Inhalt

• Schreiten
• Methode 1 von 3: Verwendung der Substitutionsmethode
• Methode 2 von 3: Verwendung der Eliminierungsmethode
• Methode 3 von 3: Stellen Sie die Gleichungen grafisch dar
• Tipps
• Warnungen

In einem "Gleichungssystem" werden Sie aufgefordert, zwei oder mehr Gleichungen gleichzeitig zu lösen. Wenn diese beiden Variablen unterschiedliche Variablen enthalten, z. B. x und y oder a und b, kann es auf den ersten Blick schwierig sein, zu erkennen, wie sie gelöst werden können. Glücklicherweise benötigen Sie, sobald Sie wissen, was zu tun ist, nur einige grundlegende mathematische Fähigkeiten (und manchmal auch einige Bruchteilskenntnisse), um das Problem zu lösen. Bei Bedarf oder wenn Sie ein visueller Schüler sind, lernen Sie auch, wie Sie die Gleichungen grafisch darstellen. Das Zeichnen (Zeichnen) eines Diagramms kann nützlich sein, um zu sehen, was los ist, oder um Ihre Arbeit zu überprüfen. Es kann jedoch auch langsamer sein als die anderen Methoden und funktioniert nicht mit allen Gleichungssystemen.

Schreiten

Methode 1 von 3: Verwendung der Substitutionsmethode

1. Verschieben Sie die Variablen auf verschiedene Seiten der Gleichung. Diese "Substitutions" -Methode beginnt mit "Auflösen nach x" (oder einer anderen Variablen) in einer der Gleichungen. Zum Beispiel haben wir die folgenden Gleichungen: 4x + 2y = 8 und 5x + 3x = 9. Zunächst betrachten wir den ersten Vergleich. Ordnen Sie neu an, indem Sie 2y von jeder Seite abziehen, und Sie erhalten: 4x = 8-2y.
   • Diese Methode verwendet häufig Brüche zu einem späteren Zeitpunkt. Sie können auch die unten stehende Eliminierungsmethode verwenden, wenn Sie nicht mit Brüchen arbeiten möchten.
2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um nach "x" zu lösen. Wenn Sie den Term x (oder eine beliebige Variable, die Sie verwenden) auf einer Seite der Gleichung haben, teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um die Variable zu isolieren. Beispielsweise:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Stecken Sie dies wieder in die andere Gleichung. Stellen Sie sicher, dass Sie zum zurückkehren Andere Vergleich, nicht der, den Sie bereits verwendet haben. In dieser Gleichung ersetzen Sie die gelöste Variable und lassen nur eine Variable übrig. Beispielsweise:
   • Sie wissen jetzt, dass: x = 2 - ½y.
   • Die zweite Gleichung, die Sie noch nicht geändert haben, lautet: 5x + 3x = 9.
   • Ersetzen Sie in der zweiten Gleichung x durch "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Löse nach der verbleibenden Variablen. Sie haben jetzt eine Gleichung mit nur einer Variablen. Verwenden Sie gängige Algebra-Techniken, um diese Variable zu lösen. Wenn sich die Variablen gegenseitig aufheben, fahren Sie mit dem letzten Schritt fort. Andernfalls erhalten Sie eine Antwort auf eine Ihrer Variablen:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Wenn Sie diesen Schritt nicht verstehen, lernen Sie, wie Sie Brüche hinzufügen. Dies ist bei dieser Methode häufig, aber nicht immer erforderlich.)
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Verwenden Sie die Antwort, um nach der anderen Variablen zu lösen. Machen Sie nicht den Fehler, das Problem zur Hälfte zu lösen. Sie müssen die Antwort, die Sie erhalten haben, erneut in eine der ursprünglichen Gleichungen eingeben, damit Sie nach der anderen Variablen suchen können:
   • Sie wissen jetzt, dass: y = -2
   • Eine der ursprünglichen Gleichungen lautet: 4x + 2y = 8. (Beide Gleichungen können für diesen Schritt verwendet werden).
   • Stecken Sie -2 anstelle von y ein: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Wissen, was zu tun ist, wenn sich beide Variablen gegenseitig aufheben. Wenn du x = 3y + 2 Wenn Sie eine ähnliche Antwort in der anderen Gleichung erhalten, versuchen Sie, eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten. Manchmal erhalten Sie stattdessen eine Gleichung ohne Variablen. Überprüfen Sie Ihre Arbeit noch einmal und stellen Sie sicher, dass Sie die (neu angeordnete) erste Gleichung in der zweiten Gleichung und nicht die erste Gleichung ersetzen. Wenn Sie sicher sind, dass Sie keine Fehler gemacht haben, erhalten Sie eines der folgenden Ergebnisse:
   • Wenn Sie eine Gleichung ohne Variablen erhalten, die nicht wahr ist (z. B. 3 = 5), haben Sie das Problem keine Lösung. (Wenn Sie die Gleichungen grafisch dargestellt haben, werden Sie sehen, dass sie parallel sind und sich nie schneiden).
   • Wenn Sie am Ende eine Gleichung ohne Variablen haben, aber diese Gut ist wahr (zum Beispiel 3 = 3), dann hat es das Problem eine unendliche Anzahl von Lösungen. Die beiden Gleichungen sind genau gleich. (Wenn Sie die beiden Gleichungen grafisch darstellen, werden Sie sehen, dass sie sich genau überlappen.)

