Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 3: Das Problem verstehen
• Methode 2 von 3: Strukturieren eines Beweises
• Methode 3 von 3: Formulierung der Beweise
• Tipps

Mathematische Beweise können schwierig sein, aber mit dem richtigen Hintergrundwissen sowohl in der Mathematik als auch in der Struktur eines Beweises können Sie sie sicherlich erfolgreich formulieren. Leider gibt es keinen schnellen und einfachen Weg, um zu lernen, wie man Beweise erstellt. Sie benötigen eine solide Grundlage in Ihrem Fachwissen, um die richtigen Thesen und Definitionen für die logische Entwicklung Ihrer Beweise zu erstellen. Wenn Sie Beispiele lesen und sich selbst üben, können Sie die Fähigkeiten des mathematischen Beweises beherrschen.

Schreiten

Methode 1 von 3: Das Problem verstehen

1. Verstehe die Frage. Sie müssen zuerst genau bestimmen, was Sie zu beweisen versuchen. Diese Frage wird auch als endgültige These der Beweise dienen. In diesem Schritt definieren Sie auch die Annahmen, mit denen Sie arbeiten werden. Wenn Sie die Frage identifizieren und die erforderlichen Annahmen treffen, erhalten Sie einen Ausgangspunkt für das Verständnis des Problems und die Entwicklung der Beweise.
2. Zeichnen Sie Diagramme. Wenn Sie versuchen, das Innenleben eines mathematischen Problems zu verstehen, ist es manchmal am einfachsten, ein Diagramm darüber zu zeichnen, was gerade passiert. Diagramme sind besonders wichtig für geometrische Proofs, da Sie damit visualisieren können, was Sie tatsächlich beweisen möchten.
   • Verwenden Sie die im Problem enthaltenen Informationen, um ein Bild der Beweise zu zeichnen. Nennen Sie die Bekannten und Fremden.
   • Verwenden Sie bei der Ausarbeitung der Beweise die erforderlichen Informationen, um die Beweise zu stützen.
3. Studienbeweise verwandter Theoreme. Es ist schwierig zu lernen, Beweise zu konstruieren, aber eine hervorragende Möglichkeit, dies zu lernen, besteht darin, verwandte Aussagen zu studieren und wie sie bewiesen wurden.
   • Erkenne, dass der Beweis nur ein gutes Argument ist, bei dem jeder Schritt begründet ist. Sie können viele Beweise finden, die Sie studieren können, sowohl online als auch in einem Lehrbuch.
4. Fragen stellen. Es ist ganz normal, in einem Beweis stecken zu bleiben. Fragen Sie Ihren Lehrer oder Ihre Klassenkameraden, ob Sie es nicht herausfinden können. Letztere haben möglicherweise ähnliche Fragen, und Sie können gemeinsam an den Problemen arbeiten. Es ist besser, Fragen zu stellen und dann zu verstehen, als blind durch die Beweise zu waten.
   • Wenden Sie sich nach dem Unterricht an Ihren Lehrer, um weitere Erklärungen zu erhalten.

