Inhalt

• Schritte
• Rat
• Warnung

Inversion wird häufig in der Analysis verwendet, um problematische Probleme auf andere Weise zu vereinfachen. Zum Beispiel ist es einfacher, mit der Umkehrung eines Bruchs zu multiplizieren, als ihn direkt durch diese Zahl zu dividieren. Dies ist das Gegenteil. Da es für die Matrix keine Bruchzeichen gibt, müssen Sie auch die inverse Matrix multiplizieren. Die Berechnung der inversen Matrix einer 3x3-Matrix kann sehr mühsam sein, ist jedoch ein erwägenswertes Problem. Sie können dazu auch einen erweiterten Grafikrechner verwenden.

Schritte

Methode 1 von 3: Erstellen Sie eine zusätzliche Matrix, um die inverse Matrix zu finden

1. 

   Überprüfen Sie die Determinante der Matrix. Der erste Schritt: Finden Sie die Determinante der Matrix. Wenn die Determinante 0 ist, ist das erledigt: Diese Matrix ist nicht reversibel. Die Determinante einer Matrix M kann als det (M) bezeichnet werden.
   • Um die Umkehrung einer 3x3-Matrix zu finden, müssen Sie zuerst ihre Determinante berechnen.
   • Informationen zum Ermitteln der Determinante einer Matrix finden Sie im Artikel Suchen von 3x3-Matrixdeterminanten.

2. 

   
   
   Ursprüngliche Matrixtransposition. Transposition bedeutet, die Matrix über die Hauptdiagonale zu reflektieren oder mit anderen Worten das Element (i, j) und das Element (j, i) zu vertauschen. Beim Transponieren von Elementen einer Matrix bleibt die Hauptdiagonale (von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke) konstant.
   • Eine andere Möglichkeit, die Transposition zu verstehen, besteht darin, dass Sie die Matrix so umschreiben, dass die erste Zeile zur ersten Spalte, die mittlere Zeile zur mittleren Spalte und die dritte Zeile zur dritten Spalte wird. Beachten Sie die Farbelemente in der Abbildung oben und die neue Position der Zahlen.

3. 

   
   
   Finden Sie die Determinante jeder 2x2-Submatrix. Alle Elemente der neuen 3x3-Verschiebungsmatrix sind mit einer entsprechenden 2x2-Submatrix verknüpft. Um die Untermatrix jedes Elements zu finden, markieren Sie zuerst die Zeile und Spalte des ersten Elements. Alle 5 Elemente werden hervorgehoben. Die restlichen vier Elemente bilden die Submatrix.
   • Wenn Sie im obigen Beispiel eine Untermatrix des Elements in Zeile zwei, Spalte eins suchen möchten, markieren Sie fünf Wortteile in der zweiten Zeile und der ersten Spalte. Die verbleibenden vier Elemente sind die entsprechende Untermatrix.
   • Finden Sie die Determinante jeder Submatrix, indem Sie diagonal multiplizieren und zwei Produkte voneinander subtrahieren, wie in der obigen Abbildung gezeigt.
   • Lesen Sie mehr, um mehr über Untermatrizen und ihre Verwendung zu erfahren.

4. 

   
   
   Erstellen Sie eine Matrix aus algebraischen Unterabschnitten. Platzieren Sie das aus dem vorherigen Schritt erhaltene Ergebnis in einer neuen Matrix aus algebraischen Unterabschnitten, indem Sie jede Submatrix-Determinante an der entsprechenden Position in der ursprünglichen Matrix platzieren. Somit wird die aus dem Element (1,1) der ursprünglichen Matrix berechnete Determinante an Position (1,1) platziert. Als nächstes müssen Sie das Ersetzungszeichen dieser neuen Matrix gemäß der in der obigen Abbildung gezeigten Referenztabelle ändern.
   • Bei der Bestimmung des Vorzeichens bleibt die Markierung des ersten Moleküls des Leiters erhalten. Das Vorzeichen des zweiten Elements ist umgekehrt. Das Vorzeichen des dritten Elements bleibt erhalten. Fahren Sie für den Rest der Matrix so fort. Beachten Sie, dass das Vorzeichen (+) oder (-) in der Referenztabelle nicht anzeigt, dass das Element bis zum Ende ein positives oder negatives Vorzeichen trägt. Sie zeigen nur, dass die Elemente intakt bleiben (+) oder mit (-) geändert werden.
   • Weitere Informationen zu algebraischen Anhängen finden Sie in den Matrixgrundlagen.
   • Das Endergebnis, das wir in diesem Schritt erhalten, ist die komplementäre Matrix der ursprünglichen Matrix. Es wird manchmal auch als konjugierte Matrix bezeichnet und als Adj (M) bezeichnet.

5. 

