Analysieren Sie quadratische Gleichungen in Faktoren - Tipps

Video: Quadratische Gleichungen lösen #2: Ausklammern aka Faktorisieren | How to Mathe

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In Mathematik, Faktorenanalyse ist es, Zahlen oder Ausdrücke mit dem Produkt einer gegebenen Zahl oder Gleichung zu finden. Die Faktorenanalyse ist eine nützliche Fähigkeit, um grundlegende algebraische Probleme zu lösen: Die Fähigkeit, geschickt zu faktorisieren, ist für die Arbeit fast entscheidend. mit algebraischen Gleichungen oder anderen Polynomformen. Die Faktorenanalyse kann verwendet werden, um algebraische Ausdrücke zu reduzieren und das Problem zu vereinfachen. Dank dessen können Sie bestimmte mögliche Antworten sogar viel schneller eliminieren als von Hand lösen.

Schritte

Methode 1 von 3: Analysieren Sie Zahlen und grundlegende algebraische Ausdrücke in Faktoren

Verstehen Sie die Definition der Faktoranalyse bei der Anwendung auf einzelne Zahlen. Obwohl konzeptionell einfach, kann die Anwendung komplexer Gleichungen in der Praxis eine große Herausforderung sein. Daher besteht der einfachste konzeptionelle Ansatz zur Faktoranalyse darin, von einzelnen Zahlen auszugehen und dann zu einfachen Gleichungen überzugehen, bevor mit fortgeschritteneren Anwendungen fortgefahren wird. Faktor für eine gegebene Zahl sind Zahlen mit dem Produkt der gleichen Zahl. Zum Beispiel sind 1, 12, 2, 6, 3 und 4 Faktoren von 12, weil 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4 alle gleich 12 sind.
- Mit anderen Worten, die Faktoren einer gegebenen Zahl sind Zahlen ist geteilt durch diese Nummer.
- Können Sie den vollen Faktor 60 finden? Die Zahl 60 wird für viele verschiedene Zwecke verwendet (Minuten in einer Stunde, Sekunden in einer Minute usw.), da sie durch viele Zahlen teilbar ist.
  - Die Zahl 60 hat die folgenden Faktoren: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.
Verstehen Sie, dass Ausdrücke, die Variablen enthalten, auch faktorisiert werden können. Neben unabhängigen Zahlen können auch Variablen mit arithmetischen Koeffizienten faktorisiert werden. Dazu müssen wir nur die Faktoren des Koeffizienten der Variablen finden. Das Wissen, wie man die Analyse faktorisiert, ist sehr nützlich bei der einfachen Transformation algebraischer Gleichungen, die Variablen enthalten.
- Zum Beispiel kann 12x umgeschrieben werden, um Ergebnisse von 12 und x zu erhalten. Es ist möglich, 12x als 3 (4x), 2 (6x) usw. zu schreiben und den Faktor zu verwenden, der für die beabsichtigte Verwendung von 12 am besten geeignet ist.
  - Sie können sogar bis zur 12-fachen Analyse gehen viele Male. Mit anderen Worten, es besteht keine Notwendigkeit, bei 3 (4x) oder 2 (6x) anzuhalten - wir können 4x und 6x analysieren, um 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) zu erhalten. Diese Formel ist äquivalent.
Wenden Sie assoziative Multiplikationseigenschaften an, um algebraische Gleichungen zu faktorisieren. Mit Ihrem Wissen, sowohl unabhängige Zahlen als auch Koeffizienten in Faktoren zu analysieren, können Sie einfache algebraische Gleichungen vereinfachen, indem Sie gemeinsame Faktoren für die in der Gleichung enthaltenen Zahlen und Variablen finden. Damit die Gleichung so einfach wie möglich ist, werden wir oft versuchen, den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Diese einfache Transformation ist dank des assoziativen Charakters der Multiplikation möglich - für jede Zahl a, b und c haben wir: a (b + c) = ab + ac.
- Betrachten wir das folgende Beispielproblem. Um die algebraische Gleichung 12x + 6 in einen Faktor zu zerlegen, finden wir zuerst den größten gemeinsamen Teiler von 12x und 6. 6 ist die größte Zahl, durch die sowohl 12x als auch 6 teilbar sind, sodass wir einfach transformieren können Reduzieren Sie die Gleichung auf 6 (2x + 1).
- Der gleiche Prozess gilt für Gleichungen, die negative Vorzeichen und Brüche tragen. Zum Beispiel kann x / 2 + 4 einfach in 1/2 (x + 8) konvertiert werden und -7x + -21 kann in -7 (x + 3) zerlegt werden.
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Methode 2 von 3: Analyse quadratischer Gleichungen in Faktoren

