Inhalt

• Schritte
• Methode 1 von 3: Satz des Pythagoras
• Methode 2 von 3: Sonderfälle
• Methode 3 von 3: Der Sinussatz

Alle rechtwinkligen Dreiecke haben einen rechten Winkel (90 Grad), und die gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks und kann auf verschiedene Weise gefunden werden. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Hypotenuse nach dem Satz des Pythagoras (wenn die Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks bekannt sind) nach dem Sinussatz (wenn die Länge des Beins und der Winkel bekannt) und in einigen Sonderfällen (solche Aufgaben finden sich häufig bei Kontrollen und Prüfungen).

Schritte

Methode 1 von 3: Satz des Pythagoras

1. 1 Der Satz des Pythagoras verbindet alle Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Nach diesem Satz gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Beinen "a" und "b" und der Hypotenuse "c": a + b = c.
2. 2 Stellen Sie sicher, dass das Dreieck, das Sie erhalten, rechtwinklig ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Bei rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.
   • Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein quadratisches Symbol angezeigt.
3. 3 Füge Hilfslinien für die Seiten des Dreiecks hinzu. Beschriften Sie die Beine mit "a" und "b" (Beine - Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit "c" (Hypotenuse - die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die einem rechten Winkel gegenüberliegt). Setze dann die angegebenen Werte in die Formel ein.
   • Zum Beispiel sind die Schenkel eines Dreiecks 3 und 4. In diesem Fall ist a = 3, b = 4 und die Formel sieht so aus: 3 + 4 = c.
4. 4 Quadrieren Sie die Beinwerte ("a" und "b"). Dazu multiplizieren Sie einfach die Zahl mit sich selbst:
   • Wenn a = 3, dann a = 3 x 3 = 9. Wenn b = 4, dann b = 4 x 4 = 16.
   • Setze diese Werte in die Formel ein: 9 + 16 = s.
5. 5 Addiere die gefundenen Quadrate der Beine (a und b), um das Quadrat des Hypotenusenwertes (c) zu berechnen.
   • In unserem Beispiel 9 + 16 = 25, so c = 25.
6. 6 Finden Sie die Quadratwurzel von c. Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Quadratwurzel des gefundenen Wertes zu ermitteln. Dadurch wird die Hypotenuse des Dreiecks berechnet.
   • In unserem Beispiel c = 25... Die Quadratwurzel von 25 ist 5 (da 5 x 5 = 25, so √25 = 5). Dies bedeutet, dass die Hypotenuse c = 5.

Methode 2 von 3: Sonderfälle

1. 1 Definition des pythagoräischen Tripletts. Ein pythagoräisches Tripel sind drei Zahlen (die Längen von drei Seiten), die den Satz des Pythagoras erfüllen. Sehr oft werden Dreiecke mit solchen Seiten in Lehrbüchern und bei Tests gezeigt. Wenn Sie sich die ersten pythagoräischen Drillinge merken, sparen Sie viel Zeit bei Tests oder Prüfungen, da Sie die Hypotenuse allein anhand der Beinlängen berechnen können.
   • Das erste pythagoräische Triplett: 3-4-5 (3 + 4 = 5, 9 + 16 = 25). Bei einem Dreieck mit den Beinen 3 und 4 können Sie sicher sagen, dass die Hypotenuse 5 ist (ohne Berechnungen durchführen zu müssen).
   • Pythagoräische Tripel funktionieren auch dann, wenn Zahlen mit einem Faktor multipliziert oder dividiert werden. Zum Beispiel, wenn die Beine gleich sind 6 und 8, die Hypotenuse ist 10 (6 + 8 = 10, 36 + 64 = 100). Das gleiche gilt für 9-12-15 und sogar für 1,5-2-2,5.
   • Zweites pythagoräisches Triplett: 5-12-13 (5 + 12 = 13, 25 + 144 = 169). Außerdem enthält dieses Tripel zum Beispiel die Zahlen 10-24-26 und 2,5-6-6,5.
2. 2 Gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Dies ist ein solches Dreieck, dessen Winkel 45,45 und 90 Grad betragen. Das Verhältnis zwischen den Seiten dieses Dreiecks ist 1:1:√2... Dies bedeutet, dass die Hypotenuse in einem solchen Dreieck gleich dem Produkt des Beins und der Quadratwurzel von 2 ist.
   • Um die Hypotenuse eines solchen Dreiecks zu berechnen, multiplizieren Sie einfach die Länge eines beliebigen Beins mit √2.
   • Diese Beziehung ist besonders praktisch, wenn in Problemen Variablen anstelle von Zahlenwerten angegeben werden.
3. 3 Hälfte eines gleichseitigen rechtwinkligen Dreiecks. Dies ist ein solches Dreieck, dessen Winkel 30,60 und 90 Grad betragen.Das Verhältnis zwischen den Seiten dieses Dreiecks ist 1:√3:2 oder x: x√3: 2x... Um die Hypotenuse in einem solchen Dreieck zu finden, gehen Sie wie folgt vor:
   • Wenn Sie ein kurzes Bein erhalten (das Gegenteil von einem 30-Grad-Winkel), multiplizieren Sie einfach die Länge dieses Beins mit 2, um die Länge der Hypotenuse zu ermitteln. Zum Beispiel, wenn das kurze Bein 4, dann ist die Hypotenuse 8.
   • Wenn Sie ein langes Bein erhalten (im Gegensatz zu einem 60-Grad-Winkel), multiplizieren Sie einfach die Länge dieses Beins mit 2/√3um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen. Zum Beispiel, wenn das kurze Bein 4, dann ist die Hypotenuse 4,62.

