Faktor quadratische Gleichungen

Video: Quadratische Gleichung lösen, Spielerei | Mathe by Daniel Jung

Inhalt

Schreiten
Der Anfang
Methode 1 von 6: Versuch und Irrtum
Methode 2 von 6: Zersetzung
Methode 3 von 6: Triple Play
Methode 4 von 6: Der Unterschied zwischen zwei Quadraten
Methode 5 von 6: Die ABC-Formel
Methode 6 von 6: Verwenden eines Taschenrechners
Tipps
Warnungen
Notwendigkeiten

Ein Polynom enthält eine Variable (x) mit einer bestimmten Potenz und mehrere Terme und / oder Konstanten. Um ein Polynom zu faktorisieren, müssen Sie den Ausdruck in kleinere Ausdrücke aufteilen, die miteinander multipliziert werden. Dies erfordert ein gewisses Maß an Mathematik und kann daher schwer zu verstehen sein, wenn Sie noch nicht so weit sind.

Schreiten

Der Anfang

Die gleichung. Das Standardformat für eine quadratische Gleichung lautet:

ax + bx + c = 0
Ordnen Sie zunächst die Terme in Ihrer Gleichung von der höchsten zur niedrigsten Potenz. Nehmen Sie zum Beispiel:

6 + 6x + 13x = 0
Wir werden diesen Ausdruck neu anordnen, damit die Arbeit einfacher wird - einfach durch Verschieben der Begriffe:

6x + 13x + 6 = 0
Finden Sie die Faktoren mit einer der folgenden Methoden. Das Faktorisieren des Polynoms führt zu zwei kleineren Ausdrücken, die miteinander multipliziert werden können, um das ursprüngliche Polynom zu erhalten:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In diesem Beispiel sind (2x +3) und (3x + 2) Faktoren vom ursprünglichen Ausdruck 6x + 13x + 6.
Überprüfe deine Arbeit! Multiplizieren Sie die gefundenen Faktoren. Kombinieren Sie die gleichen Begriffe und Sie sind fertig. Beginnen mit:

(2x + 3) (3x + 2)
Lassen Sie uns dies testen und die Begriffe mit EBBL (first - äußere - innere - last) multiplizieren, was uns ergibt:

6x + 4x + 9x + 6
Jetzt addieren wir 4x und 9x zusammen, weil sie gleiche Begriffe sind. Wir wissen, dass die Faktoren korrekt sind, weil wir die Gleichung zurückerhalten, mit der wir begonnen haben:

6x + 13x + 6

Methode 1 von 6: Versuch und Irrtum

Wenn Sie ein ziemlich einfaches Polynom haben, können Sie möglicherweise sofort erkennen, welche Faktoren vorliegen. Zum Beispiel können viele Mathematiker nach einiger Übung den Ausdruck sehen 4x + 4x + 1 hat die Faktoren (2x + 1) und (2x + 1) einfach, weil sie dies so oft gesehen haben. (Offensichtlich ist dies mit komplizierteren Polynomen nicht so einfach.) Nehmen wir für dieses Beispiel einen weniger standardmäßigen Ausdruck:

3x + 2x - 8

Schreiben Sie die Faktoren der ein Begriff und die c Begriff. Verwenden Sie das Format ax + bx + c = 0, erkenne das ein und c Begriffe und beachten Sie, welche Faktoren es gibt. Für 3x + 2x - 8 bedeutet dies:

a = 3 und hat 1 Faktorpaar: 1 * 3
c = -8 und dies hat 4 Faktorenpaare: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 und -1 * 8.
Schreiben Sie zwei Klammerpaare mit einem leeren Leerzeichen auf. Hier geben Sie die Konstanten jedes Ausdrucks ein:

(x) (x)
Füllen Sie den Raum vor den x mit einer Reihe möglicher Faktoren der ein Wert. Für die ein Begriff in unserem Beispiel, 3x, gibt es nur 1 Möglichkeit:

(3x) (1x)
Füllen Sie die 2 Felder nach den x mit einigen Faktoren für die Konstanten aus. Angenommen, wir wählen 8 und 1. Geben Sie Folgendes ein:

(3x8) (X.1)
Bestimmen Sie, welche Vorzeichen (Plus oder Minus) zwischen den x-Variablen und den Zahlen liegen sollen. Abhängig von den Zeichen des ursprünglichen Ausdrucks ist es möglich herauszufinden, wie die Zeichen der Konstanten sein sollten. Nehmen wir die beiden Konstanten der beiden Faktoren h und k zu erwähnen:

Wenn ax + bx + c, dann (x + h) (x + k)
Wenn ax - bx - c oder ax + bx - c dann (x - h) (x + k)
Wenn ax - bx + c, dann (x - h) (x - k)
In unserem Beispiel 3x + 2x - 8 lautet das Vorzeichen: (x - h) (x + k), was uns die folgenden zwei Faktoren gibt:

(3x + 8) und (x - 1)
Testen Sie Ihre Wahl mit der ersten-äußeren-inneren-letzten Multiplikation. Ein kurzer erster Test, um festzustellen, ob der mittlere Wert mindestens der richtige Wert ist. Wenn nicht, dann haben Sie wahrscheinlich die falsche c Faktoren gewählt. Testen wir die Antwort:

(3x + 8) (x - 1)
Durch Multiplikation erhalten wir:

3x - 3x + 8x - 8
Vereinfachen Sie diesen Ausdruck, indem Sie die gleichen Begriffe (-3x) und (8x) hinzufügen. Wir erhalten:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Wir wissen jetzt, dass wir die falschen Faktoren genommen haben:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Ändern Sie gegebenenfalls Ihre Auswahl. In unserem Beispiel versuchen wir 2 und 4 anstelle von 1 und 8:

(3x + 2) (x - 4)
Nun unsere c Term gleich -8, aber das äußere / innere Produkt von (3x * -4) und (2 * x) ist -12x und 2x, was nicht korrekt ist b Begriff oder + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Kehren Sie die Reihenfolge gegebenenfalls um. Versuchen wir, 2 und 4 umzudrehen:

(3x + 4) (x - 2)
Nun unsere c Begriff (4 * 2 = 8) und immer noch in Ordnung, aber die äußeren / inneren Produkte sind -6x und 4x. Wenn wir diese kombinieren, erhalten wir:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Wir nähern uns jetzt 2x, wo wir sein wollen, aber das Vorzeichen ist noch nicht korrekt.
Überprüfen Sie gegebenenfalls Ihre Charaktere. Wir behalten diese Reihenfolge bei, tauschen sie jedoch mit dem Minuszeichen aus:

(3x - 4) (x + 2)
Jetzt die c Begriff noch in Ordnung, und die äußeren / inneren Produkte sind jetzt (6x) und (-4x). Weil:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Wir sehen jetzt die positiven 2x vom ursprünglichen Problem zurück. Dies müssen die richtigen Faktoren sein.

Methode 2 von 6: Zersetzung

Diese Methode gibt alle möglichen Faktoren an ein und c Begriffe und verwendet sie, um herauszufinden, welche Faktoren korrekt sind. Wenn die Zahlen sehr groß sind oder das Rätselraten anderer Methoden zu lange dauern wird, verwenden Sie diese Methode. Ein Beispiel:

6x + 13x + 6

Multiplizieren Sie die ein Begriff mit dem c Begriff. In diesem Beispiel ist ein ist 6 und c ist auch 6.

