnisse, die die Unsicherheit berücksichtigen, werden in der Regel auf ein oder zwei signifikante Stellen gerundet. Der wichtigste Punkt ist, dass Sie die Ergebnisse auf dieselbe Dezimalstelle wie den Fehler runden müssen, um die Konsistenz zu wahren.
   • Wenn das Messergebnis 60 cm beträgt, sollte der Fehler auf die nächste ganze Zahl gerundet werden. Der Fehler dieser Messung kann beispielsweise 60 cm ± 2 cm betragen, aber nicht 60 cm ± 2,2 cm.
   • Wenn das Messergebnis 3,4 cm beträgt, wird der Fehler auf 0,1 cm gerundet. Der Fehler dieser Messung kann beispielsweise 3,4 cm ± 0,7 cm betragen, aber nicht 3,4 cm ± 1 cm.
3. 3 Finden Sie den Fehler. Nehmen wir an, Sie messen den Durchmesser einer runden Kugel mit einem Lineal. Dies ist schwierig, da die Krümmung des Balls es schwierig macht, den Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten auf seiner Oberfläche zu messen. Nehmen wir an, ein Lineal kann ein Ergebnis mit einer Genauigkeit von 0,1 cm liefern, aber das bedeutet nicht, dass Sie den Durchmesser mit der gleichen Genauigkeit messen können.
   • Untersuchen Sie Kugel und Lineal, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie genau Sie den Durchmesser messen können. Das Standardlineal hat eine deutliche 0,5-cm-Markierung, aber Sie können den Durchmesser möglicherweise genauer messen. Wenn Sie glauben, den Durchmesser mit einer Genauigkeit von 0,3 cm messen zu können, beträgt der Fehler in diesem Fall 0,3 cm.
   • Messen wir den Durchmesser der Kugel. Nehmen wir an, Sie haben einen Messwert von etwa 7,6 cm, geben Sie einfach das Messergebnis zusammen mit dem Fehler an. Der Kugeldurchmesser beträgt 7,6 cm ± 0,3 cm.
4. 4 Berechnen Sie den Fehler bei der Messung eines Elements von mehreren. Nehmen wir an, Sie erhalten 10 Compact Discs (CDs), jede gleich groß. Nehmen wir an, Sie möchten die Dicke von nur einer CD ermitteln. Dieser Wert ist so klein, dass der Fehler kaum zu berechnen ist.Um jedoch die Dicke (und ihre Unsicherheit) einer CD zu berechnen, können Sie einfach die Messung (und ihre Unsicherheit) der Dicke aller 10 übereinander gestapelten CDs durch die Gesamtzahl der CDs dividieren.
   • Nehmen wir an, die Genauigkeit beim Messen eines CD-Stapels mit einem Lineal beträgt 0,2 cm, Ihr Fehler beträgt also ± 0,2 cm.
   • Nehmen wir an, die Dicke aller CDs beträgt 22 cm.
   • Teilen Sie nun das Messergebnis und den Fehler durch 10 (die Anzahl aller CDs). 22 cm / 10 = 2,2 cm und 0,2 cm / 10 = 0,02 cm Das bedeutet, dass die Dicke einer CD 2,20 cm ± 0,02 cm beträgt.
5. 5 Messen Sie mehrmals. Um die Genauigkeit der Messungen zu verbessern, sei es bei der Längen- oder Zeitmessung, messen Sie den gewünschten Wert mehrmals. Die Berechnung des Durchschnittswertes aus den erhaltenen Werten erhöht die Messgenauigkeit und die Berechnung des Fehlers.

