Inhalt

• Schreiten
• Teil 1 von 4: Erstellen der Matrix
• Teil 2 von 4: Erlernen der Operationen zum Lösen eines Systems mit einer Matrix
• Teil 3 von 4: Füge die Schritte zusammen, um die Galaxie zu lösen
• Teil 4 von 4: Überprüfen Sie Ihre Lösung
• Tipps

Eine Matrix ist eine sehr nützliche Methode zur Darstellung von Zahlen in einem Blockformat, mit der Sie dann ein lineares Gleichungssystem lösen können. Wenn Sie nur zwei Variablen haben, werden Sie wahrscheinlich eine andere Methode verwenden. Lesen Sie dazu unter Lösen eines Gleichungssystems Beispiele für diese anderen Methoden. Wenn Sie jedoch drei oder mehr Variablen haben, ist ein Array ideal. Durch wiederholte Kombinationen von Multiplikation und Addition können Sie systematisch zu einer Lösung gelangen.

Schreiten

Teil 1 von 4: Erstellen der Matrix

1. Stellen Sie sicher, dass Sie über ausreichende Daten verfügen. Um eine eindeutige Lösung für jede Variable in einem linearen System mithilfe einer Matrix zu erhalten, müssen Sie so viele Gleichungen haben wie die Anzahl der Variablen, die Sie lösen möchten. Zum Beispiel: Mit den Variablen x, y und z benötigen Sie drei Gleichungen. Wenn Sie vier Variablen haben, benötigen Sie vier Gleichungen.
   • Wenn Sie weniger Gleichungen als die Anzahl der Variablen haben, werden Sie einige Grenzen der Variablen herausfinden (z. B. x = 3y und y = 2z), aber Sie können keine genaue Lösung erhalten. In diesem Artikel werden wir nur auf eine einzigartige Lösung hinarbeiten.
2. Schreiben Sie Ihre Gleichungen in der Standardform. Bevor Sie Daten aus den Gleichungen in eine Matrixform einfügen können, schreiben Sie zunächst jede Gleichung in Standardform. Die Standardform für eine lineare Gleichung lautet Ax + By + Cz = D, wobei die Großbuchstaben die Koeffizienten (Zahlen) sind und die letzte Zahl (in diesem Beispiel D) rechts vom Gleichheitszeichen steht.
   • Wenn Sie mehr Variablen haben, setzen Sie die Zeile einfach so lange fort, wie Sie möchten. Wenn Sie beispielsweise versuchen, ein System mit sechs Variablen zu lösen, sieht Ihre Standardform wie folgt aus: Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf Systeme mit nur drei Variablen. Das Lösen einer größeren Galaxie ist genau das gleiche, erfordert jedoch mehr Zeit und Schritte.
   • Beachten Sie, dass in Standardform die Operationen zwischen den Begriffen immer eine Ergänzung sind. Wenn Ihre Gleichung eine Subtraktion anstelle einer Addition enthält, müssen Sie später damit arbeiten, indem Sie Ihren Koeffizienten negativ machen. Um dies leichter zu merken, können Sie die Gleichung neu schreiben, die Operation hinzufügen und den Koeffizienten negativ machen. Beispielsweise können Sie die Gleichung 3x-2y + 4z = 1 als 3x + (- 2y) + 4z = 1 umschreiben.
3. Platzieren Sie die Zahlen aus dem Gleichungssystem in einer Matrix. Eine Matrix ist eine Gruppe von Zahlen, die in einer Art Tabelle angeordnet sind und mit denen wir arbeiten, um das System zu lösen. Es enthält im Grunde die gleichen Daten wie die Gleichungen selbst, jedoch in einem einfacheren Format. Um die Matrix Ihrer Gleichungen in Standardform zu erstellen, kopieren Sie einfach die Koeffizienten und das Ergebnis jeder Gleichung in eine einzelne Zeile und stapeln Sie diese Zeilen übereinander.
   • Angenommen, Sie haben ein System, das aus den drei Gleichungen 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 und x + y + z = 7 besteht. Die oberste Zeile Ihrer Matrix enthält die Zahlen 3, 1, -1, 9, da dies die Koeffizienten und die Lösung der ersten Gleichung sind. Beachten Sie, dass für jede Variable ohne Koeffizienten ein Koeffizient von 1 angenommen wird. Die zweite Reihe der Matrix wird zu 2, -2, 1, -3 und die dritte Reihe wird zu 1, 1, 1, 7.
   • Stellen Sie sicher, dass die x-Koeffizienten in der ersten Spalte, die y-Koeffizienten in der zweiten, die z-Koeffizienten in der dritten und die Lösungsterme in der vierten Spalte ausgerichtet sind. Wenn Sie mit der Matrix fertig sind, sind diese Spalten beim Schreiben Ihrer Lösung wichtig.
4. Zeichnen Sie eine große eckige Klammer um Ihre gesamte Matrix. Konventionell wird eine Matrix durch ein Paar eckiger Klammern [] um den gesamten Zahlenblock angezeigt. Die Klammern wirken sich in keiner Weise auf die Lösung aus, zeigen jedoch an, dass Sie mit Matrizen arbeiten. Eine Matrix kann aus einer beliebigen Anzahl von Zeilen und Spalten bestehen. In diesem Artikel verwenden wir Klammern um Begriffe in einer Reihe, um anzuzeigen, dass sie zusammengehören.
5. Verwendung der gemeinsamen Symbolik. Wenn Sie mit Matrizen arbeiten, beziehen Sie sich häufig auf die Zeilen mit der Abkürzung R und die Spalten mit der Abkürzung C. Sie können Zahlen zusammen mit diesen Buchstaben verwenden, um eine bestimmte Zeile oder Spalte anzugeben. Um beispielsweise Zeile 1 einer Matrix anzugeben, können Sie R1 schreiben. Zeile 2 wird dann zu R2.
   • Sie können eine bestimmte Position in einer Matrix mit einer Kombination aus R und C angeben. Um beispielsweise einen Begriff in der zweiten Zeile und dritten Spalte anzugeben, können Sie ihn als R2C3 bezeichnen.