6 * 6 = 36
Finden Sie die b Begriff durch Faktorisierung und Prüfung. Wir suchen nach 2 Zahlen, die Faktoren von sind ein * c und zusammen die b Term (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Ersetzen Sie die beiden Zahlen, die Sie in Ihrer Gleichung erhalten, durch die Summe der b Begriff. Lasst uns k und h um die 2 Zahlen darzustellen, die wir haben, 4 und 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Berücksichtigen Sie das Polynom durch Gruppierung. Organisieren Sie die Gleichung so, dass Sie den größten gemeinsamen Teiler der ersten beiden Terme und der letzten beiden Terme trennen können. Beide Faktoren sollten gleich sein. Addieren Sie die GGDs und setzen Sie sie in Klammern neben die Faktoren. Als Ergebnis erhalten Sie die zwei Faktoren:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Methode 3 von 6: Triple Play

Ähnlich wie bei der Zersetzungsmethode. Die "Triple Play" -Methode untersucht die möglichen Faktoren des Produkts von ein und c und benutze es, um herauszufinden, was b muss sein. Nehmen Sie die Gleichung als Beispiel:

8x + 10x + 2

Multiplizieren Sie die ein Begriff mit dem c Begriff. Wie bei der Zerlegungsmethode verwenden wir diese, um die Kandidaten für die zu bestimmen b Begriff. In diesem Beispiel: ein ist 8 und c ist 2.

8 * 2 = 16
Finden Sie die 2 Zahlen mit dieser Nummer als Produkt und mit einer Summe gleich der b Begriff. Dieser Schritt entspricht der Zerlegungsmethode - wir testen Kandidaten für die Konstanten. Das Produkt der ein und c Begriffe ist 16, und die c Laufzeit ist 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Nehmen Sie diese 2 Zahlen und ersetzen Sie sie durch die "Triple Play" -Formel. Nehmen Sie die 2 Zahlen aus dem vorherigen Schritt - lassen Sie uns sie bekommen h und k nenne sie - und setze sie in den Ausdruck:

((ax + h) (ax + k)) / a

Damit bekommen wir:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Sehen Sie, welcher der beiden Begriffe im Nenner vollständig durch geteilt werden kann ein. In diesem Beispiel sehen wir uns an, ob (8x + 8) oder (8x + 2) durch 8 geteilt werden können. (8x + 8) ist durch 8 teilbar, also teilen wir diesen Term durch ein und wir lassen den anderen unberührt.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Der Begriff, den wir hier beibehalten haben, bleibt nach der Division durch die ein Term: (x + 1)
Nehmen Sie nach Möglichkeit den größten gemeinsamen Teiler (gcd) aus einem oder beiden Begriffen. In diesem Beispiel sehen wir, dass der zweite Term gcd von 2 hat, weil 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinieren Sie diese Antwort mit dem Begriff, den Sie im vorherigen Schritt entdeckt haben. Dies sind die Faktoren Ihres Vergleichs.

2 (x + 1) (4x + 1)

Methode 4 von 6: Der Unterschied zwischen zwei Quadraten

Sie können einige Koeffizienten in einem Polynom als "Quadrate" oder auch als Produkt von 2 identischen Zahlen erkennen. Wenn Sie herausfinden, um welche Quadrate es sich handelt, können Sie die Polynome möglicherweise viel schneller faktorisieren. Wir nehmen die Gleichung:

27x - 12 = 0

Entfernen Sie den gcd nach Möglichkeit aus der Gleichung. In diesem Fall sehen wir, dass 27 und 12 beide durch 3 teilbar sind, sodass wir sie getrennt platzieren können:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Bestimmen Sie, ob die Koeffizienten Ihrer Gleichung Quadrate sind. Um diese Methode zu verwenden, muss die Wurzel der Begriffe bestimmt werden. (Beachten Sie, dass wir die Minuszeichen weggelassen haben - da diese Zahlen Quadrate sind, können sie das Produkt von 2 negativen Zahlen sein.)

9x = 3x * 3x und 4 = 2 * 2
Mit der von Ihnen ermittelten Quadratwurzel können Sie nun die Faktoren aufschreiben. Wir nehmen die ein und c Werte aus dem vorherigen Schritt: ein = 9 und c = 4, also sind die Wurzeln davon: - √ein = 3 und √c = 2. Dies sind die Koeffizienten der faktorisierten Ausdrücke:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Methode 5 von 6: Die ABC-Formel