Methode 2 von 3: Strukturieren eines Beweises

1. Definieren Sie mathematische Beweise. Ein mathematischer Beweis ist eine Reihe logischer Aussagen, die von Theoremen und Definitionen unterstützt werden, die die Richtigkeit einer anderen mathematischen Aussage beweisen. Beweise sind der einzige Weg zu wissen, ob eine Behauptung mathematisch gültig ist.
   • Die Fähigkeit, einen mathematischen Beweis zu formulieren, zeigt ein grundlegendes Verständnis des Problems selbst und aller mit dem Problem verbundenen Konzepte.
   • Beweise zwingen Sie auch dazu, Mathematik auf eine neue und aufregende Weise zu betrachten. Nur zu versuchen, etwas zu beweisen, gibt Ihnen mehr Wissen und Einsicht darüber, auch wenn Ihre Beweise am Ende nicht richtig erscheinen.
2. Kenne deine Zuhörer. Bevor Sie einen Beweis schreiben, müssen Sie über das Publikum nachdenken, für das Sie ihn schreiben, und darüber, was sie bereits wissen. Wenn Sie einen Beweis für eine Veröffentlichung schreiben, machen Sie das anders als für eine Oberschulklasse.
   • Wenn Sie Ihr Publikum kennen, können Sie die Beweise so formulieren, dass sie angesichts des Hintergrundwissens des Publikums verstanden werden.
3. Verstehen Sie die Art der Beweise, die Sie vorbringen. Es gibt verschiedene Arten von Beweisen, und der von Ihnen gewählte hängt von Ihrer Zielgruppe und der Aufgabe ab. Wenn Sie sich nicht sicher sind, welche Version Sie verwenden sollen, fragen Sie Ihren Lehrer um Rat. In der High School kann von Ihnen erwartet werden, dass Sie die Beweise in einem bestimmten Format formulieren, z. B. einem formellen zweispaltigen Beweis.
   • Ein zweispaltiger Beweis ist eine Struktur, in der Daten und Aussagen in einer Spalte und die unterstützenden Beweise daneben in einer zweiten Spalte platziert werden. Sie werden sehr häufig in der Geometrie verwendet.
   • Der informelle Absatzbeweis verwendet grammatikalisch korrekte Aussagen und weniger Symbole. Auf einer höheren Ebene sollten Sie immer einen informellen Beweis verwenden.
4. Schreiben Sie den Proof als Übersicht in zwei Spalten. Die Strukturierung eines Beweises in zwei Spalten ist eine einfache Möglichkeit, Ihre Gedanken zu organisieren und das Problem zu berücksichtigen. Zeichnen Sie eine Linie in der Mitte der Seite und schreiben Sie alle Daten und Anweisungen auf die linke Seite. Schreiben Sie die entsprechenden Definitionen / Anweisungen rechts neben die von ihnen unterstützten Daten.
   • Beispielsweise:
   • Winkel A und Winkel B bilden ein lineares Paar. Gegeben.
   • Ecke ABC ist gerade. Definition eines rechten Winkels.
   • Der Winkel ABC beträgt 180 °. Definition einer Linie.
   • Winkel A + Winkel B = Winkel ABC. Postulat zum Hinzufügen von Winkeln.
   • Winkel A + Winkel B = 180 °. Auswechslung.
   • Winkel A als Ergänzung zu Winkel B. Definition zusätzlicher Winkel.
   • Q.E.D.
5. Konvertieren Sie den Beweis in zwei Spalten in einen informellen Beweis. Schreiben Sie basierend auf dem Beweis in zwei Spalten einen informellen Beweis als Absatz ohne zu viele Symbole und Abkürzungen.
   • Angenommen, Winkel A und B sind lineare Paare. Die Hypothese ist, dass sich Winkel A und Winkel B ergänzen (ergänzend sind). Winkel A und Winkel B bilden eine gerade Linie, da sie lineare Paare sind. Eine gerade Linie ist definiert als ein Winkel von 180 °. Angesichts des Postulats für die Addition von Winkeln bilden die Winkel A und B zusammen die Linie ABC. Als Substitution betragen A und B zusammen 180 °, daher sind sie zusätzliche Winkel. Q.E.D.