Teil 2 von 4: Erlernen der Operationen zum Lösen eines Systems mit einer Matrix

1. Verstehen Sie die Form der Lösungsmatrix. Bevor Sie mit dem Lösen Ihres Gleichungssystems beginnen, müssen Sie verstehen, was Sie mit der Matrix tun werden. Zu diesem Zeitpunkt haben Sie eine Matrix, die folgendermaßen aussieht:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Sie arbeiten mit einer Reihe grundlegender Operationen, um die "Lösungsmatrix" zu erstellen. Die Lösungsmatrix sieht folgendermaßen aus:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 y
   • 0 0 1 z
   • Beachten Sie, dass die Matrix aus Einsen in einer diagonalen Linie mit Nullen in allen anderen Räumen mit Ausnahme der vierten Spalte besteht. Die Zahlen in der vierten Spalte sind die Lösung für die Variablen x, y und z.
2. Verwenden Sie die Skalarmultiplikation. Das erste Werkzeug, das Ihnen zur Lösung eines Systems mithilfe einer Matrix zur Verfügung steht, ist die Skalarmultiplikation. Dies ist einfach ein Begriff, der bedeutet, dass Sie die Elemente in einer Zeile der Matrix mit einer konstanten Zahl (keine Variable) multiplizieren. Beachten Sie bei der Verwendung der Skalarmultiplikation, dass Sie jeden Term der gesamten Zeile mit der von Ihnen ausgewählten Zahl multiplizieren müssen. Wenn Sie den ersten Term vergessen und einfach multiplizieren, erhalten Sie die falsche Lösung. Sie müssen jedoch nicht die gesamte Matrix gleichzeitig multiplizieren. Bei der Skalarmultiplikation arbeiten Sie jeweils nur an einer Zeile.
   • Es ist üblich, Brüche bei der Skalarmultiplikation zu verwenden, da Sie häufig eine diagonale Reihe von Einsen erhalten möchten. Gewöhne dich an die Arbeit mit Brüchen. Es ist auch einfacher (für die meisten Schritte beim Lösen der Matrix), Ihre Brüche in falscher Form zu schreiben und sie dann für die endgültige Lösung wieder in gemischte Zahlen umzuwandeln. Daher ist es einfacher, mit der Zahl 1 2/3 zu arbeiten, wenn Sie sie als 5/3 schreiben.
   • Zum Beispiel beginnt die erste Zeile (R1) unseres Beispielproblems mit den Begriffen [3,1, -1,9]. Die Lösungsmatrix muss an der ersten Position der ersten Zeile eine 1 enthalten. Um die 3 in eine 1 zu "ändern", können wir die gesamte Zeile mit 1/3 multiplizieren. Dies erzeugt den neuen R1 von [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Stellen Sie sicher, dass negative Zeichen dort bleiben, wo sie hingehören.
3. Verwenden Sie die Zeilenaddition oder Zeilensubtraktion. Das zweite Werkzeug, das Sie verwenden können, ist das Addieren oder Subtrahieren von zwei Zeilen der Matrix. Um die 0-Terme in Ihrer Lösungsmatrix zu erstellen, müssen Sie Zahlen addieren oder subtrahieren, um zur 0 zu gelangen. Wenn beispielsweise R1 aus einer Matrix [1,4,3,2] und R2 aus [1,3,5,8] besteht, können Sie die erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahieren und eine neue Zeile erstellen [0, -1, 2.6], weil 1-1 = 0 (erste Spalte), 3-4 = -1 (zweite Spalte), 5-3 = 2 (dritte Spalte) und 8-2 = 6 (vierte Spalte). Wenn Sie eine Zeilenaddition oder -subtraktion durchführen, schreiben Sie Ihr neues Ergebnis anstelle der Zeile, mit der Sie begonnen haben, neu. In diesem Fall würden wir Zeile 2 extrahieren und die neue Zeile [0, -1,2,6] einfügen.
   • Sie können eine Kurzschreibweise verwenden und diese Aktion als R2-R1 = [0, -1,2,6] deklarieren.
   • Denken Sie daran, dass Addition und Subtraktion genau entgegengesetzte Formen derselben Operation sind. Stellen Sie sich vor, Sie addieren zwei Zahlen oder subtrahieren das Gegenteil. Wenn Sie beispielsweise mit der einfachen Gleichung 3-3 = 0 beginnen, können Sie sich dies als ein Additionsproblem von 3 + (- 3) = 0 vorstellen. Das Ergebnis ist das gleiche. Dies scheint einfach zu sein, aber es ist manchmal einfacher, ein Problem in der einen oder anderen Form zu betrachten. Behalten Sie einfach Ihre negativen Vorzeichen im Auge.