Methode 2 von 3: Verwendung der Eliminierungsmethode

1. Bestimmt die zu eliminierende Variable. Manchmal "eliminieren" sich die Gleichungen in einer Variablen, sobald Sie sie addieren. Zum Beispiel, wenn Sie die Gleichungen machen 3x + 2y = 11 und 5x - 2y = 13 kombiniert, heben sich "+ 2y" und "-2y" mit allen "y" aufs werden aus der Gleichung eliminiert. Sehen Sie sich die Gleichungen in Ihrem Problem an, um herauszufinden, ob eine der Variablen auf diese Weise eliminiert wird. Wenn keine der Variablen entfernt wird, lesen Sie den nächsten Schritt, um Ratschläge zu erhalten.
2. Multiplizieren Sie eine Gleichung, um eine Variable aufzuheben. (Überspringen Sie diesen Schritt, wenn sich die Variablen bereits gegenseitig eliminiert haben.) Wenn sich keine der Variablen in den Gleichungen von selbst aufhebt, müssen Sie eine der Gleichungen so ändern, dass dies der Fall ist. Dies ist am einfachsten anhand eines Beispiels zu verstehen:
   • Angenommen, Sie haben das Gleichungssystem 3x - y = 3 und -x + 2y = 4.
   • Lassen Sie uns die erste Gleichung so ändern, dass die Variable ist y wird beseitigt. (Sie können dies auch für tun X. tun und die gleiche Antwort bekommen).
   • Das - y " der ersten Gleichung sollte mit dem beseitigt werden + 2y In der zweiten Gleichung. Wir können das tun, indem wir - y mit 2 multiplizieren.
   • Wir multiplizieren beide Seiten der ersten Gleichung wie folgt mit 2: 2 (3x - y) = 2 (3), und somit 6x - 2y = 6. Jetzt wird - 2 Jahre fallen gegen die + 2y in der zweiten Gleichung.
3. Kombinieren Sie die beiden Gleichungen. Um zwei Gleichungen kombinieren zu können, addieren Sie die linke und die rechte Seite. Wenn Sie die Gleichung richtig geschrieben haben, sollte sich eine der Variablen gegen die andere aufheben. Hier ist ein Beispiel mit denselben Gleichungen wie im letzten Schritt:
   • Ihre Gleichungen sind: 6x - 2y = 6 und -x + 2y = 4.
   • Kombinieren Sie die linken Seiten: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Kombinieren Sie die rechten Seiten: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Löse nach der letzten Variablen. Vereinfachen Sie die kombinierte Gleichung und lösen Sie dann mit der Basisalgebra nach der letzten Variablen. Wenn nach der Vereinfachung keine Variablen mehr vorhanden sind, fahren Sie mit dem letzten Schritt in diesem Abschnitt fort. Andernfalls sollten Sie mit einer einfachen Antwort auf eine Ihrer Variablen enden. Beispielsweise:
   • Du hast: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Gruppieren Sie die Variablen X. und y miteinander: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Vereinfachen: 5x = 10
   • Löse nach x: (5x) / 5 = 10/5, so dass x = 2.
5. Löse nach den anderen Variablen. Sie haben eine Variable gefunden, sind aber noch nicht ganz fertig. Ersetzen Sie Ihre Antwort durch eine der ursprünglichen Gleichungen, damit Sie nach der anderen Variablen suchen können. Beispielsweise:
   • Du weißt, dass x = 2und diese eine Ihrer ursprünglichen Gleichungen 3x - y = 3 ist.
   • Stecken Sie 2 anstelle von x ein: 3 (2) - y = 3.
   • Löse y in der Gleichung: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, so 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Wissen, was zu tun ist, wenn sich beide Variablen gegenseitig aufheben. Manchmal führt die Kombination zweier Gleichungen zu einer Gleichung, die keine Bedeutung hat oder Ihnen bei der Lösung des Problems nicht hilft. Überprüfen Sie Ihre Arbeit von Anfang an, aber wenn Sie keinen Fehler gemacht haben, schreiben Sie eine der folgenden Antworten auf:
   • Wenn Ihre kombinierte Gleichung keine Variablen hat und nicht wahr ist (wie 2 = 7), dann gibt es keine Lösung das gilt für beide Gleichungen. (Wenn Sie beide Gleichungen grafisch darstellen, werden Sie sehen, dass sie parallel sind und sich nie schneiden.)
   • Wenn Ihre kombinierte Gleichung keine Variablen hat und wahr ist (z. B. 0 = 0), gibt es diese eine unendliche Anzahl von Lösungen. Die beiden Gleichungen sind tatsächlich identisch. (Wenn Sie diese in einem Diagramm platzieren, werden Sie feststellen, dass sie sich vollständig überlappen.)