Stellen Sie sicher, dass die Gleichung quadratisch ist (ax + bx + c = 0). Die quadratische Gleichung hat die Form ax + bx + c = 0, wobei a, b und c Konstanten sind und a ungleich Null ist (beachten Sie, dass a kann gleich 1 oder -1). Wenn die Gleichung mit einer Variablen (x) einen oder mehrere Terme enthält, die das Quadrat von x enthalten, können Sie normalerweise die algebraische Grundgleichung in die Nullseite des Vorzeichens konvertieren und ax usw. lassen. auf der anderen Seite.
- Zum Beispiel kann die algebraische Gleichung 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 auf x + 6x + 9 = 0 reduziert werden, was eine quadratische Form ist.
- Gleichungen, bei denen x einen höheren Exponenten hat, wie z. B. x, x usw. kann nicht quadratisch sein. Sie sind quadratisch, quaternär, ... es sei denn, die Gleichung kann durch Eliminieren von Termen, die die Potenzen von 3 oder mehr von x enthalten, reduziert werden.
Bei quadratischen Gleichungen zerlegen wir, wenn a = 1 ist, in (x + d) (x + e), wobei d × e = c und d + e = b. Wenn die quadratische Gleichung die Form x + bx + c = 0 hat (mit anderen Worten, wenn der Koeffizient von x = 1 ist), besteht die Möglichkeit (aber nicht sicher), dass wir eine relativ schnelle Berechnung verwenden können. Es ist einfach, diese Gleichung zu faktorisieren. Finden Sie zwei Zahlen gleich c und die Summe ist gleich b. Wenn Sie d und e gefunden haben, ersetzen Sie sie durch den folgenden Ausdruck: (x + d) (x + e). Zusammen ergeben diese beiden Elemente die obige quadratische Gleichung - mit anderen Worten, sie sind Faktoren der Gleichung.
- Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung x + 5x + 6 = 0. 3 und 2 haben ein Produkt von 6 und gleichzeitig insgesamt 5. Daher können wir die Gleichung einfach in (x + 3) umwandeln ( x + 2).
- Diese grundlegende schnelle Lösung wird etwas anders sein, wenn die Gleichung selbst etwas anders ist:
  - Wenn die quadratische Gleichung die Form x-bx + c hat, hat Ihre Antwort die Form: (x - _) (x - _).
  - Wenn es die Form x + bx + c hat, lautet Ihre Antwort: (x + _) (x + _).
  - Wenn es in x-bx-c ist, hat Ihre Antwort die Form (x + _) (x - _).
- Hinweis: In Leerzeichen können Brüche oder Dezimalstellen stehen. Zum Beispiel zerfällt die Gleichung x + (21/2) x + 5 = 0 in (x + 10) (x + 1/2).
Führen Sie nach Möglichkeit eine Faktoranalyse durch Testen durch. Ob Sie es glauben oder nicht, mit der unkomplizierten quadratischen Gleichung besteht eine der akzeptierten Methoden zur Faktorisierung darin, einfach das Problem zu betrachten und dann alle möglichen Antworten abzuwägen, bis ein Ergebnis gefunden wird. korrekte Antwort. Es ist auch als Testmethode bekannt.Wenn die Gleichung die Form ax + bx + c und a> 1 hat, hat Ihre Faktorisierung die Form (dx +/- _) (ex +/- _), wobei d und e Konstanten sind der andere ist nicht gleich a. d oder e (oder beides) kann gleich 1, obwohl es nicht unbedingt sein muss. Wenn beide gleich 1 sind, hätten Sie im Grunde die oben gezeigte schnelle Arbeit verwendet.
- Betrachten Sie das folgende Beispielproblem. Auf den ersten Blick sieht 3x - 8x + 4 ziemlich einschüchternd aus. Sobald Sie jedoch feststellen, dass 3 nur zwei Faktoren hat (3 und 1), wird das Problem einfacher, da wir wissen, dass die Antwort die Form (3x +/- _) (x +/- _) haben muss. In diesem Fall ergibt das Ersetzen von -2 durch beide Leerzeichen die richtige Antwort. -2 × 3x = -6x und -2 × x = -2x. -6x und -2x insgesamt gleich -8x. -2 × -2 = 4, daher ist ersichtlich, dass die in Klammern analysierten Elemente die Anfangsgleichung ergeben.
Lösen Sie das Problem, indem Sie das Quadrat ausfüllen. In einigen Fällen können quadratische Gleichungen schnell und einfach mit einer speziellen algebraischen Identität multipliziert werden. Jede quadratische Gleichung der Form x + 2xh + h = (x + h). Wenn also in der Gleichung b die doppelte Quadratwurzel von c ist, kann die Gleichung in (x + (sqrt (c))) zerlegt werden.
- Die Gleichung x + 6x + 9 würde zum Beispiel für diese Form funktionieren. 3 ist gleich 9 und 3 × 2 ist gleich 6. Wir wissen also, dass die Faktorisierungsform dieser Gleichung (x + 3) (x + 3) oder (x + 3) ist.
Löse quadratische Gleichungen mit Faktoren. In beiden Fällen können Sie nach der Faktorisierung des quadratischen Ausdrucks eine mögliche Antwort auf den Wert von x finden, indem Sie jedem Faktor Null geben und ihn lösen. Da Sie nach dem Wert von x suchen, sodass die Gleichung Null ist, ist jedes x, das bewirkt, dass ein Faktor Null ist, eine mögliche Lösung für diese Gleichung.
- Gehen Sie zurück zur Gleichung x + 5x + 6 = 0. Diese wird in (x + 3) (x + 2) = 0 zerlegt. Wenn ein Faktor Null ist, wird die gesamte Gleichung Null. Mögliche Lösungen von x sind die Zahlen, die (x + 3) und (x + 2) gleich 0, -3 bzw. -2 machen.
Überprüfen Sie Ihre Antworten - einige können exotisch sein! Wenn Sie mögliche Lösungen von x finden, ersetzen Sie diese durch die ursprüngliche Gleichung, um festzustellen, ob sie korrekt sind oder nicht. Manchmal findet die Antwort es kein Problem bewirkt, dass die ursprüngliche Gleichung beim Ersetzen Null ist. Wir nennen diese Lösungen Exotisch und beseitigen sie.
- Ersetzen wir -2 und -3 durch x + 5x + 6 = 0. Zuerst -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ja, also ist -2 eine gültige Lösung der Gleichung.
- Versuchen wir es jetzt mit -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Dies gilt auch und daher ist -3 auch eine gültige Lösung der Gleichung.
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Methode 3 von 3: Analysieren Sie andere Arten von Gleichungen in Faktoren