4. Kombinieren Sie Zeilenaddition und Skalarmultiplikation in einem Schritt. Sie können nicht erwarten, dass die Begriffe immer übereinstimmen, daher können Sie eine einfache Addition oder Subtraktion verwenden, um Nullen in Ihrer Matrix zu erstellen. Häufiger müssen Sie ein Vielfaches von einer anderen Zeile addieren (oder subtrahieren). Dazu führen Sie zuerst die Skalarmultiplikation durch und fügen dieses Ergebnis dann der Zielzeile hinzu, die Sie ändern möchten.
   • Annehmen; dass es eine Zeile 1 von [1,1,2,6] und eine Zeile 2 von [2,3,1,1] gibt. Sie möchten einen 0-Term in der ersten Spalte von R2. Das heißt, Sie möchten die 2 in eine 0 ändern. Dazu müssen Sie eine 2 subtrahieren. Sie können eine 2 erhalten, indem Sie zuerst Zeile 1 mit der Skalarmultiplikation 2 multiplizieren und dann die erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahieren. In Kurzform kann dies als R2-2 * R1 notiert werden. Multiplizieren Sie zunächst R1 mit 2, um [2,2,4,12] zu erhalten. Subtrahieren Sie dies dann von R2, um [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)] zu erhalten. Vereinfachen Sie dies und Ihr neues R2 wird [0,1, -3, -11] sein.
5. Kopieren Sie Zeilen, die während der Arbeit unverändert bleiben. Während Sie an der Matrix arbeiten, ändern Sie jeweils eine einzelne Zeile, entweder durch Skalarmultiplikation, Zeilenaddition oder Zeilensubtraktion oder durch eine Kombination von Schritten. Wenn Sie eine Zeile ändern, stellen Sie sicher, dass Sie die anderen Zeilen Ihrer Matrix in ihrer ursprünglichen Form kopieren.
   • Ein häufiger Fehler tritt auf, wenn ein kombinierter Multiplikations- und Additionsschritt in einem Zug ausgeführt wird. Angenommen, Sie müssen R1 zweimal von R2 subtrahieren. Wenn Sie R1 mit 2 multiplizieren, um diesen Schritt auszuführen, denken Sie daran, dass sich R1 in der Matrix nicht ändert. Sie führen nur die Multiplikation durch, um R2 zu ändern. Kopieren Sie zuerst R1 in seiner ursprünglichen Form und nehmen Sie dann die Änderung an R2 vor.
6. Zuerst von oben nach unten arbeiten. Um das System zu lösen, arbeiten Sie in einem sehr organisierten Muster und "lösen" im Wesentlichen jeweils einen Term der Matrix. Die Reihenfolge für ein Array mit drei Variablen sieht folgendermaßen aus:
   • 1. Machen Sie eine 1 in der ersten Zeile, ersten Spalte (R1C1).
   • 2. Machen Sie eine 0 in der zweiten Zeile, erste Spalte (R2C1).
   • 3. Machen Sie eine 1 in der zweiten Zeile, zweite Spalte (R2C2).
   • 4. Machen Sie eine 0 in der dritten Zeile, erste Spalte (R3C1).
   • 5. Machen Sie eine 0 in der dritten Zeile, zweite Spalte (R3C2).
   • 6. Machen Sie eine 1 in der dritten Zeile, dritte Spalte (R3C3).
7. Arbeiten Sie von unten nach oben zurück. Wenn Sie zu diesem Zeitpunkt die Schritte korrekt ausgeführt haben, sind Sie zur Hälfte mit der Lösung fertig. Sie müssen die diagonale Linie von 1 haben, darunter 0. Die Zahlen in der vierten Spalte spielen an dieser Stelle keine Rolle. Jetzt arbeiten Sie wie folgt nach oben zurück:
   • Erstellen Sie eine 0 in der zweiten Zeile, dritte Spalte (R2C3).
   • Erstellen Sie eine 0 in der ersten Zeile, dritten Spalte (R1C3).
   • Erstellen Sie eine 0 in der ersten Zeile, zweiten Spalte (R1C2).
8. Überprüfen Sie, ob Sie die Lösungsmatrix erstellt haben. Wenn Ihre Arbeit korrekt ist, haben Sie die Lösungsmatrix mit Einsen in einer diagonalen Linie von R1C1, R2C2, R3C3 und Nullen an den anderen Positionen der ersten drei Spalten erstellt. Die Zahlen in der vierten Spalte sind die Lösungen für Ihr lineares System.