Methode 3 von 3: Stellen Sie die Gleichungen grafisch dar

1. Verwenden Sie diese Methode nur, wenn sie angegeben ist. Wenn Sie keinen Computer oder einen Grafikrechner verwenden, können viele Gleichungssysteme mit dieser Methode nur annähernd gelöst werden. Ihr Lehrer oder Mathematiklehrbuch fordert Sie möglicherweise auf, diese Methode zu verwenden, sodass Sie wahrscheinlich mit grafischen Gleichungen wie Linien vertraut sind. Sie können diese Methode auch verwenden, um zu überprüfen, ob Ihre Antworten von einer der anderen Methoden korrekt sind.
   • Die Grundidee ist, dass Sie beide Gleichungen grafisch darstellen und den Punkt bestimmen, an dem sie sich schneiden. Die x- und y-Werte an diesem Punkt geben den Wert von x und den Wert von y im Gleichungssystem an.
2. Löse beide Gleichungen für y. Halten Sie die beiden Gleichungen getrennt und konvertieren Sie jede Gleichung mit Algebra in die Form "y = __x + __". Beispielsweise:
   • Die erste Gleichung lautet: 2x + y = 5. Ändern Sie dies in: y = -2x + 5.
   • Die zweite Gleichung lautet: -3x + 6y = 0. Ändern Sie dies in 6y = 3x + 0und vereinfachen zu y = ½x + 0.
   • Sind beide Gleichungen identisch?dann wird die gesamte Linie zu einem "Schnittpunkt". Schreiben: unendliche Lösungen.
3. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie eine vertikale "y-Achse" und eine horizontale "x-Achse" auf ein Blatt Millimeterpapier. Beginnen Sie an der Stelle, an der sich die Linien schneiden, und beschriften Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. entlang der y-Achse und wieder rechts entlang der x-Achse. Beschriften Sie die Zahlen -1, -2 usw. entlang der y-Achse nach unten und links entlang der x-Achse.
   • Wenn Sie kein Millimeterpapier haben, verwenden Sie ein Lineal, um sicherzustellen, dass die Zahlen gleichmäßig verteilt sind.
   • Wenn Sie große Zahlen oder Dezimalstellen verwenden, müssen Sie das Diagramm möglicherweise skalieren. (Zum Beispiel 10, 20, 30 oder 0,1, 0,2, 0,3 anstelle von 1, 2, 3).
4. Zeichnen Sie den y-Schnittpunkt für jede Linie. Sobald Sie eine Gleichung in der Form haben y = __x + __ Sie können mit der grafischen Darstellung beginnen, indem Sie einen Punkt festlegen, an dem die Linie die y-Achse schneidet. Dies ist immer ein y-Wert, der der letzten Zahl in dieser Gleichung entspricht.
   • In den zuvor genannten Beispielen wurde eine Zeile (y = -2x + 5) in die y-Achse 5. Die andere Zeile (y = ½x + 0) geht durch den Nullpunkt 0. (Dies sind die Punkte (0,5) und (0,0) in der Grafik).
   • Geben Sie nach Möglichkeit jede Linie mit einer anderen Farbe an.