   Teilen Sie alle Elemente der Komplementmatrix durch die Determinante. Verwenden Sie die Determinante der Matrix M, die Sie im ersten Schritt berechnet haben (um zu überprüfen, ob die Matrix reversibel ist). Teilen Sie nun jedes Element der Matrix durch diesen Wert. Setzen Sie den Quotienten jeder Division an die Position des ursprünglichen Elements, und wir erhalten die inverse Matrix der ursprünglichen Matrix.
   • Die in der Abbildung dargestellte Beispielmatrix hat eine Determinante von 1. Wenn wir also alle Elemente der komplementären Matrix durch die Determinante teilen, erhalten wir sich selbst (Sie werden nicht immer so viel Glück haben). .
   • Anstatt zu teilen, wird in einigen Dokumentationen gezeigt, dass dieser Schritt jedes Element von M mit 1 / det (M) multipliziert. Mathematisch sind sie gleichwertig.
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Methode 2 von 3: Verringern Sie die lineare Zeile, um die inverse Matrix zu finden

1. 

   Fügen Sie die Einheitsmatrix zur ursprünglichen Matrix hinzu. Schreiben Sie die Basismatrix M, zeichnen Sie eine vertikale Linie rechts von dieser Matrix und schreiben Sie dann die Einheitsmatrix rechts von dieser Linie. Zu diesem Zeitpunkt haben wir eine Matrix mit drei Zeilen und sechs Spalten.
   • Denken Sie daran, dass die Identitätsmatrix eine spezielle Matrix ist, bei der alle Elemente in der Hauptdiagonale von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke gleich 1 und alle Elemente in den Ruhepositionen gleich Null sind.

2. 

   Führen Sie eine lineare Zeilenreduzierung durch. Ziel ist es, die Einheitsmatrix im linken Teil der neu erweiterten Matrix zu erstellen. Wenn Sie die Zeilenreduktionsschritte links ausführen, müssen Sie den entsprechenden Teil rechts ausführen - den Teil, der Ihre Einheitsmatrix ist.
   • Denken Sie daran, dass die Zeilenreduktion als Kombination aus Skalarmultiplikation und Zeilenaddition oder -subtraktion durchgeführt wird, um einzelne Elemente der Matrix zu isolieren.

3. 

   Fahren Sie fort, bis die Einheitsmatrix gebildet ist. Setzen Sie die lineare Reduktion fort, bis die Identitätsmatrix im linken Teil der erweiterten Matrix angezeigt wird (Elemente in der Diagonale sind gleich 1, andere Elemente sind gleich 0). Sobald dieser Schritt erreicht ist, ist der rechte Teil des vertikalen Teilers die inverse Matrix der ursprünglichen Matrix.

4. 

   Schreiben Sie die inverse Matrix neu. Duplizieren Sie die Elemente, die sich derzeit im rechten Teil des vertikalen Teilers befinden, und das ist Ihre inverse Matrix. Werbung

Methode 3 von 3: Finden Sie die inverse Matrix mit dem Taschenrechner

1. 

   Wählen Sie einen Taschenrechner, der Matrizen lösen kann. Ein einfacher Rechner mit vier Funktionen kann die inverse Matrix nicht direkt für Sie finden. Aufgrund der mathematischen Wiederholung kann ein fortschrittlicher Grafikrechner wie der Texas Instruments TI-83 oder TI-86 Ihre Arbeit jedoch erheblich reduzieren.

2. 

   Geben Sie die Matrix in den Taschenrechner ein. Rufen Sie zunächst die Matrix-Funktion Ihres Rechners auf, indem Sie die Matrix-Taste drücken, sofern diese auf Ihrem Gerät verfügbar ist. Bei der Texas Instruments-Maschine müssen Sie 2 Matrix drücken.

3. 

   Wählen Sie das Untermenü Bearbeiten. Um auf dieses Untermenü zuzugreifen, müssen Sie möglicherweise die Pfeiltasten verwenden oder die entsprechenden Funktionstasten in der oberen Reihe der Computertastatur auswählen, je nach Design.

4. 

   Wählen Sie einen Namen für Ihre Matrix. Die meisten Taschenrechner sind für die Arbeit mit 3 bis 10 Matrizen mit den Buchstaben A bis J ausgestattet. Normalerweise beginnen wir mit. Drücken Sie die Eingabetaste, um die Namensauswahl zu bestätigen.

5. 

   Geben Sie die Matrixgröße ein. Dieser Artikel konzentriert sich auf 3x3-Matrizen. Taschenrechner können jedoch größere Matrizen verarbeiten. Geben Sie die Anzahl der Zeilen ein, drücken Sie die Eingabetaste, geben Sie die Spaltennummer ein und drücken Sie die Eingabetaste.

6. 

