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Eine quadratische Gleichung ist ein Polynom mit einer Variablen, wobei 2 der höchste Exponent dieser Variablen ist. Es gibt drei Hauptmethoden, um quadratische Gleichungen zu lösen: 1) Faktorisieren Sie sie, wenn Sie können, 2) Verwenden Sie die quadratische Formel oder 3) Vervollständigen Sie das Quadrat. Befolgen Sie diese Schritte, um zu lernen, wie Sie mit diesen drei Methoden vertraut werden.

Schritte

Methode 1 von 3: Analyse von Gleichungen in Faktoren

1. 

   Fügen Sie dieselben Begriffe hinzu und verschieben Sie sie auf eine Seite der Gleichung. Der erste Schritt bei der Faktorenanalyse besteht darin, alle Begriffe so beiseite zu legen, dass sie positiv sind. Um Begriffe zu kombinieren, addieren oder subtrahieren Sie alle Begriffe, alle enthaltenen Begriffe und Konstanten (die Begriffe sind Ganzzahlen), konvertieren Sie sie auf eine Seite und lassen Sie nichts auf der anderen Seite. Sie können dann "0" auf die andere Seite des Gleichheitszeichens schreiben. So geht's:

2. 

   
   
   Analysieren Sie den Ausdruck in den Faktor. Um einen Ausdruck zu faktorisieren, müssen Sie die Faktoren des Ausdrucks, der (3) enthält, und die Faktoren der Konstante (-4) verwenden, um sie zu multiplizieren und dann zum mittleren Ausdruck (-11) hinzuzufügen. . So geht's:
   • Da nur ein möglicher Faktor festgelegt ist und Sie ihn in Klammern wie folgt umschreiben können:
   • Verwenden Sie als Nächstes die Reduktion, um die Faktoren 4 zu kombinieren und die Kombination zu finden, die bei Multiplikation -11x ergibt. Sie können 4 und 1 oder 2 und 2 verwenden, da beide ein Produkt von 4 haben. Denken Sie daran, dass ein Faktor negativ sein muss, da unser Term -4 ist.
   • Mit der Testmethode werden wir die Kombination der Faktoren überprüfen. Wenn wir die Multiplikation implementieren, erhalten wir. Addieren Sie die Begriffe und wir haben genau die Mittelfrist, die wir anstreben. Wir haben also gerade die quadratische Funktion faktorisiert.
   • Lassen Sie uns als Beispiel für diesen Test eine fehlerhafte (falsche) Kombination von: = untersuchen. Wenn wir diese Begriffe kombinieren, erhalten wir. Obwohl es stimmt, dass -2 und 2 Produkte gleich -4 haben, ist der Ausdruck dazwischen nicht korrekt, weil wir ihn brauchen, nicht.

3. 

   
   
   Jeder Ausdruck in Klammern sei Null als einzelne Gleichungen. Suchen Sie von dort aus zwei Werte, die die Gesamtgleichung gleich Null = 0 machen. Sobald Sie die Gleichung faktorisiert haben, müssen Sie den Ausdruck nur noch in Klammern mit Null einschließen. Warum? Das liegt daran, dass wir für ein Nullprodukt ein "Prinzip, Gesetz oder Eigentum" haben, dass ein Faktor Null sein muss. Daher muss mindestens ein Wert in Klammern Null sein. das heißt (3x + 1) oder (x - 4) muss Null sein. Also haben wir auch.

4. 

   
   
   Lösen Sie jede dieser "Null" -Gleichungen unabhängig voneinander. Die quadratische Gleichung hat zwei mögliche Lösungen. Finden Sie jede mögliche Lösung für die Variable x, indem Sie die Variable trennen und ihre beiden Lösungen als Endergebnis aufschreiben. Hier ist wie:
   • Löse 3x + 1 = 0
     • Subtrahieren Sie zwei Seiten: 3x = -1 .....
     • Teilen Sie die Seiten: 3x / 3 = -1/3 .....
     • Zusammenbruch: x = -1/3 .....
   • Löse x - 4 = 0
     • Subtrahieren Sie zwei Seiten: x = 4 .....
   • Schreiben Sie Ihre eigenen möglichen Lösungen: x = (-1/3, 4) ....., dh x = -1/3 oder x = 4 sind beide korrekt.

5. 

   Überprüfen Sie x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Anstelle eines Ausdrucks haben wir (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Zusammenbruch: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Multiplikation durchführen, wir erhalten (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Richtig, x = -1/3 ist eine Lösung von Gleichung.

6. 

   Überprüfen Sie x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   Anstelle eines Ausdrucks haben wir (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Zusammenbruch, wir bekommen: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Multiplikation durchführen: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Richtig, x = 4 ist eine Lösung der Gleichung.
   • Beide möglichen Lösungen wurden also einzeln "getestet", und es kann bestätigt werden, dass beide das Problem lösen und zwei separate echte Lösungen sind.
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Methode 2 von 3: Verwenden Sie die quadratische Formel

1. 

   Fügen Sie dieselben Begriffe hinzu und verschieben Sie sie auf eine Seite der Gleichung. Konvertieren Sie alle Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens, sodass der Term das positive Vorzeichen enthält. Schreiben Sie die Begriffe in absteigender Reihenfolge um, was bedeutet, dass der Begriff zuerst kommt, gefolgt von und schließlich die Konstante. Hier ist wie:
   • 4x - 5x - 13 = x - 5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   Schreiben Sie Ihre quadratische Formel auf. Das ist:

3. 