Methode 3 von 3: Der Sinussatz

1. 1 Verstehe, was "Sinus" bedeutet. Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels sind die grundlegenden trigonometrischen Funktionen, die Winkel und Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck verbinden. Der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis der Gegenseite zur Hypotenuse... Der Sinus wird bezeichnet als Sünde.
2. 2 Sinus berechnen lernen. Um den Sinus zu berechnen, suchen Sie auf dem Taschenrechner den Schlüssel Sünde, klicken Sie darauf und geben Sie dann einen Wert für den Winkel ein. Bei einigen Taschenrechnern müssen Sie zuerst die Funktionstaste drücken und dann die Taste Sünde... Experimentieren Sie also mit dem Taschenrechner oder überprüfen Sie seine Dokumentation.
   • Um den Sinus eines Winkels von 80 Grad zu ermitteln, drücken Sie „sin“, „8“, „0“, „=“ oder drücken Sie „8“, „0“, „sin“, „=“ (Antwort: -0.9939) .
   • Sie können auch einen Online-Rechner finden, indem Sie nach "sinus berechnen" (ohne Anführungszeichen) suchen.
3. 3 Lerne den Satz von Sinus auswendig. Der Sinussatz ist ein nützliches Werkzeug zur Berechnung der Winkel und Seiten eines beliebigen Dreiecks. Insbesondere hilft es Ihnen, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn Sie ein Bein und einen anderen Winkel als den rechten Winkel erhalten. Nach dem Sinussatz gilt in jedem Dreieck mit Seiten ein, B, C und Ecken EIN, B, C Gleichberechtigung ist wahr ein / Sünde EIN = B / Sünde B = C / Sünde C.
   • Der Sinussatz gilt für alle Dreiecke, nicht nur für rechtwinklige Dreiecke (aber nur ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse).
4. 4 Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks mit "a" (bekanntes Bein), "b" (unbekanntes Bein), "c" (Hypotenuse). Dann markieren Sie die Winkel des Dreiecks durch "A" (gegenüber dem Bein "a"), "B" (gegenüber dem Bein "b"), "C" (gegenüber der Hypotenuse).
5. 5 Finde die dritte Ecke. Wenn Sie eine der spitzen Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks (ABER oder IN), und der zweite Winkel beträgt immer 90 Grad (C = 90), dann berechnet sich der dritte Winkel nach der Formel 180 - (90 + A) = B (Denken Sie daran, dass die Summe der Winkel in jedem Dreieck 180 Grad beträgt). Bei Bedarf kann die Gleichung wie folgt geändert werden: 180 - (90 + B) = A.
   • Wenn zum Beispiel der Winkel A = 40 Grad, dann B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 Grad.
6. 6 Zu diesem Zeitpunkt kennen Sie die Werte aller drei Winkel und die Länge des Beins "a". Jetzt können Sie diese Werte in die Sinussatzformel einsetzen, um die anderen beiden Seiten zu finden.
   • Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass das Bein a = 10 ist und die Winkel C = 90˚, A = 40˚, B = 50˚ sind.
7. 7 Setze die Daten und die gefundenen Werte in den Sinussatz ein, um die Hypotenuse zu finden:Bein "a" / Sinus des Winkels "A" = Hypotenuse "c" / Sinus des Winkels "C"... In diesem Fall ist sin 90˚ = 1. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu: a / sinA = c / 1 oder c = a / sinA.
8. 8 Teilen Sie die Länge des Beins "a" durch den Sinus des Winkels "A", um die Länge der Hypotenuse zu ermitteln. Finden Sie dazu zuerst den Sinus des Winkels und teilen Sie dann. Oder Sie können den Rechner verwenden, indem Sie eingeben 10 / (sünde40) oder 10 / (40sin) (Vergiss die Klammern nicht).
   • In unserem Beispiel ist sin 40 = 0.64278761 und c = 10/0,64278761 = 15,6.