Methode 2 von 3: Berechnung der Unsicherheit bei Mehrfachmessungen

1. 1 Nehmen Sie ein paar Messungen vor. Nehmen wir an, Sie möchten herausfinden, wie lange es dauert, bis der Ball aus der Höhe des Tisches fällt. Um beste Ergebnisse zu erzielen, messen Sie die Fallzeit mehrmals, z. B. fünf. Dann müssen Sie den Durchschnitt der fünf erhaltenen Zeitmessungen ermitteln und dann die Standardabweichung für das beste Ergebnis addieren oder subtrahieren.
   • Nehmen wir an, als Ergebnis von fünf Messungen werden die Ergebnisse erhalten: 0,43 s, 0,52 s, 0,35 s, 0,29 s und 0,49 s.
2. 2 Finden Sie das arithmetische Mittel. Ermitteln Sie nun das arithmetische Mittel, indem Sie fünf verschiedene Messungen addieren und das Ergebnis durch 5 (die Anzahl der Messungen) teilen. 0,43 + 0,52 + 0,35 + 0,29 + 0,49 = 2,08 s. 2,08 / 5 = 0,42 s. Durchschnittliche Zeit 0,42 s.
3. 3 Ermitteln Sie die Varianz der erhaltenen Werte. Ermitteln Sie dazu zunächst die Differenz zwischen jedem der fünf Werte und dem arithmetischen Mittel. Ziehen Sie dazu von jedem Ergebnis 0,42 s ab.
   • • 0,43 s - 0,42 s = 0,01 s
     • 0,52 s - 0,42 s = 0,1 s
     • 0,35 s - 0,42 s = -0,07 s
     • 0,29 s - 0,42 s = -0,13 s
     • 0,49 s - 0,42 s = 0,07 s
     • Addiere nun die Quadrate dieser Differenzen: (0.01) + (0.1) + (-0.07) + (-0.13) + (0.07) = 0.037 s.
     • Sie können das arithmetische Mittel dieser Summe ermitteln, indem Sie es durch 5 teilen: 0,037 / 5 = 0,0074 s.
4. 4 Finden Sie die Standardabweichung. Um die Standardabweichung zu ermitteln, ziehen Sie einfach die Quadratwurzel des arithmetischen Mittels der Quadratsumme. Die Quadratwurzel von 0,0074 = 0,09 s, die Standardabweichung beträgt also 0,09 s.
5. 5 Schreiben Sie Ihre endgültige Antwort auf. Notieren Sie dazu den Mittelwert aller Messungen plus oder minus Standardabweichung. Da der Mittelwert aller Messungen 0,42 s beträgt und die Standardabweichung 0,09 s beträgt, beträgt die endgültige Antwort 0,42 s ± 0,09 s.

Methode 3 von 3: Arithmetische Operationen mit Fehlern

1. 1 Zusatz. Um die Werte mit Fehlern hinzuzufügen, fügen Sie die Werte separat und die Fehler separat hinzu.
   • (5 cm ± 0,2 cm) + (3 cm ± 0,1 cm) =
   • (5cm + 3cm) ± (0,2cm + 0,1cm) =
   • 8cm ± 0,3cm
2. 2 Subtraktion. Um Werte mit Unsicherheiten zu subtrahieren, subtrahiere Werte und addiere Unsicherheiten.
   • (10 cm ± 0,4 cm) - (3 cm ± 0,2 cm) =
   • (10 cm - 3 cm) ± (0,4 cm + 0,2 cm) =
   • 7cm ± 0,6cm
3. 3 Multiplikation. Um die Werte mit Fehlern zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Werte und addieren Sie die RELATIVEN Fehler (in Prozent). Es kann nur der relative Fehler berechnet werden, nicht der absolute, wie dies bei Addition und Subtraktion der Fall ist. Um den relativen Fehler zu ermitteln, dividieren Sie den absoluten Fehler durch den gemessenen Wert und multiplizieren Sie ihn dann mit 100, um das Ergebnis in Prozent auszudrücken. Beispielsweise:
   • (6 cm ± 0,2 cm) = (0,2 / 6) x 100 – das Hinzufügen eines Prozentzeichens ergibt 3,3%.
     Folglich:
   • (6 cm ± 0,2 cm) x (4 cm ± 0,3 cm) = (6 cm ± 3,3%) x (4 cm ± 7,5%)
   • (6cm x 4cm) ± (3,3 + 7,5) =
   • 24cm ± 10,8% = 24cm ± 2,6cm
4. 4 Einteilung. Um die Werte mit Unsicherheiten zu teilen, teilen Sie die Werte und addieren Sie die RELATIVEN Unsicherheiten.
   • (10 cm ± 0,6 cm) ÷ (5 cm ± 0,2 cm) = (10 cm ± 6 %) ÷ (5 cm ± 4 %)
   • (10 cm ÷ 5 cm) ± (6% + 4%) =
   • 2 cm ± 10 % = 2 cm ± 0,2 cm
5. 5 Potenzierung. Um einen Wert mit einem Fehler zu potenzieren, erhöhen Sie den Wert, und multiplizieren Sie den relativen Fehler mit einer Potenz.
   • (2,0 cm ± 1,0 cm) =
   • (2,0 cm) ± (50 %) x 3 =
   • 8,0 cm ± 150 % oder 8,0 cm ± 12 cm

Tipps

• Sie können sowohl für das Gesamtergebnis aller Messungen als auch für jedes Ergebnis einer Messung separat einen Fehler angeben.Typischerweise sind Daten, die aus mehreren Messungen gewonnen wurden, weniger zuverlässig als Daten, die direkt aus Einzelmessungen gewonnen wurden.

Warnungen

• Die exakten Wissenschaften arbeiten nie mit "wahren" Werten. Während eine korrekte Messung wahrscheinlich einen Wert innerhalb der Fehlerspanne ergibt, gibt es keine Garantie dafür, dass dies der Fall ist. Wissenschaftliche Messungen erlauben Fehler.
• Die hier beschriebenen Unsicherheiten gelten nur für Normalverteilungsfälle (Gaußsche Verteilung). Andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfordern andere Lösungen.