Wenn die Gleichung in der Form a-b vorliegt, zerlegen Sie sie in (a + b) (a-b). Die Zwei-Variablen-Gleichung wird anders analysiert als die quadratische Grundgleichung. Jede a-b-Gleichung, in der a und b ungleich Null sind, wird in (a + b) (a-b) zerlegt.
- Zum Beispiel ist die Gleichung 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Wenn die Gleichung die Form a + 2ab + b hat, zerlegen Sie sie in (a + b). Beachten Sie, dass, wenn das Trinom in der Form a vorliegt-In 2ab + b unterscheidet sich die Faktorisierungsform geringfügig: (a-b).
- Die Gleichungen 4x + 8xy + 4y können als 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y umgeschrieben werden. Jetzt sehen wir, dass es in der richtigen Form ist und können sicher sagen, dass die Faktorisierungsform dieser Gleichung (2x + 2y) ist.
Wenn die Gleichung in der Form a-b vorliegt, zerlegen Sie sie in (a-b) (a + ab + b). Schließlich sollte gesagt werden, dass kubische Gleichungen und Gleichungen höherer Ordnung faktorisiert werden können. Der Analyseprozess wird jedoch schnell unglaublich komplex.
- Zum Beispiel zerfällt 8x - 27y in (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
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Rat

a-b kann faktorisiert werden und a + b nicht.
Denken Sie daran, wie Konstanten berücksichtigt werden - dies kann hilfreich sein.
Achten Sie bei der Faktoranalyse auf Brüche und behandeln Sie sie ordnungsgemäß und angemessen.
Mit dem Dreizack x + bx + (b / 2) wäre seine Faktorisierung (x + (b / 2)) (Sie könnten auf diese Situation stoßen, während Sie das Quadrat ausfüllen).
Denken Sie daran, dass a0 = 0 (Eigenschaft multipliziert mit Null).