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Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung mit einer oder mehreren trigonometrischen Funktionen der variablen trigonometrischen Kurve x. Nach x zu lösen bedeutet, die Werte der trigonometrischen Kurven zu finden, deren trigonometrische Funktionen bewirken, dass die trigonometrische Gleichung wahr ist.

• Antworten oder Werte der Lösungskurven werden in Grad oder Bogenmaß ausgedrückt. Beispiele:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 Grad; x = 37,12 Grad; x = 178,37 Grad

• Hinweis: Auf dem Einheitskreis entsprechen die trigonometrischen Funktionen einer Kurve den trigonometrischen Funktionen des entsprechenden Winkels. Der Einheitskreis definiert alle trigonometrischen Funktionen der variablen Kurve x. Es wird auch als Beweis für die Lösung grundlegender trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen verwendet.
• Beispiele für trigonometrische Gleichungen:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Der Einheitskreis.
   • Dies ist ein Kreis mit Radius = 1, wobei O der Ursprung ist. Der Einheitskreis definiert 4 trigonometrische Hauptfunktionen der variablen Kurve x, die sie gegen den Uhrzeigersinn umkreist.
   • Wenn die Kurve mit dem Wert x auf dem Einheitskreis variiert, gilt:
   • Die horizontale Achse OAx definiert die trigonometrische Funktion f (x) = cos x.
   • Die vertikale Achse OBy definiert die trigonometrische Funktion f (x) = sin x.
   • Die vertikale Achse AT definiert die trigonometrische Funktion f (x) = tan x.
   • Die horizontale Achse BU definiert die trigonometrische Funktion f (x) = cot x.

• Der Einheitskreis wird auch verwendet, um grundlegende trigonometrische Gleichungen und trigonometrische Standardungleichungen zu lösen, indem die verschiedenen Positionen der Kurve x auf dem Kreis berücksichtigt werden.