Teil 3 von 4: Füge die Schritte zusammen, um die Galaxie zu lösen

1. Beginnen Sie mit einem Beispielsystem linearer Gleichungen. Um diese Schritte zu üben, beginnen wir mit dem zuvor verwendeten System: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 und x + y + z = 7. Wenn Sie dies in eine Matrix schreiben, haben Sie R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] und R3 = [1,1,1,7].
2. Erstellen Sie eine 1 an der ersten Position R1C1. Beachten Sie, dass R1 an dieser Stelle mit einer 3 beginnt. Sie müssen diese in eine 1 ändern. Sie können dies durch skalare Multiplikation tun, indem Sie alle vier Terme von R1 mit 1/3 multiplizieren. In Kurzform können Sie als R1 * 1/3 schreiben. Dies ergibt ein neues Ergebnis für R1, wenn R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Kopieren Sie R2 und R2 unverändert, wenn R2 = [2, -2,1, -3] und R3 = [1,1,1,7].
   • Beachten Sie, dass Multiplikation und Division nur inverse Funktionen voneinander sind. Wir können sagen, dass wir mit 1/3 multiplizieren oder durch 3 dividieren, ohne das Ergebnis zu ändern.
3. Erstellen Sie eine 0 in der zweiten Zeile, erste Spalte (R2C1). Zu diesem Zeitpunkt ist R2 = [2, -2,1, -3]. Um näher an die Lösungsmatrix heranzukommen, müssen Sie den ersten Term von 2 auf 0 ändern. Sie können dies tun, indem Sie den doppelten Wert von R1 subtrahieren, da R1 mit einer 1 beginnt. R1. Denken Sie daran, dass Sie R1 nicht ändern, sondern nur damit arbeiten. Kopieren Sie also zuerst R1, wenn R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Wenn Sie dann jeden Term von R1 verdoppeln, erhalten Sie 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Subtrahieren Sie dieses Ergebnis schließlich vom ursprünglichen R2, um Ihr neues R2 zu erhalten. Diese Subtraktion wird termweise zu (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Wir vereinfachen diese auf das neue R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Beachten Sie, dass der erste Term 0 ist (was auch immer Ihr Ziel war).
   • Schreiben Sie Zeile 3 (die sich nicht geändert hat) als R3 = [1,1,1,7].
   • Seien Sie vorsichtig, wenn Sie negative Zahlen subtrahieren, um sicherzustellen, dass die Vorzeichen korrekt bleiben.
   • Lassen wir nun zuerst die Brüche in ihrer falschen Form. Dies erleichtert spätere Schritte der Lösung. Sie können die Brüche im letzten Schritt des Problems vereinfachen.
4. Erstellen Sie eine 1 in der zweiten Zeile, zweite Spalte (R2C2). Um die diagonale Linie der Einsen weiter zu bilden, müssen Sie den zweiten Term -8/3 in 1 umwandeln. Dazu multiplizieren Sie die gesamte Zeile mit dem Kehrwert dieser Zahl (-3/8). Symbolisch ist dieser Schritt R2 * (- 3/8). Die resultierende zweite Zeile ist R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Beachten Sie, dass, wenn die linke Hälfte der Zeile der Lösung mit 0 und 1 ähnelt, die rechte Hälfte möglicherweise hässlich aussieht und falsche Brüche aufweist. Lass sie einfach für das, was sie jetzt sind.
   • Vergessen Sie nicht, die unberührten Zeilen weiter zu kopieren, also R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] und R3 = [1,1,1,7].
5. Erstellen Sie eine 0 in der dritten Zeile, erste Spalte (R3C1). Ihr Fokus bewegt sich jetzt zur dritten Reihe, R3 = [1,1,1,7]. Um eine 0 an der ersten Position zu machen, müssen Sie eine 1 von der 1 subtrahieren, die sich derzeit an dieser Position befindet. Wenn Sie nachschlagen, befindet sich an der ersten Position von R1 eine 1. Sie müssen also nur R1 von R3 subtrahieren, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Arbeitszeit für Amtszeit wird dies (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Diese vier Miniprobleme können dann auf das neue R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4] vereinfacht werden.
   • Kopieren Sie weiter entlang R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] und R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Denken Sie daran, dass Sie jeweils nur eine Zeile ändern.