Methode 3 von 3: Formulierung der Beweise

1. Lernen Sie das Vokabular des mathematischen Beweises. Es gibt bestimmte Aussagen und Sätze, die Sie in einem mathematischen Beweis immer wieder sehen. Dies sind die Sätze, mit denen Sie vertraut sein sollten und die Sie bei der Formulierung Ihrer eigenen Beweise gut verwenden können sollten.
   • "Wenn A, dann B" bedeutet, dass Sie zeigen müssen, dass B auch wahr sein muss, wenn A wahr ist.
   • "A genau dann, wenn B" bedeutet, dass Sie beweisen müssen, dass A und B gleichzeitig wahr und falsch sind. Beweisen Sie sowohl "Wenn A, dann B" als auch "Wenn nicht A, dann nicht B".
   • "A nur wenn B" bedeutet dasselbe wie "Wenn A, dann B", daher wird es nicht oft verwendet. Es ist gut, sich dessen bewusst zu sein, wenn Sie darauf stoßen.
   • Wenn Sie Beweise vorlegen, sollten Sie vermeiden, "Ich" zugunsten von "Wir" zu verwenden.
2. Notieren Sie alle Daten. Bei der Erstellung eines Beweises besteht der erste Schritt darin, alle Daten zu identifizieren und aufzuzeichnen. Dies ist der beste Ausgangspunkt, da Sie darüber nachdenken können, was bekannt ist und welche Informationen Sie benötigen, um die Beweise zu vervollständigen. Lesen Sie das Problem und schreiben Sie jede Information auf.
   • Zum Beispiel: Beweisen Sie, dass zwei Winkel, die ein lineares Paar bilden (Winkel A und Winkel B), sich ergänzen.
   • Gegeben: Winkel A und Winkel B bilden ein lineares Paar
   • Beweis: Winkel A ergänzt Winkel B.
3. Definieren Sie alle Variablen. Neben dem Schreiben der Daten ist es hilfreich, alle Variablen zu definieren. Schreiben Sie die Definitionen am Anfang des Beweises, um Verwirrung für den Leser zu vermeiden. Wenn keine Variablen definiert sind, kann ein Leser leicht verloren gehen, wenn er versucht, Ihre Beweise zu verstehen.
   • Verwenden Sie in Ihrem Beweis keine Variablen, die noch nicht definiert wurden.
   • Zum Beispiel: Variablen sind die Maße für Winkel A und Winkel B.
4. Arbeiten Sie die Beweise rückwärts durch. Es ist oft am einfachsten, über ein Problem rückwärts nachzudenken. Beginnen Sie mit der Schlussfolgerung, was Sie zu beweisen versuchen, und denken Sie über die Schritte nach, die Sie zurück zum Anfang führen können.
   • Bearbeiten Sie die Schritte am Anfang und am Ende, um festzustellen, ob sie ähnlich sind. Verwenden Sie die Daten, Definitionen, die Sie gelernt haben, und ähnliche Beweise.
   • Stellen Sie sich unterwegs Fragen. „Warum ist das so?" Und „Gibt es eine Möglichkeit, dass dies falsch ist?" Sind gute Fragen für jede Aussage oder Behauptung.
   • Vergessen Sie nicht, die Schritte nacheinander für den endgültigen Beweis zu schreiben.
   • Zum Beispiel: Wenn die Winkel A und B ergänzend sind, müssen sie zusammen 180 ° betragen. Die beiden Ecken bilden zusammen die Linie ABC. Sie wissen, dass sie aufgrund der Definition von linearen Paaren eine Linie bilden. Da eine gerade Linie 180 ° beträgt, können Sie mithilfe der Substitution beweisen, dass sich Winkel A und Winkel B zu 180 ° addieren.
5. Ordnen Sie Ihre Schritte in logischer Reihenfolge. Beginnen Sie die Beweise am Anfang und arbeiten Sie sich bis zum Schluss vor. Während es hilfreich ist, über die Beweise nachzudenken, indem Sie mit der Schlussfolgerung beginnen und rückwärts arbeiten, werden Sie die Schlussfolgerung am Ende setzen, wenn Sie die tatsächlichen Beweise präsentieren. Die Aussagen in den Beweismitteln sollten sich gegenseitig begründen und jede Aussage begründen, damit kein Grund besteht, die Gültigkeit Ihrer Beweismittel anzuzweifeln.
   • Führen Sie zunächst die Annahmen auf, mit denen Sie arbeiten.
   • Teilen Sie sie in einfache und klare Schritte ein, damit sich der Leser nicht fragen muss, wie ein Schritt logisch von einem anderen fließt.
   • Es ist nicht ungewöhnlich, mehrere Proofs of Concept zu formulieren. Ordnen Sie so lange neu an, bis alle Schritte in der logischsten Reihenfolge sind.
   • Zum Beispiel: Beginnen Sie am Anfang.
     • Winkel A und Winkel B bilden ein lineares Paar.
     • Ecke ABC ist gerade.
     • Der Winkel ABC beträgt 180 °.
     • Winkel A + Winkel B = Winkel ABC.
     • Winkel A + Winkel B = 180 °.
     • Winkel A ergänzt Winkel B.
6. Vermeiden Sie die Verwendung von Pfeilen und Abkürzungen in den schriftlichen Nachweisen. Wenn Sie den Plan für Ihren Beweis skizzieren, können Sie Kurzschrift und Symbole verwenden. Wenn Sie jedoch den endgültigen Beweis schreiben, können Symbole wie Pfeile den Leser verwirren. Verwenden Sie stattdessen Wörter wie "dann" oder "so".
   • Ausnahmen für die Verwendung von Abkürzungen sind: z. B. (zum Beispiel) und d. H. (D. H.), Aber stellen Sie sicher, dass Sie sie richtig verwenden.
7. Unterstützen Sie alle Aussagen mit einem Satz (Theorem), einem Gesetz oder einer Definition. Beweise sind nur so gut wie die verwendeten Beweise. Sie können keine Erklärung abgeben, ohne sie mit einer Definition zu untermauern. Beziehen Sie sich als Beispiel auf andere ähnliche Beweise.
   • Versuchen Sie, Ihre Beweise auf einen Fall anzuwenden, in dem die falsch muss sein und überprüfen, ob dies tatsächlich der Fall ist. Wenn das Ergebnis nicht falsch ist, passen Sie den Beweis so an, dass er ist.
   • Viele geometrische Beweise werden als zweispaltiger Beweis mit der Aussage und dem Beweis geschrieben. Ein formaler mathematischer Beweis, der zur Veröffentlichung bestimmt ist, wird als Absatz mit korrekter Grammatik geschrieben.
8. Beenden Sie es mit einer Schlussfolgerung oder Q.E.D. Die endgültige Beweisaufnahme muss die Hypothese sein, die Sie zu beweisen versuchten. Wenn Sie diese Erklärung abgegeben haben, schließen Sie den Beweis mit einem endgültigen Symbol, z. B. Q.E.D. oder ein ausgefülltes Quadrat, um anzuzeigen, dass der Beweis vollständig ist.
   • Q.E.D. steht für "quod erat demonstrandum" (lateinisch für "das, was bewiesen werden musste").
   • Wenn Sie nicht sicher sind, ob Ihre Beweise korrekt sind, schreiben Sie einfach in wenigen Sätzen, was Ihre Schlussfolgerung ist und warum sie von Bedeutung ist.

Tipps

• Ihre Daten müssen sich alle auf Ihren endgültigen Nachweis beziehen. Wenn ein Eintrag überhaupt nichts beiträgt, können Sie ihn ausschließen.