Schreiten

1. Verstehen Sie die Lösungsmethode.
   • Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, konvertieren Sie sie in eine oder mehrere grundlegende trigonometrische Gleichungen. Das Lösen trigonometrischer Gleichungen führt letztendlich zum Lösen von 4 trigonometrischen Grundgleichungen.
2. Wissen, wie man grundlegende trigonometrische Gleichungen löst.
   • Es gibt 4 grundlegende trigonometrische Gleichungen:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; Kinderbett x = a
   • Sie können die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen lösen, indem Sie die verschiedenen Positionen der Kurve x auf dem trigonometrischen Kreis untersuchen und eine trigonometrische Umrechnungstabelle (oder einen Taschenrechner) verwenden. Lesen Sie das folgende Buch, um zu verstehen, wie diese und ähnliche trigonometrische Grundgleichungen gelöst werden können: "Trigonometrie: Lösen trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen" (Amazon E-Book 2010).
   • Beispiel 1. Löse nach sin x = 0,866. Die Umrechnungstabelle (oder der Taschenrechner) gibt die Antwort: x = Pi / 3. Der trigonometrische Kreis ergibt eine weitere Kurve (2Pi / 3) mit dem gleichen Wert für den Sinus (0,866). Der trigonometrische Kreis bietet auch unendlich viele Antworten, die als erweiterte Antworten bezeichnet werden.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi und x2 = 2Pi / 3. (Antworten innerhalb eines Zeitraums (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi und x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Detaillierte Antworten).
   • Beispiel 2. Löse: cos x = -1/2. Taschenrechner geben x = 2 Pi / 3. Der trigonometrische Kreis ergibt auch x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi und x2 = - 2Pi / 3. (Antworten für Periode (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi und x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Erweiterte Antworten)
   • Beispiel 3. Löse: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Antworten)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Erweiterte Antwort)
   • Beispiel 4. Lösung: Kinderbett 2x = 1,732. Taschenrechner und der trigonometrische Kreis geben an:
   • x = Pi / 12; (Antworten)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Erweiterte Antworten)
3. Lernen Sie die Transformationen kennen, die beim Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet werden.
   • Um eine bestimmte trigonometrische Gleichung in trigonometrische Standardgleichungen umzuwandeln, verwenden Sie algebraische Standardkonvertierungen (Faktorisierung, gemeinsamer Faktor, Polynome ...), Definitionen und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und trigonometrischer Identitäten. Es gibt ungefähr 31, von denen 14 trigonometrische Identitäten sind, von 19 bis 31, die auch als Transformationsidentitäten bezeichnet werden, da sie bei der Umwandlung trigonometrischer Gleichungen verwendet werden. Siehe das obige Buch.
   • Beispiel 5: Die trigonometrische Gleichung: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kann unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in ein Produkt grundlegender trigonometrischer Gleichungen umgewandelt werden: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Die zu lösenden trigonometrischen Grundgleichungen sind: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; und cos (x / 2) = 0.
4. Finden Sie die Kurven, für die die trigonometrischen Funktionen bekannt sind.
   • Bevor Sie lernen können, trigonometrische Gleichungen zu lösen, müssen Sie wissen, wie Sie schnell die Kurven finden, für die die trigonometrischen Funktionen bekannt sind. Umrechnungswerte von Kurven (oder Winkeln) können mit trigonometrischen Tabellen oder dem Taschenrechner ermittelt werden.
   • Beispiel: Löse nach cos x = 0,732. Der Rechner gibt die Lösung x = 42,95 Grad an. Der Einheitskreis gibt andere Kurven mit dem gleichen Wert für den Kosinus an.
5. Zeichnen Sie den Bogen der Antwort auf den Einheitskreis.
   • Sie können ein Diagramm erstellen, um die Lösung auf dem Einheitskreis zu veranschaulichen. Die Endpunkte dieser Kurven sind regelmäßige Polygone auf dem trigonometrischen Kreis. Einige Beispiele:
   • Die Endpunkte der Kurve x = Pi / 3 + k. Pi / 2 ist ein Quadrat auf dem Einheitskreis.
   • Die Kurven von x = Pi / 4 + k.Pi / 3 werden durch die Koordinaten eines Sechsecks auf dem Einheitskreis dargestellt.
6. Erfahren Sie, wie Sie trigonometrische Gleichungen lösen.
   • Wenn die angegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie sie als trigonometrische Standardgleichung. Wenn die angegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, gibt es zwei Lösungsmethoden, abhängig von den Optionen zum Konvertieren der Gleichung.
     • A. Methode 1.
   • Konvertieren Sie die trigonometrische Gleichung in ein Produkt der Form: f (x) .g (x) = 0 oder f (x) .g (x) .h (x) = 0, wobei f (x), g (x) und h (x) sind grundlegende trigonometrische Gleichungen.
   • Beispiel 6. Lösung: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Lösung. Ersetzen Sie sin 2x in der Gleichung durch die Identität: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Lösen Sie dann 2 trigonometrische Standardfunktionen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
   • Beispiel 7. Löse: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Lösung: Konvertieren Sie dies mit den trigonometrischen Identitäten in ein Produkt: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Lösen Sie nun die 2 trigonometrischen Grundgleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
   • Beispiel 8. Löse: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Lösung: Konvertieren Sie dies in ein Produkt unter Verwendung der trigonometrischen Identitäten: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die 2 trigonometrischen Grundgleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0.
     • B. Ansatz 2.
   • Konvertiert die Triggergleichung in eine Triggergleichung mit nur einer eindeutigen Triggerfunktion als Variable. Es gibt einige Tipps zur Auswahl einer geeigneten Variablen. Übliche Variablen sind: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t und tan (x / 2) = t.
   • Beispiel 9. Lösung: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Lösung. Ersetzen Sie in der Gleichung (cos ^ 2x) durch (1 - sin ^ 2x) und vereinfachen Sie die Gleichung:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Verwenden Sie nun sin x = t. Die Gleichung lautet: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit 2 Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Wir können das zweite t2 ablehnen, weil> 1. Löse nun nach: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Beispiel 10. Löse: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Lösung. Verwenden Sie tan x = t. Wandle die gegebene Gleichung in eine Gleichung mit t als Variable um: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Löse nach t aus diesem Produkt und löse dann die trigonometrische Standardgleichung tan x = t für x.
7. Lösen Sie spezielle trigonometrische Gleichungen.
   • Es gibt einige spezielle trigonometrische Gleichungen, die bestimmte Konvertierungen erfordern. Beispiele:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Lernen Sie die periodischen Eigenschaften trigonometrischer Funktionen kennen.
   • Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, dh sie kehren nach einer Drehung über einen Zeitraum zum gleichen Wert zurück. Beispiele:
     • Die Funktion f (x) = sin x hat 2Pi als Periode.
     • Die Funktion f (x) = tan x hat Pi als Periode.
     • Die Funktion f (x) = sin 2x hat Pi als Periode.
     • Die Funktion f (x) = cos (x / 2) hat 4Pi als Periode.
   • Wenn der Zeitraum in den Übungen / Tests angegeben ist, müssen Sie nur die Kurve (n) x innerhalb dieses Zeitraums finden.
   • HINWEIS: Das Lösen trigonometrischer Gleichungen ist schwierig und führt häufig zu Fehlern und Irrtümern. Daher sollten die Antworten sorgfältig geprüft werden. Nach dem Lösen können Sie die Antworten mit einem Grafikrechner überprüfen, um eine direkte Darstellung der angegebenen trigonometrischen Gleichung R (x) = 0 zu erhalten. Die Antworten (als Quadratwurzel) werden in Dezimalstellen angegeben. Als Beispiel hat Pi einen Wert von 3,14