6. Machen Sie eine 0 in der dritten Zeile, zweite Spalte (R3C2). Dieser Wert ist derzeit 2/3, muss aber in eine 0 konvertiert werden. Auf den ersten Blick sieht es so aus, als könnten Sie die R1-Werte doppelt verdoppeln, da die entsprechende Spalte von R1 ein 1/3 enthält. Wenn Sie jedoch alle Werte von R1 verdoppeln und subtrahieren, ändert sich die 0 in der ersten Spalte von R3, was Sie nicht möchten. Dies wäre ein Rückschritt in Ihrer Lösung. Sie müssen also mit einer Kombination von R2 arbeiten. Durch Subtrahieren von 2/3 von R2 wird in der zweiten Spalte eine 0 erstellt, ohne dass die erste Spalte geändert wird. In Kurzform ist dies R3-2 / 3 * R2. Die einzelnen Terme werden (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Die Vereinfachung ergibt dann R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Erstellen Sie eine 1 in der dritten Zeile und dritten Spalte (R3C3). Dies ist eine einfache Multiplikation mit dem Kehrwert der angegebenen Zahl. Der aktuelle Wert ist 42/24, Sie können also mit 24/42 multiplizieren, um den gewünschten Wert 1 zu erhalten. Beachten Sie, dass die ersten beiden Terme beide 0 sind, sodass jede Multiplikation 0 bleibt. Der neue Wert von R3 = [0,0,1,1].
   • Beachten Sie, dass die Brüche, die im vorherigen Schritt ziemlich kompliziert erschienen, bereits zu lösen beginnen.
   • Fahren Sie fort mit R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] und R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8].
   • Beachten Sie, dass Sie zu diesem Zeitpunkt die Diagonale von 1 für Ihre Lösungsmatrix haben. Sie müssen nur drei Elemente der Matrix in Nullen konvertieren, um Ihre Lösung zu finden.
8. Erstellen Sie eine 0 in der zweiten Zeile und dritten Spalte. R2 ist derzeit [0,1, -5 / 8,27 / 8] mit einem Wert von -5/8 in der dritten Spalte. Sie müssen es in eine 0 umwandeln. Dies bedeutet, dass Sie eine Operation mit R3 ausführen müssen, die aus dem Hinzufügen von 5/8 besteht. Da die entsprechende dritte Spalte von R3 eine 1 ist, müssen Sie alle Werte von R3 mit 5/8 multiplizieren und das Ergebnis zu R2 addieren. Kurz gesagt ist dies R2 + 5/8 * R3. Begriff für Begriff ist dies R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Dies kann zu R2 = [0,1,0,4] vereinfacht werden.
   • Dann kopiere R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] und R3 = [0,0,1,1].
9. Erstellen Sie eine 0 in der ersten Zeile, dritten Spalte (R1C3). Die erste Zeile ist derzeit R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Sie müssen das -1/3 in der dritten Spalte mit einer Kombination von R3 in eine 0 konvertieren. Sie möchten R2 nicht verwenden, da die 1 in der zweiten Spalte von R2 R1 falsch ändern würde. Sie multiplizieren also R3 * 1/3 und addieren das Ergebnis zu R1. Die Notation hierfür lautet R1 + 1/3 * R3. Der Term für die Termausarbeitung ergibt R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Sie können dies zu einem neuen R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3] vereinfachen.
   • Kopieren Sie das unveränderte R2 = [0,1,0,4] und R3 = [0,0,1,1].
10. Machen Sie eine 0 in der ersten Zeile, zweiten Spalte (R1C2). Wenn alles richtig gemacht ist, sollte dies der letzte Schritt sein. Sie müssen 1/3 in der zweiten Spalte in eine 0 konvertieren. Sie können dies erhalten, indem Sie R2 * 1/3 multiplizieren und subtrahieren. Kurz gesagt ist dies R1-1 / 3 * R2. Das Ergebnis ist R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Die Vereinfachung ergibt dann R1 = [1,0,0,2].
11. Suchen Sie nach der Lösungsmatrix. Wenn zu diesem Zeitpunkt alles gut gelaufen wäre, hätten Sie die drei Zeilen R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] und R3 = [0,0,1,1]. haben müssen. Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie dies in der Blockmatrixform mit den Zeilen übereinander schreiben, diagonale Einsen mit Nullen weiter haben und Ihre Lösungen in der vierten Spalte stehen. Die Lösungsmatrix sollte folgendermaßen aussehen:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Ihre Lösung verstehen. Nachdem Sie die linearen Gleichungen in eine Matrix konvertiert haben, setzen Sie die x-Koeffizienten in die erste Spalte, die y-Koeffizienten in die zweite Spalte und die z-Koeffizienten in die dritte Spalte. Wenn Sie die Matrix erneut in Gleichungen umschreiben möchten, bedeuten diese drei Zeilen der Matrix tatsächlich die drei Gleichungen 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 und 0x + 0y + 1z = 1. Da wir die 0-Terme streichen können und die 1-Koeffizienten nicht schreiben müssen, vereinfachen sich diese drei Gleichungen zur Lösung: x = 2, y = 4 und z = 1. Dies ist die Lösung für Ihr lineares Gleichungssystem.