5. Verwenden Sie die Steigung, um mit dem Zeichnen der Linien fortzufahren. In der Form y = __x + __ist die Zahl für x th Steigung aus der Leitung. Jedes Mal, wenn x um eins erhöht wird, erhöht sich der y-Wert mit dem Wert der Steigung. Verwenden Sie diese Informationen, um den Punkt im Diagramm für jede Linie zu finden, wenn x = 1. (Alternativ können Sie für jede Gleichung x = 1 einsetzen und nach y auflösen).
   • In unserem Beispiel hat die Linie y = -2x + 5 eine Steigung von -2. Bei x = 1 steigt die Linie 2 ab Nieder vom Punkt x = 0. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen (0.5) und (1.3).
   • Die Regel y = ½x + 0hat eine Steigung von ½. Bei x = 1 geht die Linie ½ oben vom Punkt x = 0. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen (0,0) und (1, ½).
   • Wenn die Linien die gleiche Steigung haben Die Linien werden sich niemals schneiden, daher gibt es keine Lösung für das Gleichungssystem. Schreiben: keine Lösung.
6. Zeichnen Sie die Linien weiter, bis sie sich schneiden. Halten Sie an und sehen Sie sich Ihr Diagramm an. Wenn sich die Linien bereits gekreuzt haben, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort. Andernfalls treffen Sie eine Entscheidung basierend auf den Funktionen der Zeilen:
   • Wenn sich die Linien aufeinander zu bewegen, zeichnen Sie weiterhin Punkte in diese Richtung.
   • Wenn sich die Linien voneinander entfernen, gehen Sie zurück und zeichnen Sie Punkte in die andere Richtung, beginnend bei x = -1.
   • Wenn die Linien nicht nahe beieinander liegen, springen Sie voraus und zeichnen Sie weitere Punkte, z. B. x = 10.
7. Finden Sie die Antwort am Schnittpunkt der Linien. Sobald sich die beiden Linien schneiden, sind die x- und y-Werte an diesem Punkt die Lösung des Problems. Wenn Sie Glück haben, ist die Antwort eine ganze Zahl. In unseren Beispielen schneiden sich beispielsweise die beiden Linien (2,1) So ist deine Antwort x = 2 und y = 1. In einigen Gleichungssystemen schneiden sich die Linien bei einem Wert zwischen zwei ganzen Zahlen, und wenn Ihr Diagramm nicht äußerst genau ist, ist es schwierig zu sagen, wo dies ist. In diesem Fall können Sie eine Antwort geben wie: "x liegt zwischen 1 und 2". Sie können auch die Substitutionsmethode oder die Eliminierungsmethode verwenden, um die genaue Antwort zu finden.

Tipps

• Sie können Ihre Arbeit überprüfen, indem Sie die Antworten wieder in die ursprünglichen Gleichungen eingeben. Wenn die Gleichungen wahr sind (zum Beispiel 3 = 3), ist Ihre Antwort richtig.
• Bei der Eliminierungsmethode müssen Sie manchmal eine Gleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, um eine Variable zu eliminieren.

Warnungen

• Diese Methoden können nicht verwendet werden, wenn Sie mit einer Potenzzahl wie x arbeiten. Um mehr über Gleichungen dieses Typs zu erfahren, benötigen Sie eine Anleitung zum Quadrieren von Faktoren mit zwei Variablen.