   Bestimmen Sie die Werte von a, b und c in der quadratischen Gleichung. aus ein ist der Koeffizient von x, b ist der Koeffizient von x und c ist eine Konstante. Mit der Gleichung 3x -5x - 8 = 0 ist a = 3, b = -5 und c = -8. Bitte auf Papier schreiben.

4. 

   Stecken Sie die Werte von a, b und c in die Gleichung. Nachdem Sie die Werte der drei oben genannten Variablen kennen, können Sie sie wie folgt in die Gleichung einfügen:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   Berechnungen durchführen. Nachdem Sie die Zahlen ersetzt haben, führen Sie den Rest der Berechnung durch, um die positiven oder negativen Vorzeichen zu reduzieren, die verbleibenden Terme zu multiplizieren oder zu quadrieren. Hier ist wie:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   Reduzieren Sie die Quadratwurzel. Wenn unter dem radikalen Zeichen ein perfektes Quadrat steht, erhalten Sie eine ganze Zahl. Wenn es kein perfektes Quadrat ist, reduzieren Sie es auf seine einfachste radikale Form. Wenn es negativ ist, und du bist sicher, dass es negativ sein solltewird die Lösung ziemlich kompliziert sein. In diesem Beispiel ist √ (121) = 11. Wir könnten schreiben: x = (5 +/- 11) / 6.

7. 

   Löse nach den positiven und negativen Lösungen. Wenn Sie die Quadratwurzel entfernt haben, können Sie fortfahren, bis Sie die positiven und negativen Lösungen von x gefunden haben. Nachdem Sie (5 +/- 11) / 6 haben, können Sie zwei Optionen schreiben:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   Finden Sie die positiven und negativen Lösungen. Wir müssen nur die Berechnung durchführen:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   Zusammenbruch. Um Ihre Antwort zu vereinfachen, teilen Sie einfach sowohl den Zähler als auch das Modell durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Teilen Sie den Zähler und Nenner des ersten Bruchs durch 2 und den Nenner und den Nenner des zweiten Bruchs durch 6, und Sie haben x gefunden.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
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Methode 3 von 3: Vervollständige das Quadrat

1. 

   Verschieben Sie alle Terme auf eine Seite der Gleichung. Stelle sicher das ein oder x hat ein positives Vorzeichen. Hier ist wie:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • In dieser Gleichung ein gleich 2, b gleich -12 und c gleich -9.

2. 

   Ging weiter c oder konstant zur anderen Seite. Konstanten sind numerische Begriffe, die keine Variablen enthalten. Verschieben wir es auf die rechte Seite der Gleichung:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   Teilen Sie beide Seiten durch die Koeffizienten ein oder der Koeffizient von x. Wenn x keinen Term vor sich hat, ist sein Koeffizient 1 und Sie können diesen Schritt überspringen. In unserem Fall müssten Sie alle Terme in der Gleichung wie folgt durch 2 teilen:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   Teilen b Quadrieren Sie es um zwei und addieren Sie das Ergebnis zu beiden Seiten. In diesem Beispiel b gleich -6. Wir machen folgendes:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   Reduzieren Sie zwei Seiten. Um die linke Seite zu faktorisieren, haben wir (x-3) (x-3) oder (x-3). Fügen Sie die rechte Seite hinzu, um 9/2 + 9 oder 9/2 + 18/2 zu erhalten, und erhalten Sie 2/27.

6. 

   Finden Sie die Quadratwurzel beider Seiten. Die Quadratwurzel von (x-3) ist (x-3). Sie können die Quadratwurzel von 27/2 als ± √ (27/2) ausdrücken. Also ist x - 3 = ± √ (27/2).

7. 

   Reduziere das radikale Zeichen und finde x. Um ± √ (27/2) zu reduzieren, finden wir ein Quadrat innerhalb von 27, 2 oder einen Faktor davon. Das perfekte Quadrat 9 ist in 27, weil 9x3 = 27. Um 9 aus dem Radikalzeichen zu entfernen, ziehen wir es heraus und schreiben 3, seine Quadratwurzel, zusätzlich zum Radikalzeichen. Der verbleibende Faktor 3 im Zähler kann nicht ausgegeben werden und bleibt daher unter dem Radikalzeichen. Gleichzeitig belassen wir auch 2 in der Probe der Fraktion. Verschieben Sie als Nächstes die Konstante 3 auf der linken Seite der Gleichung nach rechts und schreiben Sie die beiden Lösungen auf:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
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Rat

• Wie zu sehen ist, verschwindet das radikale Zeichen nicht vollständig. Daher können Begriffe im Zähler nicht kumulativ sein (da sie nicht Begriffe derselben Eigenschaft sind). Daher ist die Plus- oder Minus-Division bedeutungslos. Stattdessen können wir aber alle gemeinsamen Faktoren aufteilen GERADE wenn konstant UND Koeffizienten eines Radikals enthalten ebenfalls diesen Faktor.
• Wenn das radikale Zeichen kein perfektes Quadrat ist, können die letzten Schritte etwas anders ausgeführt werden. Sowie:
• Wenn "b" eine gerade Zahl ist, wäre die Formel: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.