   Geben Sie jedes Element der Matrix ein. Auf dem Computerbildschirm wird eine Matrix angezeigt. Wenn Sie zuvor mit der Matrixfunktion gearbeitet haben, wird die Matrix, mit der Sie zuvor gearbeitet haben, auf dem Bildschirm angezeigt. Der Cursor markiert das erste Element der Matrix. Geben Sie den zu lösenden Matrixwert ein und drücken Sie die Eingabetaste. Der Cursor bewegt sich automatisch zum nächsten Element und überschreibt alle vorherigen Werte.
   • Wenn Sie negative Zahlen eingeben möchten, verwenden Sie die negative Taste (-) Ihres Rechners und nicht die Minus-Taste. Die Matrixfunktion wird nicht richtig gelesen.
   • Bei Bedarf können Sie mit den Pfeiltasten Ihres Rechners durch die Matrix navigieren.

7. 

   Beendet die Matrixfunktion. Nachdem Sie den gesamten Matrixwert eingegeben haben, drücken Sie die Taste Beenden - Beenden (oder 2 Beenden, falls erforderlich). Dank dessen verlassen Sie die Matrix-Funktion und kehren zum Hauptbildschirm des Rechners zurück.

8. 

   Verwenden Sie den inversen Schlüssel, um die inverse Matrix zu finden. Öffnen Sie zunächst die Matrixfunktion erneut und wählen Sie mit der Schaltfläche Namen den Matrixnamen aus, den Sie Ihrer Matrix gegeben haben (möglicherweise). Drücken Sie anschließend die Umkehrtaste des Rechners. Abhängig von Ihrem Gerät müssen Sie möglicherweise die Taste 2 verwenden. Der Bildschirm wird angezeigt. Drücken Sie die Eingabetaste, und die inverse Matrix wird auf Ihrem Bildschirm angezeigt.
   • Verwenden Sie nicht die Taste ^ auf Ihrem Computer, wenn Sie versuchen, A ^ -1 mit einzelnen Klicks einzugeben. Computer werden diese Mathematik nicht verstehen.
   • Wenn Sie beim Drücken der Umkehrtaste eine Fehlermeldung erhalten, ist es wahrscheinlicher, dass Ihre übergeordnete Matrix nicht umkehrbar ist. Vielleicht sollten Sie zurückgehen und qualitativ sein, um festzustellen, ob dies die Ursache des Fehlers ist.

9. 

   Konvertieren Sie die inverse Matrix in die richtige Antwort. Das erste vom Computer zurückgegebene Ergebnis wird dezimal angezeigt. Dies ist für die meisten Zwecke nicht unbedingt die "richtige" Antwort. Sie sollten diese Dezimalantwort bei Bedarf in einen Bruch umwandeln (wenn Sie Glück haben, sind alle Ihre Ergebnisse Ganzzahlen. Dies ist jedoch sehr selten).
   • Möglicherweise hat Ihr Rechner eine Funktion, die Dezimalstellen automatisch in Brüche umwandelt. Wenn Sie beispielsweise TI-86 verwenden, können Sie zur Mathematikfunktion wechseln, Verschiedenes und dann Frac auswählen und die Eingabetaste drücken. Dezimalstellen werden automatisch als Brüche dargestellt.
10. Die meisten Grafikrechner haben eckige Klammern (für TI-84 also 2. + x und 2. + -), mit denen Sie eine Matrix eingeben können, ohne die Matrixfunktion zu verwenden. Hinweis: Ein Taschenrechner formatiert eine Matrix möglicherweise erst, wenn die Eingabetaste verwendet wird (was bedeutet, dass sich alles in derselben Zeile befindet und nicht sehr schön ist). Werbung

Rat

• Sie können diese Schritte ausführen, um die Umkehrung einer Matrix zu finden, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen, Unbekannte oder sogar algebraische Ausdrücke enthält.
• Schreiben Sie alle Schritte auf, da es äußerst schwierig ist, die Umkehrung einer 3x3-Matrix nur durch Mathematik zu finden.
• Es gibt Taschenrechnerprogramme, mit denen Sie inverse Matrizen bis einschließlich 30x30-Matrizen finden können.
• Überprüfen Sie unabhängig von der verwendeten Methode die Genauigkeit des Ergebnisses, indem Sie M mit M multiplizieren. Sie werden bestätigen, dass M * M = M * M = I. Wobei I die Einheitsmatrix ist besteht aus Elementen 1 entlang der Hauptdiagonale und Nullen an anderer Stelle. Wenn Sie solche Ergebnisse nicht erhalten, müssen Sie irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Warnung

• Nicht alle 3x3-Matrizen haben inverse Matrizen. Wenn die Determinante 0 ist, ist diese Matrix nicht reversibel (Beachten Sie, dass wir in der Formel durch det (M) dividieren. Das Teilen durch Null ist eine undefinierte mathematische Operation).