Wenn nichts zu funktionieren scheint und Sie die Gleichung nicht lösen können, verwenden Sie die abc-Formel. Nehmen Sie das folgende Beispiel:

x + 4x + 1 = 0

Geben Sie die entsprechenden Werte in die abc-Formel ein:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Wir bekommen jetzt den Ausdruck:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Löse nach x. Sie sollten jetzt 2 Werte für x erhalten. Diese sind:

x = -2 + √ (3) oder x = -2 - √ (3)
Verwenden Sie die Werte von x, um die Faktoren zu bestimmen. Geben Sie die in den beiden Gleichungen erhaltenen x-Werte als Konstanten ein. Das sind deine Faktoren. Wenn wir die beiden beantworten h und k Wir schreiben die beiden Faktoren wie folgt auf:

(x - h) (x - k)
In diesem Fall lautet die endgültige Antwort:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Methode 6 von 6: Verwenden eines Taschenrechners

Wenn es erlaubt (oder obligatorisch) ist, einen Grafikrechner zu verwenden, erleichtert dies das Factoring erheblich, insbesondere für Prüfungen und Prüfungen. Die folgenden Anweisungen gelten für einen TI-Grafikrechner. Wir verwenden die Gleichung aus dem Beispiel:

y = x - x - 2

Geben Sie die Gleichung in Ihren Taschenrechner ein. Sie verwenden den Gleichungslöser, der auch als [Y =] - Bildschirm bezeichnet wird.
Stellen Sie die Gleichung mit dem Taschenrechner grafisch dar. Sobald Sie die Gleichung eingegeben haben, drücken Sie [GRAFIK] - Sie sollten nun eine gekrümmte Linie, eine Parabel als grafische Darstellung Ihrer Gleichung sehen (und es ist eine Parabel, weil es sich um ein Polynom handelt).
Finden Sie heraus, wo sich die Parabel mit der x-Achse schneidet. Da eine quadratische Gleichung traditionell als ax + bx + c = 0 geschrieben wird, sind dies die beiden x-Werte, die die Gleichung gleich Null machen:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Wenn Sie nicht sehen können, wo sich die Parabel mit der x-Achse schneidet, drücken Sie [2nd] und dann [TRACE]. Drücken Sie [2] oder wählen Sie "Null". Bewegen Sie den Cursor links von einer Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Bewegen Sie den Cursor rechts von einer Kreuzung und drücken Sie [ENTER]. Bewegen Sie den Cursor so nah wie möglich an den Schnittpunkt und drücken Sie [ENTER]. Der Rechner zeigt den x-Wert an. Tun Sie dies auch für die andere Kreuzung.
Geben Sie die x-Werte, die Sie erhalten haben, in die beiden faktorisierten Ausdrücke ein. Wenn wir die beiden x-Werte nehmen h und k Der Begriff, den wir verwenden, sieht folgendermaßen aus:

(x - h) (x - k) = 0
Unsere beiden Faktoren werden dann:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tipps

Wenn Sie das Polynom mit der abc-Formel berücksichtigt haben und Ihre Antwort Wurzeln enthält, können Sie die x-Werte in Brüche konvertieren, um sie zu überprüfen.
Wenn ein Term keinen Koeffizienten vor sich hat, ist der Koeffizient gleich 1, z. B. x = 1x.
Wenn Sie einen TI-84-Rechner haben, gibt es ein Programm namens SOLVER, das eine quadratische Gleichung für Sie lösen kann. Es löst auch Polynome höheren Grades.
Nach viel Übung werden Sie schließlich in der Lage sein, Polynome auswendig zu lösen. Aber um auf der sicheren Seite zu sein, ist es besser, sie immer aufzuschreiben.
Wenn kein Term existiert, ist der Koeffizient Null. Dann kann es nützlich sein, die Gleichung neu zu schreiben. Z.B. x + 6 = x + 0x + 6.

Warnungen

Wenn Sie dieses Konzept im Mathematikunterricht lernen, achten Sie darauf, was der Lehrer erklärt, und verwenden Sie nicht nur Ihre eigene Lieblingsmethode. Möglicherweise werden Sie aufgefordert, eine bestimmte Methode für einen Test zu verwenden, oder es sind möglicherweise keine Grafikrechner zulässig.