Teil 4 von 4: Überprüfen Sie Ihre Lösung

1. Schließen Sie die Lösungen in jede Variable in jede Gleichung ein. Es ist immer eine gute Idee, zu überprüfen, ob Ihre Lösung tatsächlich korrekt ist. Sie tun dies, indem Sie Ihre Ergebnisse in den ursprünglichen Gleichungen testen.
   • Die ursprünglichen Gleichungen für dieses Problem waren: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 und x + y + z = 7. Wenn Sie die Variablen durch die gefundenen Werte ersetzen, erhalten Sie 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 und 2 + 4 + 1 = 7.
2. Vereinfachen Sie jeden Vergleich. Führen Sie die Operationen in jeder Gleichung gemäß den Grundregeln der Operationen aus. Die erste Gleichung vereinfacht sich zu 6 + 4-1 = 9 oder 9 = 9. Die zweite Gleichung kann auf 4-8 + 1 = -3 oder -3 = -3 vereinfacht werden. Die letzte Gleichung ist einfach 7 = 7.
   • Da sich jede Gleichung zu einer echten mathematischen Aussage vereinfacht, sind Ihre Lösungen korrekt. Wenn eine der Lösungen falsch ist, überprüfen Sie Ihre Arbeit erneut und suchen Sie nach Fehlern. Einige häufige Fehler treten auf, wenn Minuszeichen auf dem Weg entfernt oder die Multiplikation und Addition von Brüchen verwirrt werden.
3. Schreiben Sie Ihre endgültigen Lösungen auf. Für dieses gegebene Problem ist die endgültige Lösung x = 2, y = 4 und z = 1.

Tipps

• Wenn Ihr Gleichungssystem sehr komplex ist und viele Variablen enthält, können Sie möglicherweise einen Grafikrechner verwenden, anstatt die Arbeit von Hand zu erledigen. Informationen hierzu finden Sie auch in wikiHow.